圆柱尾流中F?ppl涡的传热特性研究

《European Journal of Mechanics - B/Fluids》：Heat transfer via F?ppl vortices in the wake of a circular cylinder

　　

对于绕圆柱的稳态流动，可获得描述均匀流与一对稳定对称涡的解析解。后者近似描述了在涡脱落起始之前低雷诺数下的黏性涡流。本文采用解析的F?ppl涡解来模拟圆柱的稳态与非稳态理想化传热，并探讨了该问题与黏性理论之间的联系。研究人员采用基于流线追踪技术与算子分裂相结合的数值方法，以获得对流-扩散方程的快速、精确解。基于几何相似准则，将本模型结果与黏性流结果进行比较，发现两者在低雷诺数下具有显著相似性，但在较高雷诺数下表现出系统性差异。本文展示了黏性传热与无黏传热之间的重要差异，并建议将简单的F?ppl涡工况作为数值研究的基准算例。

**论文解读文章**：

**一、研究背景与问题提出**

圆柱体是众多人工结构的基本组成部分，在海洋工程中尤为重要，例如单桩式风力涡轮机、海底电力电缆以及现代水下数据中心等。当这些结构的温度高于周围流体温度时（无论是由电阻加热还是其他机制引起），热量将传入流体域。随着长距离海底电力互联工程的不断推进，海底电缆传热精确预测的需求日益迫切。例如，拟议中的Xlinks项目计划通过约4000公里的海底电力电缆将可再生电力从摩洛哥输送至英国，沿途可能穿越岩石露头和海下峡谷等复杂海床地形，完整埋设可能不可行。因此，从工程设计角度而言，对圆柱体传热行为及其潜在后果进行建模至关重要。

在钝体尾流中，涡旋运动是众所周知的物理现象。圆柱尾流流态的关键控制参数为无量纲的雷诺数（Reynolds number, Re），定义为特征速度与特征长度之积与运动黏度的比值。当Re低于阈值Re_??时，流线轨迹与绕圆柱的单向势流相似，Re_??的精确值据信介于3至7之间。当Re超过Re_??后，边界层发生分离，圆柱尾流中形成一对涡旋，该涡对随Re增大而增长和增强。当Re超过另一阈值Re_??（介于40至50之间）后，出现层流涡脱落状态。本文研究的Re范围为Re_?? ≤ Re ≤ Re_??，即圆柱尾流中存在稳态稳定涡对的工况。

由于黏性流体中存在涡旋时热与流动过程之间存在非线性反馈效应，文献中的大多数解均依赖于数值或实验方法。在纯强制对流中，圆柱的总热通量取决于两个无量纲参数：雷诺数Re和普朗特数（Prandtl number, Pr），后者定义为黏性扩散与热扩散之比。已有大量研究致力于确定总热通量（以努塞尔数Nu_??表征，相对导热热通量归一化）与Re和Pr之间的关系。解析表达式仅在极限情况下被尝试，例如极低雷诺数（Re ? 1）情形，Cole和Roshko利用Oseen方法导出了解，获得Nu_??=2/(ln(8/RePr)???)，其中??为欧拉-马歇罗尼常数。

在实验研究方面，King整理了Re < 100的大量实验结果；Hilpert开展了覆盖Re从1到250,000的更全面实验研究，注意到数据在Re = 4、44和10,000处出现拐点，对应不同流态边界，并针对三个区域分别提出了关联式。其中Hilpert关系式Nu_?? = 0.82 Re^.385适用于4至44之间的雷诺数，恰好落在本文研究的Re_?? < Re < Re_??范围内。McAdams基于13篇文献（包括King和Hilpert）的实验数据推导出关联式Nu_?? = 0.35 Pr^0.3 + 0.47 Pr^0.3Re^0.52，适用于10^?1 < Re < 10³的宽雷诺数范围。Collis和Williams在更精细的Re范围（0.01至140）内开展物理实验，发现其Nu_??结果与Hilpert更为一致，并提出了新的关联式Nu_??=0.45+0.56 Re^0.56。

在数值研究方面，Dennis等人开展了具有开创性的研究，至今仍作为基准算例。他们采用截断级数法求解稳态对流-扩散方程，计算了Re = [1,2,4,7,10,20,40]工况下的平均努塞尔数，其结果与Collis和Williams的实验数据高度吻合。Dennis等人还首次提供了圆柱圆周上局部努塞尔数的分布，为理解传热过程提供了更深层次的见解。然而，关于圆柱在单向流动中尾流含涡结构时的瞬态传热研究相对较少，多数数值工作仅聚焦于稳态解。Apelt和Ledwich曾探索Re = 1、5、10和26.67工况下非定常流场中的传热问题，但其非定常模拟使用了较粗网格，引发了初始振荡，限制了结果的实用性。

