解析矩阵描述及其在时延系统中的应用

《Linear Algebra and its Applications》：Analytic matrix descriptions with application to time-delay systems

　　

## 摘要

有理矩阵 $G(\lambda)$ 的多项式矩阵描述（PMD）是形如 $\mathbf{P}(\lambda):=\begin{bmatrix} A(\lambda) & B(\lambda) \\ -C(\lambda) & D(\lambda) \end{bmatrix}$ 的矩阵多项式，使得 $G(\lambda)=D(\lambda)+C(\lambda)A(\lambda)^{-1}B(\lambda)$，其中 $A(\lambda)$ 是非奇异的，称为状态矩阵。PMD在更高阶线性时不变系统的背景下已被广泛研究。亚纯矩阵 $M(\lambda)$ 的解析矩阵描述（AMD）是形如 $\mathbf{H}(\lambda):=\begin{bmatrix} A(\lambda) & B(\lambda) \\ -C(\lambda) & D(\lambda) \end{bmatrix}$ 的全纯矩阵（即全纯矩阵值函数），使得 $M(\lambda)=D(\lambda)+C(\lambda)A(\lambda)^{-1}B(\lambda)$，其中 $A(\lambda)$ 是非奇异的，称为状态矩阵。AMD出现在线性时不变时滞系统（TDS）的研究中。我们的目标是建立一个类似于PMD的分析框架来分析AMD，并讨论PMD的结果可以在多大程度上推广到AMD。我们证明了对PMD成立的重要结果（例如，互素矩阵分式描述（MFDs）、线性丢番图方程的解、最小阶PMD、PMD的等价性、标准型、通过传递函数对PMD的表征、零点和极点的结构指标等）可以推广到AMD。我们证明AMD为分析线性时不变时滞系统的系统属性（如谱可控性和谱可观性）提供了一个自然框架。我们还证明了时滞系统的系统属性可以与其无时滞对应系统以完全相同的方式进行分析。

## 引言

有理矩阵 $G(z)\in\mathbb{C}(z)^{m\times n}$ 的多项式矩阵描述（PMD）是一个 $(r+m)\times(r+n)$ 的矩阵 $\mathbf{P}(z)$，定义在环 $\mathbb{C}[z]$ 上，形如

$$\mathbf{P}(z):=\begin{bmatrix} A(z) & B(z) \\ -C(z) & D(z) \end{bmatrix}$$

使得 $G(z)=D(z)+C(z)A(z)^{-1}B(z)$，其中 $A(z)\in\mathbb{C}[z]^{r\times r}$ 是非奇异的，称为状态矩阵。PMD在更高阶线性时不变系统的背景下已被广泛研究；参见文献[5]、[21]、[32]、[35]。事实上，$\mathbf{P}(z)$ 是线性时不变（LTI）系统

$$A\left(\frac{d}{dt}\right)x(t)=B\left(\frac{d}{dt}\right)u(t)$$
$$y(t)=C\left(\frac{d}{dt}\right)x(t)+D\left(\frac{d}{dt}\right)u(t)$$

的系统矩阵，其状态矩阵 $A\left(\frac{d}{dt}\right)\in\mathbb{C}\left[\frac{d}{dt}\right]^{r\times r}$，$B\left(\frac{d}{dt}\right)\in\mathbb{C}\left[\frac{d}{dt}\right]^{r\times n}$，$C\left(\frac{d}{dt}\right)\in\mathbb{C}\left[\frac{d}{dt}\right]^{m\times r}$，$D\left(\frac{d}{dt}\right)\in\mathbb{C}\left[\frac{d}{dt}\right]^{m\times n}$，传递函数为 $G(z)$，其中 $x(t)\in\mathbb{C}^r$ 是状态变量向量，$u(t)\in\mathbb{C}^n$ 是控制变量向量。系统矩阵 $\mathbf{P}(z)$ 也被称为Rosenbrock系统矩阵，四元组 $[A,B,C,D]$ 被称为PMD [21]、[35]。我们不作此区分，而将 $\mathbf{P}(z)$ 称为PMD。系统矩阵 $\mathbf{P}(z)$ 和传递函数 $G(z)$ 在LTI系统（1.2）的分析中起着至关重要的作用，参见文献[5]、[21]、[32]、[35]。

设 $\mathbb{H}(\mathbb{C})$ 为整函数环，$\mathbb{M}(\mathbb{C})$ 为 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数域。亚纯矩阵 $M\in\mathbb{M}(\mathbb{C})^{m\times n}$ 的解析矩阵描述（AMD）是一个 $(r+m)\times(r+n)$ 的矩阵 $\mathbf{H}(z)$，定义在环 $\mathbb{H}(\mathbb{C})$ 上，形如

$$\mathbf{H}(z):=\begin{bmatrix} A(z) & B(z) \\ -C(z) & D(z) \end{bmatrix}$$

使得 $M(z)=D(z)+C(z)A(z)^{-1}B(z)$，其中 $A(z)$ 是非奇异的，称为状态矩阵。AMD出现在线性时不变时滞系统（TDS）的研究中。

设 $\mathbf{h}:=(h_1,\ldots,h_N)$ 为一个时滞向量，其中 $0\leq h_1<\cdots
$$\frac{dx(t)}{dt}=a(\boldsymbol{\delta})x(t)+b(\boldsymbol{\delta})u(t)$$
$$y(t)=c(\boldsymbol{\delta})x(t)+d(\boldsymbol{\delta})u(t),$$

其中 $a(\boldsymbol{\delta})\in\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]^{r\times r}$，$b(\boldsymbol{\delta})\in\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]^{r\times n}$，$c(\boldsymbol{\delta})\in\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]^{m\times r}$，$d(\boldsymbol{\delta})\in\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]^{m\times n}$。变换 $\left(\frac{d}{dt},\boldsymbol{\delta}\right)\!\!\longleftrightarrow\!(z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})$ 给出tds（1.4）的系统矩阵

$$\mathbf{s}(z):=\begin{bmatrix} zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \\ -c(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & d(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \end{bmatrix}$$

它是环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的一个矩阵。显然 $\mathbf{s}(z)$ 是一个amd，其亚纯传递函数为

$$m(z)=d(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})+c(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})(zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}))^{-1}b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}).$$

在时滞系统的背景下，我们对系统矩阵和amd作一个细微的区分。我们将条目属于 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 的amd称为具有时滞向量 $\mathbf{h}$ 的系统矩阵。具有时滞 $\mathbf{h}$ 的系统矩阵与一个lti时滞系统相关联，该系统可通过变换 $(z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})\!\!\longleftrightarrow\!\left(\frac{d}{dt},\boldsymbol{\delta}\right)$ 获得。

分析lti时滞系统主要有两种方法，即代数和泛函分析。代数方法将lti时滞系统表述为环 $\mathbb{c}\left[\frac{d}{dt},\boldsymbol{\delta}\right]:=\mathbb{c}\left[\frac{d}{dt},\delta_{h_1},\ldots,\delta_{h_n}\right]$ 上的有限生成模，参见文献[11]、[26]、[27]及其参考文献。等价地，在频域中，lti时滞系统被唯一地建模为环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的有限生成模，参见文献[11]、[26]、[27]。模论方法不需要系统矩阵，而是通过模的分析来分析系统属性，如可控性和可观性。另一方面，泛函分析方法使用希尔伯特空间和算子论的工具，通过线性算子来分析系统属性 [6]、[25]、[33]、[36]。我们提出第三种方法，即amd框架，用于分析lti时滞系统。

与lti系统相关联的pmd是环 $\mathbb{c}[z]$ 上的矩阵，基环 $\mathbb{c}[z]$ 使得可以开发各种工具来分析lti系统的pmd，参见文献[5]、[21]、[32]、[35]。相比之下，与具有时滞算子 $\boldsymbol{\delta}$ 的lti时滞系统相关联的系统矩阵是环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的矩阵。然而，基环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 不够大，无法开发类似于pmd中可用的工具来分析时滞系统。据我们所知，时滞系统的系统矩阵尚未被用于分析时滞系统。我们填补了这一空白。我们将环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的系统矩阵视为环 $\mathbb{h}(\mathbb{c})$ 上的amd，并开发了一个分析amd的一般框架，该框架包含pmd框架。

虽然pmd的大部分结果可以推广到amd，然而这种推广并非轻而易举，需要特别注意。例如，众所周知，lti系统（1.2）是可控和可观的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{p}(z)$ 是不可约的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{p}(z)$ 是最小阶的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{p}(z)$ 的阶等于 $g(z)$ 的最小阶，参见文献[5]、[21]。$\mathbf{p}(z)$ 的阶定义为 $\det(a(z))$ 的次数，$g(z)$ 的最小阶定义为 $g(z)$ 的有限极点总数（计重数）[21]、[35]。注意tds（1.4）的系统矩阵 $\mathbf{s}(z)$ 是全纯的，传递函数 $m(z)$ 是超越亚纯的。此外，$m(z)$ 在 $\mathbb{c}$ 中要么有有限个极点且无穷远点是孤立本性奇点，要么有无穷多个极点且无穷远点是非孤立本性奇点。因此，$\mathbf{s}(z)$ 的阶和 $m(z)$ 的最小阶的概念并不十分明显。我们引入了 $\mathbf{s}(z)$ 的阶和 $m(z)$ 的最小阶的概念，当 $\mathbf{s}(z)$ 是一个pmd时，它们与pmd的阶和相应传递函数的最小阶相一致。此外，我们证明了tds（1.4）是谱可控且谱可观的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{s}(z)$ 是不可约的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{s}(z)$ 是最小阶的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{s}(z)$ 的阶等于 $m(z)$ 的最小阶。因此，我们证明了时滞系统可以利用amd以与lti系统完全相同的方式进行分析。

lti时滞系统有多种可控性和可观性的概念 [6]、[11]、[24]、[27]、[33]、[36]。线性时不变tds的谱可控性和谱可观性 [6]、[24]、[33] 是如（1.2）所示的lti系统的可控性和可观性的自然推广，并且对于如（1.4）所示的tds的稳定性和反馈分析尤为重要，参见文献[25]、[28]。tds（1.4）谱可控性和谱可观性的popov-belevitch-hautus（pbh）型秩条件已在文献[6]、[24]中证明。例如，tds（1.4）是谱可控的 $\longleftrightarrow$ $\operatorname{rank}\begin{bmatrix} zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \end{bmatrix})=r$ 对所有 $z\in\mathbb{c}$ 成立。谱可控性的模论表征要复杂得多，特别是当时滞为非等比时。设 $\mathcal{m}$ 是 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的一个模，表示一个具有时滞算子 $\boldsymbol{\delta}$ 的时滞系统。考虑整函数环 $\mathfrak{g}_n:=\mathbb{c}(z)[e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}},e^{\mathbf{z}\mathbf{h}}]\cap\mathbb{h}(\mathbb{c})$，其中 $\mathbb{c}(z)$ 是有理函数域。假设模 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}},e^{\mathbf{z}\mathbf{h}}]\otimes_{\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]}\mathcal{m}$ 是无挠的。那么与模 $\mathcal{m}$ 相关联的时滞系统是谱可控的 $\longleftrightarrow$ 模 $\mathfrak{g}_n\otimes_{\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]}\mathcal{m}$ 是无挠的，参见文献[11, 命题7.2]和[27, 定理5.1]。