Shair进行了物理实验并利用F?ppl速度场作为外部匹配条件解析地探索了边界层传热问题。由于涡流区域发生流动分离，他们在前、后驻点附近求解了边界层方程并报告了局部传热结果。与实验数据对比发现，在低Re和大Pr条件下，前驻点附近的理论预测与实验趋势相似。

鉴于上述现状，利用已知解析速度场对圆柱整个圆周表面的稳态与非稳态传热进行全面描述，而无须进行大量数值计算，具有重要的理论与工程意义。本文正是基于F?ppl势流解开展此项研究。

**二、关键技术与方法**

研究人员采用无黏F?ppl势流解模拟圆柱尾流中的稳态对称涡对。该解通过在均匀流中放置一对等强度、反向旋转的无旋涡，并利用Milne-Thomson圆定理引入圆柱边界获得，圆柱表面施加无黏滑移边界条件。为建立F?ppl涡与真实黏性流的对应关系，研究人员以分离角??_??作为几何相似准则参数，采用Sen等人提出的经验关系式??_??=77.66?152.70 Re^?1/2（10≤Re≤40）进行参数匹配。

在数值求解方面，研究人员采用Joukowsky变换将有圆柱外域的物理平面映射为矩形计算域，便于实施规则网格有限差分离散。针对非定常对流-扩散方程，采用算子分裂技术：扩散项用隐式二阶中心差分格式处理，保证任意时间步长下的理论稳定性；对流项采用基于Holly-Preissmann方法的逆流线追踪拉格朗日方法，从每个网格点沿粒子路径反向追踪至前一时间步，结合三次样条插值以降低数值耗散。时间步长选取在[0.01, 0.05]范围内，满足Δ??～Pe^?1条件以确保温度自然指数衰减被充分捕获。研究中雷诺数选取覆盖Re=4（无分离）、10和20（存在涡对），普朗特数选取空气特征值（Pr=0.7）和水特征值（Pr=7）。结果与Dennis等人（Re=1,4,10,20,40，Pr=0.73）的数值结果、Eckert & Soehngen的实验数据（Re=23，Pr=0.7）以及McAdams平均努塞尔数关联式进行了系统比较。

**三、研究结果**

**3.1 不同Re和Pr下的稳态结果**

稳态温度场结果表明，Pr=0.7时动量扩散和热扩散的作用尺度相近，Re=20时温度场中可见明显的涡结构，圆柱下游热场宽度较大。Pr=7时，对流效应占主导，圆柱表面的热边界层厚度显著变小，下游温度场宽度也相应变窄，涡结构更加清晰可辨，流线模式与温度场高度吻合——当扩散效应受限时，热量主要沿流线输运。随着Re增大，涡的尺寸和强度均增大，涡后捕获的加热区域扩大，但由于局部速度场增强，较高温度被限制在更靠近圆柱的区域内。

局部努塞尔数Nu_??分布显示，Pr=7时热边界层厚度远小于Pr=0.7时，因此产生更大的热通量。Pr=7时较大的Nu_??意味着更多热量被传入涡区，涡核被更均匀地加热且更接近圆柱温度；Pr=0.7时对流与扩散效应相当，涡核呈现明显的螺旋形非均匀结构。Re=4时流动未分离，热通量从前驻点??=0°到后驻点??=180°单调递减。Re=10和20时，热通量降低至局部最小值，此后增大至后驻点处的局部最大值（全局最大值始终出现在前驻点）。该局部最小值的位置恰好位于分离点??_??处，这是因为该点速度幅值为零，对流对传热的增强作用在分离点附近失效。

**3.2 无黏与黏性结果的比较**

与Dennis等人的黏性数值结果对比表明，在0°90°区域出现明显差异：Re=1和4时，流动未分离，本文模型在前后驻点的局部努塞尔数趋于相同值，而Dennis等人的黏性数值预测值更大。Re=10时出现显著分歧，Dennis等人的结果在分离点后没有增加，而本文模型预测存在增加。这种差异归因于两种方法获得的速度场不同：Dennis等人的黏性流中涡心旋转速度为零，而F?ppl涡的无旋涡核速度趋于无穷；黏性流在圆柱表面施加无滑移条件，而势流采用完全滑移边界条件。由于所考虑的Re较小，黏性边界层较厚，忽略其厚度也可能影响无黏模型的预测精度。

与Eckert & Soehngen实验数据（Re=23，Pr=0.7）的对比则呈现不同特征：实验结果在分离点处存在明显的局部热通量最小值，这与本文F?ppl涡势流模型的预测一致，而Dennis等人的数值结果未捕捉到此现象。后来Vilimpoq等人在水中的实验也发现了Nu_??的局部最小值，但程度不及本文情况。这表明现代数值模型可能忽略了某些物理现象。本文理论在前驻点的最大热通量预测与实验高度吻合，且??<90°范围内整体一致性良好。但在??>90°的后半部，理论预测高估了局部最小值和最大值。