我们证明amd为分析lti时滞系统的系统属性（如谱可控性和谱可观性）提供了一个自然框架。我们证明了lti时滞系统谱可控性和谱可观性的若干等价表征，这些表征类似于lti系统（如（1.2））可控性和可观性的已知等价表征。例如，我们证明了tds（1.4）是谱可控的 $\longleftrightarrow$ $zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})$ 和 $b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})$ 在 $\mathbb{h}(\mathbb{c})$ 上是左互素的 $\longleftrightarrow$ $\begin{bmatrix} zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \end{bmatrix}$ 在 $\mathbb{h}(\mathbb{c})$ 上的smith形式是 $\begin{bmatrix} i_r & 0 \end{bmatrix}$ $\longleftrightarrow$ $\begin{bmatrix} zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \end{bmatrix}$ 在环 $\mathbb{h}(\mathbb{c})$ 上是右可逆的。这些表征无论时滞是等比还是非等比都成立。

lti系统的零点已在pmd框架 [5]、[21]、[32]、[35] 以及模框架 [8]、[10] 中进行了分析。相比之下，时滞系统的零点在文献中尚未被研究。我们证明amd为分析lti时滞系统的各种零点提供了自然设置，且这些零点与lti时滞系统的谱可控性、谱可观性和不可约性有直接关联。例如，我们证明了tds（1.4）是谱可控的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{s}(z)$ 的输入解耦零点集合为空集。这些结果表明，在amd框架下，时滞系统可以与其无时滞对应系统以完全相同的方式进行分析。

受（1.4）中的tds启发，我们对一般域 $\omega$ 上的全纯函数环 $\mathbb{h}(\omega)$ 上的amd和矩阵分式描述（mfd）进行了全面分析。我们的主要目标是建立一个类似于pmd框架的amd分析一般框架，并讨论pmd的结果可以在多大程度上推广到amd。我们证明了对pmd成立的重要结果（例如，互素mfd、丢番图方程的解、最小阶pmd、不可约pmd、pmd的等价性、标准型、通过传递函数对pmd的表征、零点和极点的结构指标等）可以推广到amd。我们利用amd框架来分析lti时滞系统的系统属性，如谱可控性和谱可观性，以及各种零点和极点。此外，为分析全纯和亚纯矩阵而开发的矩阵论工具可能具有独立意义，可被视为对"全纯和亚纯矩阵值函数的矩阵分析"的贡献。

最后，我们提到如何将有理函数 $g(z)$ 的mcmillan度推广到 $m(z)$ 尚不清楚，以及其对tds（1.4）的影响。此外，$m(z)$ 和 $\mathbf{h}(z)$ 奇异结构（即最小基和最小指标的对等物）的分析仍然是一个开放问题。

本文其余部分组织如下。第2节介绍本文其余部分所需的基本知识。第3节开发分析全纯和亚纯矩阵所需的工具，并引入超越亚纯矩阵的最小阶概念。第4节详细分析amd，并讨论等价amd、标准型、amd的零点和极点以及不可约amd。第5节致力于在amd框架下分析lti时滞系统的系统属性。

**记号：** 设 $\mathbb{c}[z]$ 表示系数在 $\mathbb{c}$ 中的标量多项式环，$\mathbb{c}(z)$ 表示形式为 $p(z)/q(z)$ 的有理函数域，其中 $p(z)$ 和 $q(z)$ 是 $\mathbb{c}[z]$ 中的多项式。我们用 $\mathbb{c}^{m\times n}$、$\mathbb{c}[z]^{m\times n}$ 和 $\mathbb{c}(z)^{m\times n}$ 分别表示 $\mathbb{c}$、$\mathbb{c}[z]$ 和 $\mathbb{c}(z)$ 中所有 $m\times n$ 矩阵的集合。$\mathbb{c}[z]^{m\times n}$ 中的元素称为矩阵多项式，$\mathbb{c}(z)^{m\times n}$ 中的元素称为有理矩阵。$m\times n$ 零矩阵记为 $0_{m\times n}$ 以及 $0_{m,n}$。$n\times n$ 单位矩阵记为 $i_n$。

## 小节片段

### 基本知识

设 $\mathcal{o}\subset\mathbb{c}$ 为一个区域，即 $\mathcal{o}$ 是一个非空连通开集。设 $x$ 为一个复banach空间。若 $f$ 在 $\mathcal{o}$ 上可微，则称函数 $f:\mathcal{o}\longrightarrow x$ 在 $\mathcal{o}$ 中是全纯的（或解析的）。我们用 $\mathbb{h}(\mathcal{o},x)$（相应地，$\mathbb{m}(\mathcal{o})$）表示 $\mathcal{o}$ 上所有 $x$ 值全纯（相应地，亚纯）函数的集合，即

$$\mathbb{h}(\mathcal{o},x):=\{f:\mathcal{o}\longrightarrow x \mid f \text{ 在 } \mathcal{o} \text{ 中是全纯的}\},$$
$$\mathbb{m}(\mathcal{o},x):=\{f:\mathcal{o}\longrightarrow x \mid f \text{ 在 } \mathcal{o} \text{ 中是亚纯的}\}.$$

设 $\omega\subset\mathbb{c}$ 为一个区域，即 $\omega$ 的内部是一个区域，$\omega$ 可能包含其边界 $\partial\omega$ 的部分或全部。 $\boldsymbol{\delta}:=(\delta_{h_1},\ldots,\delta_{h_N})$，其中 $\delta_{h_i}f(t):=f(t-h_i)$ 为局部时滞算子，$i=1:\!N$。考虑多项式环 $\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]:=\mathbb{C}[\delta_{h_1},\ldots,\delta_{h_N}]$ 和 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]:=\mathbb{C}[z,e^{-zh_1},\ldots,e^{-zh_N}]$。后向LTI时滞系统由下式给出 [6]、[12]、[13]、[24]、[25]、[29]、[30]、[37]： $$\frac{dx(t)}{dt}=A(\boldsymbol{\delta})x(t)+B(\boldsymbol{\delta})u(t)$$ $$y(t)=C(\boldsymbol{\delta})x(t)+D(\boldsymbol{\delta})u(t),$$ 其中 $a(\boldsymbol{\delta})\in\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]^{r\times r}$，$b(\boldsymbol{\delta})\in\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]^{r\times n}$，$c(\boldsymbol{\delta})\in\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]^{m\times r}$，$d(\boldsymbol{\delta})\in\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]^{m\times n}$。变换 $\left(\frac{d}{dt},\boldsymbol{\delta}\right)\!\!\longleftrightarrow\!(z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})$ 给出tds（1.4）的系统矩阵 $$\mathbf{s}(z):=\begin{bmatrix} zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \\ -c(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & d(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \end{bmatrix}$$ 它是环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的一个矩阵。显然 $\mathbf{s}(z)$ 是一个amd，其亚纯传递函数为 $$m(z)=D(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})+C(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})(zI_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}))^{-1}b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}).$$ 在时滞系统的背景下，我们对系统矩阵和amd作一个细微的区分。我们将条目属于 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 的amd称为具有时滞向量 $\mathbf{h}$ 的系统矩阵。具有时滞 $\mathbf{h}$ 的系统矩阵与一个lti时滞系统相关联，该系统可通过变换 $(z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})\!\!\longleftrightarrow\!\left(\frac{d}{dt},\boldsymbol{\delta}\right)$ 获得。 分析lti时滞系统主要有两种方法，即代数和泛函分析。代数方法将lti时滞系统表述为环 $\mathbb{c}\left[\frac{d}{dt},\boldsymbol{\delta}\right]:=\mathbb{C}\left[\frac{d}{dt},\delta_{h_1},\ldots,\delta_{h_N}\right]$ 上的有限生成模，参见文献[11]、[26]、[27]及其参考文献。等价地，在频域中，lti时滞系统被唯一地建模为环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的有限生成模，参见文献[11]、[26]、[27]。模论方法不需要系统矩阵，而是通过模的分析来分析系统属性，如可控性和可观性。另一方面，泛函分析方法使用希尔伯特空间和算子论的工具，通过线性算子来分析系统属性 [6]、[25]、[33]、[36]。我们提出第三种方法，即amd框架，用于分析lti时滞系统。 与lti系统相关联的pmd是环 $\mathbb{c}[z]$ 上的矩阵，基环 $\mathbb{c}[z]$ 使得可以开发各种工具来分析lti系统的pmd，参见文献[5]、[21]、[32]、[35]。相比之下，与具有时滞算子 $\boldsymbol{\delta}$ 的lti时滞系统相关联的系统矩阵是环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的矩阵。然而，基环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 不够大，无法开发类似于pmd中可用的工具来分析时滞系统。据我们所知，时滞系统的系统矩阵尚未被用于分析时滞系统。我们填补了这一空白。我们将环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的系统矩阵视为环 $\mathbb{h}(\mathbb{c})$ 上的amd，并开发了一个分析amd的一般框架，该框架包含pmd框架。 虽然pmd的大部分结果可以推广到amd，然而这种推广并非轻而易举，需要特别注意。例如，众所周知，lti系统（1.2）是可控和可观的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{p}(z)$ 是不可约的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{p}(z)$ 是最小阶的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{p}(z)$ 的阶等于 $g(z)$ 的最小阶，参见文献[5]、[21]。$\mathbf{p}(z)$ 的阶定义为 $\det(a(z))$ 的次数，$g(z)$ 的最小阶定义为 $g(z)$ 的有限极点总数（计重数）[21]、[35]。注意tds（1.4）的系统矩阵 $\mathbf{s}(z)$ 是全纯的，传递函数 $m(z)$ 是超越亚纯的。此外，$m(z)$ 在 $\mathbb{c}$ 中要么有有限个极点且无穷远点是孤立本性奇点，要么有无穷多个极点且无穷远点是非孤立本性奇点。因此，$\mathbf{s}(z)$ 的阶和 $m(z)$ 的最小阶的概念并不十分明显。我们引入了 $\mathbf{s}(z)$ 的阶和 $m(z)$ 的最小阶的概念，当 $\mathbf{s}(z)$ 是一个pmd时，它们与pmd的阶和相应传递函数的最小阶相一致。此外，我们证明了tds（1.4）是谱可控且谱可观的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{s}(z)$ 是不可约的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{s}(z)$ 是最小阶的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{s}(z)$ 的阶等于 $m(z)$ 的最小阶。因此，我们证明了时滞系统可以利用amd以与lti系统完全相同的方式进行分析。 