**3.3 非稳态结果**

瞬态模拟从初始均匀低温场（T=0）出发，圆柱表面在整个计算过程中保持归一化温度T_cyl=1。小时间时，温度最初仅在圆柱表面附近的小区域扩散。较小的Pr对应更强的扩散效应，因此Pr=0.7时扩散比Pr=7时更明显。较长时间后对流效应开始主导，当Re=20时，热量主要从分离点输运并沿涡的外边界对流形成下游热尾流。均匀流工况中流动不发生分离，热量简单地从圆柱后部向下游对流输运。有趣的是，当温度场趋向稳态时，涡对内部的流线构成闭合回路，因此对流输运只能沿闭合路径进行。初始阶段以对流输运为主之后，在较大无量纲时间下，扩散成为F?ppl涡核内的主导传热过程。

局部努塞尔数随时间演化的结果显示：Re=20时，分离点之前（????≈136°）的热通量快速趋近稳态廓线；而在F?ppl涡附近区域（??>??_??），热通量仅在较大的无量纲时间后才达到稳态。Pr=7时，无量纲时间t=22时局部热通量尚未达到稳态，这是因为较大的Pr对应较慢的扩散时间尺度。Re=4无涡存在时，两种Pr下的热通量曲线均快速收敛到稳态。这提供了有力证据表明：热尾流的发展首先由对流主导，随后在F?ppl涡核内转变为扩散主导。

**3.4 通量关联式**

为便于工程应用，研究人员提出了基于F?ppl势流解的平均努塞尔数关联式：Nu_??=?0.34 Pr^0.53+1.06 Pr^0.5Re^0.39。与McAdams实验关联式对比表明：Pr=0.7时二者吻合良好，因为此时扩散是传热的主要驱动力；Pr>1时，无黏理论严重高估了Nu_??。这一差异源于分离点后Nu_??的显著增大导致平均热通量高于预期。与McAdams关联式中Nu～Pr^1/3Re^1/2的渐近关系相比，本文关联式中Re的指数从0.5降至0.39。附录分析表明，引入圆柱尾流中的涡旋——扩大了圆柱后部的热场——是导致Re依赖关系改变（Re^0.39取代Re^0.5）的机制。研究人员还通过附录A中介绍的基于Pr的缩放调整，使预测结果与McAdams关联式更好地吻合。

**四、结论与讨论**

本文提出了一个理论模型，用于模拟低雷诺数下绕圆柱分离流中的稳态和非稳态传热过程。首先利用F?ppl导出的势流解确定解析流场，以模拟此前实验观察到的行为；随后采用算子分裂技术数值求解能量方程——扩散项隐式求解，对流项使用拉格朗日方法。模型输出包括局部和平均努塞尔数的估计值，并提出了平均努塞尔数关于雷诺数和普朗特数的幂律关联式。

研究确认了两个无量纲参数对低Re圆柱尾流传热的显著影响。雷诺数改变速度场，Re增大使涡的尺寸和强度均增大。Re=5对应圆柱绕均匀流，Re=40对应脱落开始前最大的F?ppl涡，此时流动从距后驻点逆时针54°的角度分离。局部努塞尔数从前驻点单调递减至分离点处的局部最小值，然后在后驻点处增大，平均努塞尔数以Re^0.39的幂次增大。

普朗特数作为热有效性的度量，对温度场和热通量都有重大影响。Pr较小时，热扩散起主导作用，平均努塞尔数较小且几乎不随Re变化。Pr增大后，对流逐渐成为传热的主导机制，温度等值线与局部流线模式紧密对应。此外Pr增大会使热边界层收缩，从而提高局部和平均努塞尔数。

时空模拟揭示：局部努塞尔数在前半区域（0≤???90°）首先达到稳态，而含涡对的尾流区域向稳态的收敛需要显著更长的时间。这是因为F?ppl涡附近的流线形成闭合回路，单靠对流无法将热量输运至涡心，因此扩散在F?ppl涡核心的传热过程中起关键作用，这解释了该区域向稳态收敛较慢的原因。尽管模型要求涡心处速度趋于无穷与实际不符，但两种情况下核心流线均形成闭合回路，因此上述结论仍然成立。

需要强调的是，本文的理论分析基于无黏流体假设。因此，实际黏性流与本理论模型之间的重要差异源于圆柱表面施加的滑移条件以及在模拟Re接近40工况时涡旋形状的固定。这些因素解释了与黏性流数据相比局部和平均努塞尔数的偏差——最大偏差出现在分离角之后的圆柱后部，此区域局部热通量的最大值和最小值均被高估。通过调整Pr值对模型进行修正是可能的改进途径，以获得与现有实验数据更好的吻合。

未来研究建议考察Re > 40时圆柱障碍物后方的涡脱落现象，以及外部振荡流中交替涡的工况（模拟海洋水流在淹没结构前来回传播的近底水动力条件）。这些扩展可能需要对数值对流步进行相应调整，以适应非定常速度场。