lti时滞系统有多种可控性和可观性的概念 [6]、[11]、[24]、[27]、[33]、[36]。线性时不变tds的谱可控性和谱可观性 [6]、[24]、[33] 是如（1.2）所示的lti系统的可控性和可观性的自然推广，并且对于如（1.4）所示的tds的稳定性和反馈分析尤为重要，参见文献[25]、[28]。tds（1.4）谱可控性和谱可观性的popov-belevitch-hautus（pbh）型秩条件已在文献[6]、[24]中证明。例如，tds（1.4）是谱可控的 $\longleftrightarrow$ $\operatorname{rank}\begin{bmatrix} zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \end{bmatrix})=r$ 对所有 $z\in\mathbb{c}$ 成立。谱可控性的模论表征要复杂得多，特别是当时滞为非等比时。设 $\mathcal{m}$ 是 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的一个模，表示一个具有时滞算子 $\boldsymbol{\delta}$ 的时滞系统。考虑整函数环 $\mathfrak{g}_n:=\mathbb{C}(z)[e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}},e^{\mathbf{z}\mathbf{h}}]\cap\mathbb{H}(\mathbb{C})$，其中 $\mathbb{c}(z)$ 是有理函数域。假设模 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}},e^{\mathbf{z}\mathbf{h}}]\otimes_{\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]}\mathcal{m}$ 是无挠的。那么与模 $\mathcal{m}$ 相关联的时滞系统是谱可控的 $\longleftrightarrow$ 模 $\mathfrak{g}_n\otimes_{\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]}\mathcal{m}$ 是无挠的，参见文献[11, 命题7.2]和[27, 定理5.1]。 我们证明amd为分析lti时滞系统的系统属性（如谱可控性和谱可观性）提供了一个自然框架。我们证明了lti时滞系统谱可控性和谱可观性的若干等价表征，这些表征类似于lti系统（如（1.2））可控性和可观性的已知等价表征。例如，我们证明了tds（1.4）是谱可控的 $\longleftrightarrow$ $zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})$ 和 $b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})$ 在 $\mathbb{h}(\mathbb{c})$ 上是左互素的 $\longleftrightarrow$ $\begin{bmatrix} zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \end{bmatrix}$ 在 $\mathbb{h}(\mathbb{c})$ 上的smith形式是 $\begin{bmatrix} i_r & 0 \end{bmatrix}$ $\longleftrightarrow$ $\begin{bmatrix} zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \end{bmatrix}$ 在环 $\mathbb{h}(\mathbb{c})$ 上是右可逆的。这些表征无论时滞是等比还是非等比都成立。 lti系统的零点已在pmd框架 [5]、[21]、[32]、[35] 以及模框架 [8]、[10] 中进行了分析。相比之下，时滞系统的零点在文献中尚未被研究。我们证明amd为分析lti时滞系统的各种零点提供了自然设置，且这些零点与lti时滞系统的谱可控性、谱可观性和不可约性有直接关联。例如，我们证明了tds（1.4）是谱可控的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{s}(z)$ 的输入解耦零点集合为空集。这些结果表明，在amd框架下，时滞系统可以与其无时滞对应系统以完全相同的方式进行分析。 受（1.4）中的tds启发，我们对一般域 $\omega$ 上的全纯函数环 $\mathbb{h}(\omega)$ 上的amd和矩阵分式描述（mfd）进行了全面分析。我们的主要目标是建立一个类似于pmd框架的amd分析一般框架，并讨论pmd的结果可以在多大程度上推广到amd。我们证明了对pmd成立的重要结果（例如，互素mfd、丢番图方程的解、最小阶pmd、不可约pmd、pmd的等价性、标准型、通过传递函数对pmd的表征、零点和极点的结构指标等）可以推广到amd。我们利用amd框架来分析lti时滞系统的系统属性，如谱可控性和谱可观性，以及各种零点和极点。此外，为分析全纯和亚纯矩阵而开发的矩阵论工具可能具有独立意义，可被视为对"全纯和亚纯矩阵值函数的矩阵分析"的贡献。 最后，我们提到如何将有理函数 $g(z)$ 的mcmillan度推广到 $m(z)$ 尚不清楚，以及其对tds（1.4）的影响。此外，$m(z)$ 和 $\mathbf{h}(z)$ 奇异结构（即最小基和最小指标的对等物）的分析仍然是一个开放问题。 本文其余部分组织如下。第2节介绍本文其余部分所需的基本知识。第3节开发分析全纯和亚纯矩阵所需的工具，并引入超越亚纯矩阵的最小阶概念。第4节详细分析amd，并讨论等价amd、标准型、amd的零点和极点以及不可约amd。第5节致力于在amd框架下分析lti时滞系统的系统属性。 **记号：** 设 $\mathbb{c}[z]$ 表示系数在 $\mathbb{c}$ 中的标量多项式环，$\mathbb{c}(z)$ 表示形式为 $p(z) q(z)$ 的有理函数域，其中 $p(z)$ 和 $q(z)$ 是 $\mathbb{c}[z]$ 中的多项式。我们用 $\mathbb{c}^{m\times n}$、$\mathbb{c}[z]^{m\times n}$ 和 $\mathbb{c}(z)^{m\times n}$ 分别表示 $\mathbb{c}$、$\mathbb{c}[z]$ 和 $\mathbb{c}(z)$ 中所有 $m\times n$ 矩阵的集合。$\mathbb{c}[z]^{m\times n}$ 中的元素称为矩阵多项式，$\mathbb{c}(z)^{m\times n}$ 中的元素称为有理矩阵。$m\times n$ 零矩阵记为 $0_{m\times n}$ 以及 $0_{m,n}$。$n\times n$ 单位矩阵记为 $i_n$。 ## 小节片段 ### 基本知识 设 $\mathcal{o}\subset\mathbb{c}$ 为一个区域，即 $\mathcal{o}$ 是一个非空连通开集。设 $x$ 为一个复banach空间。若 $f$ 在 $\mathcal{o}$ 上可微，则称函数 $f:\mathcal{o}\longrightarrow x$ 在 $\mathcal{o}$ 中是全纯的（或解析的）。我们用 $\mathbb{h}(\mathcal{o},x)$（相应地，$\mathbb{m}(\mathcal{o})$）表示 $\mathcal{o}$ 上所有 $x$ 值全纯（相应地，亚纯）函数的集合，即 $$\mathbb{h}(\mathcal{o},x):=\{f:\mathcal{O}\longrightarrow x \mid f \text{ 在 } \mathcal{o} \text{ 中是全纯的}\},$$ $$\mathbb{m}(\mathcal{o},x):=\{f:\mathcal{O}\longrightarrow x \mid f \text{ 在 } \mathcal{o} \text{ 中是亚纯的}\}.$$ 设 $\omega\subset\mathbb{c}$ 为一个区域，即 $\omega$ 的内部是一个区域，$\omega$ 可能包含其边界 $\partial\omega$>
$$\frac{dx(t)}{dt}=a(\boldsymbol{\delta})x(t)+b(\boldsymbol{\delta})u(t)$$
$$y(t)=c(\boldsymbol{\delta})x(t)+d(\boldsymbol{\delta})u(t),$$

其中 $a(\boldsymbol{\delta})\in\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]^{r\times r}$，$b(\boldsymbol{\delta})\in\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]^{r\times n}$，$c(\boldsymbol{\delta})\in\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]^{m\times r}$，$d(\boldsymbol{\delta})\in\mathbb{c}[\boldsymbol{\delta}]^{m\times n}$。变换 $\left(\frac{d}{dt},\boldsymbol{\delta}\right)\!\!\longleftrightarrow\!(z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})$ 给出tds（1.4）的系统矩阵

$$\mathbf{s}(z):=\begin{bmatrix} zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \\ -c(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & d(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \end{bmatrix}$$

它是环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的一个矩阵。显然 $\mathbf{s}(z)$ 是一个amd，其亚纯传递函数为

$$m(z)=d(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})+c(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})(zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}))^{-1}b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}).$$

在时滞系统的背景下，我们对系统矩阵和amd作一个细微的区分。我们将条目属于 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 的amd称为具有时滞向量 $\mathbf{h}$ 的系统矩阵。具有时滞 $\mathbf{h}$ 的系统矩阵与一个lti时滞系统相关联，该系统可通过变换 $(z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})\!\!\longleftrightarrow\!\left(\frac{d}{dt},\boldsymbol{\delta}\right)$ 获得。

分析lti时滞系统主要有两种方法，即代数和泛函分析。代数方法将lti时滞系统表述为环 $\mathbb{c}\left[\frac{d}{dt},\boldsymbol{\delta}\right]:=\mathbb{c}\left[\frac{d}{dt},\delta_{h_1},\ldots,\delta_{h_n}\right]$ 上的有限生成模，参见文献[11]、[26]、[27]及其参考文献。等价地，在频域中，lti时滞系统被唯一地建模为环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的有限生成模，参见文献[11]、[26]、[27]。模论方法不需要系统矩阵，而是通过模的分析来分析系统属性，如可控性和可观性。另一方面，泛函分析方法使用希尔伯特空间和算子论的工具，通过线性算子来分析系统属性 [6]、[25]、[33]、[36]。我们提出第三种方法，即amd框架，用于分析lti时滞系统。

与lti系统相关联的pmd是环 $\mathbb{c}[z]$ 上的矩阵，基环 $\mathbb{c}[z]$ 使得可以开发各种工具来分析lti系统的pmd，参见文献[5]、[21]、[32]、[35]。相比之下，与具有时滞算子 $\boldsymbol{\delta}$ 的lti时滞系统相关联的系统矩阵是环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的矩阵。然而，基环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 不够大，无法开发类似于pmd中可用的工具来分析时滞系统。据我们所知，时滞系统的系统矩阵尚未被用于分析时滞系统。我们填补了这一空白。我们将环 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的系统矩阵视为环 $\mathbb{h}(\mathbb{c})$ 上的amd，并开发了一个分析amd的一般框架，该框架包含pmd框架。

虽然pmd的大部分结果可以推广到amd，然而这种推广并非轻而易举，需要特别注意。例如，众所周知，lti系统（1.2）是可控和可观的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{p}(z)$ 是不可约的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{p}(z)$ 是最小阶的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{p}(z)$ 的阶等于 $g(z)$ 的最小阶，参见文献[5]、[21]。$\mathbf{p}(z)$ 的阶定义为 $\det(a(z))$ 的次数，$g(z)$ 的最小阶定义为 $g(z)$ 的有限极点总数（计重数）[21]、[35]。注意tds（1.4）的系统矩阵 $\mathbf{s}(z)$ 是全纯的，传递函数 $m(z)$ 是超越亚纯的。此外，$m(z)$ 在 $\mathbb{c}$ 中要么有有限个极点且无穷远点是孤立本性奇点，要么有无穷多个极点且无穷远点是非孤立本性奇点。因此，$\mathbf{s}(z)$ 的阶和 $m(z)$ 的最小阶的概念并不十分明显。我们引入了 $\mathbf{s}(z)$ 的阶和 $m(z)$ 的最小阶的概念，当 $\mathbf{s}(z)$ 是一个pmd时，它们与pmd的阶和相应传递函数的最小阶相一致。此外，我们证明了tds（1.4）是谱可控且谱可观的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{s}(z)$ 是不可约的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{s}(z)$ 是最小阶的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{s}(z)$ 的阶等于 $m(z)$ 的最小阶。因此，我们证明了时滞系统可以利用amd以与lti系统完全相同的方式进行分析。

lti时滞系统有多种可控性和可观性的概念 [6]、[11]、[24]、[27]、[33]、[36]。线性时不变tds的谱可控性和谱可观性 [6]、[24]、[33] 是如（1.2）所示的lti系统的可控性和可观性的自然推广，并且对于如（1.4）所示的tds的稳定性和反馈分析尤为重要，参见文献[25]、[28]。tds（1.4）谱可控性和谱可观性的popov-belevitch-hautus（pbh）型秩条件已在文献[6]、[24]中证明。例如，tds（1.4）是谱可控的 $\longleftrightarrow$ $\operatorname{rank}\begin{bmatrix} zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \end{bmatrix})=r$ 对所有 $z\in\mathbb{c}$ 成立。谱可控性的模论表征要复杂得多，特别是当时滞为非等比时。设 $\mathcal{m}$ 是 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]$ 上的一个模，表示一个具有时滞算子 $\boldsymbol{\delta}$ 的时滞系统。考虑整函数环 $\mathfrak{g}_n:=\mathbb{c}(z)[e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}},e^{\mathbf{z}\mathbf{h}}]\cap\mathbb{h}(\mathbb{c})$，其中 $\mathbb{c}(z)$ 是有理函数域。假设模 $\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}},e^{\mathbf{z}\mathbf{h}}]\otimes_{\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]}\mathcal{m}$ 是无挠的。那么与模 $\mathcal{m}$ 相关联的时滞系统是谱可控的 $\longleftrightarrow$ 模 $\mathfrak{g}_n\otimes_{\mathbb{c}[z,e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}]}\mathcal{m}$ 是无挠的，参见文献[11, 命题7.2]和[27, 定理5.1]。

我们证明amd为分析lti时滞系统的系统属性（如谱可控性和谱可观性）提供了一个自然框架。我们证明了lti时滞系统谱可控性和谱可观性的若干等价表征，这些表征类似于lti系统（如（1.2））可控性和可观性的已知等价表征。例如，我们证明了tds（1.4）是谱可控的 $\longleftrightarrow$ $zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})$ 和 $b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}})$ 在 $\mathbb{h}(\mathbb{c})$ 上是左互素的 $\longleftrightarrow$ $\begin{bmatrix} zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \end{bmatrix}$ 在 $\mathbb{h}(\mathbb{c})$ 上的smith形式是 $\begin{bmatrix} i_r & 0 \end{bmatrix}$ $\longleftrightarrow$ $\begin{bmatrix} zi_r - a(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) & b(e^{-\mathbf{z}\mathbf{h}}) \end{bmatrix}$ 在环 $\mathbb{h}(\mathbb{c})$ 上是右可逆的。这些表征无论时滞是等比还是非等比都成立。

lti系统的零点已在pmd框架 [5]、[21]、[32]、[35] 以及模框架 [8]、[10] 中进行了分析。相比之下，时滞系统的零点在文献中尚未被研究。我们证明amd为分析lti时滞系统的各种零点提供了自然设置，且这些零点与lti时滞系统的谱可控性、谱可观性和不可约性有直接关联。例如，我们证明了tds（1.4）是谱可控的 $\longleftrightarrow$ $\mathbf{s}(z)$ 的输入解耦零点集合为空集。这些结果表明，在amd框架下，时滞系统可以与其无时滞对应系统以完全相同的方式进行分析。

受（1.4）中的tds启发，我们对一般域 $\omega$ 上的全纯函数环 $\mathbb{h}(\omega)$ 上的amd和矩阵分式描述（mfd）进行了全面分析。我们的主要目标是建立一个类似于pmd框架的amd分析一般框架，并讨论pmd的结果可以在多大程度上推广到amd。我们证明了对pmd成立的重要结果（例如，互素mfd、丢番图方程的解、最小阶pmd、不可约pmd、pmd的等价性、标准型、通过传递函数对pmd的表征、零点和极点的结构指标等）可以推广到amd。我们利用amd框架来分析lti时滞系统的系统属性，如谱可控性和谱可观性，以及各种零点和极点。此外，为分析全纯和亚纯矩阵而开发的矩阵论工具可能具有独立意义，可被视为对"全纯和亚纯矩阵值函数的矩阵分析"的贡献。

最后，我们提到如何将有理函数 $g(z)$ 的mcmillan度推广到 $m(z)$ 尚不清楚，以及其对tds（1.4）的影响。此外，$m(z)$ 和 $\mathbf{h}(z)$ 奇异结构（即最小基和最小指标的对等物）的分析仍然是一个开放问题。

本文其余部分组织如下。第2节介绍本文其余部分所需的基本知识。第3节开发分析全纯和亚纯矩阵所需的工具，并引入超越亚纯矩阵的最小阶概念。第4节详细分析amd，并讨论等价amd、标准型、amd的零点和极点以及不可约amd。第5节致力于在amd框架下分析lti时滞系统的系统属性。

**记号：** 设 $\mathbb{c}[z]$ 表示系数在 $\mathbb{c}$ 中的标量多项式环，$\mathbb{c}(z)$ 表示形式为 $p(z)/q(z)$ 的有理函数域，其中 $p(z)$ 和 $q(z)$ 是 $\mathbb{c}[z]$ 中的多项式。我们用 $\mathbb{c}^{m\times n}$、$\mathbb{c}[z]^{m\times n}$ 和 $\mathbb{c}(z)^{m\times n}$ 分别表示 $\mathbb{c}$、$\mathbb{c}[z]$ 和 $\mathbb{c}(z)$ 中所有 $m\times n$ 矩阵的集合。$\mathbb{c}[z]^{m\times n}$ 中的元素称为矩阵多项式，$\mathbb{c}(z)^{m\times n}$ 中的元素称为有理矩阵。$m\times n$ 零矩阵记为 $0_{m\times n}$ 以及 $0_{m,n}$。$n\times n$ 单位矩阵记为 $i_n$。

## 小节片段

### 基本知识

设 $\mathcal{o}\subset\mathbb{c}$ 为一个区域，即 $\mathcal{o}$ 是一个非空连通开集。设 $x$ 为一个复banach空间。若 $f$ 在 $\mathcal{o}$ 上可微，则称函数 $f:\mathcal{o}\longrightarrow x$ 在 $\mathcal{o}$ 中是全纯的（或解析的）。我们用 $\mathbb{h}(\mathcal{o},x)$（相应地，$\mathbb{m}(\mathcal{o})$）表示 $\mathcal{o}$ 上所有 $x$ 值全纯（相应地，亚纯）函数的集合，即

$$\mathbb{h}(\mathcal{o},x):=\{f:\mathcal{o}\longrightarrow x \mid f \text{ 在 } \mathcal{o} \text{ 中是全纯的}\},$$
$$\mathbb{m}(\mathcal{o},x):=\{f:\mathcal{o}\longrightarrow x \mid f \text{ 在 } \mathcal{o} \text{ 中是亚纯的}\}.$$

设 $\omega\subset\mathbb{c}$ 为一个区域，即 $\omega$ 的内部是一个区域，$\omega$ 可能包含其边界 $\partial\omega$ 的部分或全部。>

# 矩阵分式描述（MFD）

有理矩阵的矩阵分式描述（MFD）是分析有理矩阵分式描述（PMD）的有力工具。在本节中，我们针对子午矩阵的MFD发展了类似的理论。

设 ?? ∈ ?(Ω) 为 ??×?? 矩阵，?? ∈ ?(Ω) 为 ??×?? 矩阵。若存在 ?? ∈ ?(Ω) 为 ??×?? 矩阵使得 ?? = ????，则称 ?? 是 ?? 的一个右因子。设 ?? ∈ ?(Ω) 为 ??×?? 矩阵。若 ?? 同时也是 ?? 的一个右因子，则称 ?? 是 ?? 和 ?? 的公右因子。进一步，若对于 ?? ∈ ?(Ω) 为 ??×?? 矩阵，若 ?? 是 ?? 和 ?? 的一个公右因子，则称 ?? 是 ?? 和 ?? 的最大公右因子（GCRD），且 ?? 是解析矩阵。

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# 解析矩阵描述（AMD）

我们在（1.4）中看到，时滞系统给出了一个AMD以及其对应的传递函数。另一方面，我们现在证明一个子午矩阵可以被表示为一个AMD的传递函数。本节的目标是对AMD、传递函数及其典范形式进行全面分析。

我们首先讨论子午矩阵的传递函数实现及其对应的AMD。其基本思想是分析子午矩阵的零点和极点。

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# 时滞系统

设 ?? := (??, …, ?_??) 为一个时滞向量，其中 0 ≤ ?? < ? < ?_??。若 ?? 中所有时滞均为某一单一时滞的有理数倍，则称 ?? 中的时滞为可通量的；否则，称其为不可通量的。换言之，若 ?? 中至少有两个时滞在有理数域 ? 上的向量空间 ? 中线性无关（即有理独立），则称 ?? 中的时滞为不可通量的。

对于每一个函数 ?? : ? ? ?，定义局部化时滞算子 ??_{??}, …, ??_{?_??}，其中对于 ?? = 1 : ??，有 ??_{?_??} ??(??) := ??(?? ? ?_??)。

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# 基金

第二作者的研究工作由印度政府古瓦哈蒂印度理工学院以研究奖学金的形式资助。

# 致谢

作者感谢两位匿名审稿人提出的宝贵意见和建议，这些建议极大地改进了本文。

Rafikul Alam | Jibrail Ali