一种基于二阶锥规划（SOCP）的考虑传感器位置误差的异构PEL-PCL网络联合定位方法

《Signal Processing》：An SOCP-Based Joint Localization Method for Heterogeneous PEL–PCL Networks with Sensor Position Errors

　　

在传感器位置误差存在的情况下建立了一种联合PEL–PCL定位模型。推导了CRLB以表征测量和传感器位置不确定性对定位性能的影响。提出了一种基于二阶锥规划的被动异构网络两阶段定位算法。引入了惩罚项以抑制解的漂移并缓解凸包效应。实现了接近CRLB的性能，并优于TES、ICLS和WLS方法。

## 引言

多传感器组网在目标定位中发挥着重要作用。与单传感器定位相比，多传感器系统可以显著提高定位精度并扩展覆盖范围[1],[2],[3]。现有的多传感器定位系统通常依赖于到达时间（TOA）[4],[5]、到达时间差（TDOA）[6]、到达角度（AOA）[7]、到达频差（FDOA）[8]和接收信号强度（RSS）[9]等测量量。由于任何单一类型的测量在定位性能、鲁棒性和系统配置方面都存在固有局限性，许多研究致力于通过联合利用多种类型的测量来提高定位精度或减少所需传感器数量[10],[11]。然而，这些方法仍然主要局限于同构传感器网络。为了进一步提高信息利用率和系统灵活性，越来越多的研究关注异构传感器网络的目标定位[12],[13],[14]。除了提高定位精度外，异构网络还可以提高测量利用效率，在一定程度上缓解单一系统的硬件部署负担[15]。

在现有的异构被动定位系统中，结合被动辐射源定位（PEL）和被动相干定位（PCL）的集成系统受到了广泛关注。两种系统都属于被动感知范式，具有电磁静默和强隐蔽性等优点。在独立的PEL系统中，通常需要多个接收机拦截目标辐射的信号，并利用相应的测量量实现目标定位[16]。相比之下，PCL系统主要利用多个接收机接收到的机会信号衍生的差分时间延迟（DTD）测量量来定位目标[17],[18]。由于两种系统在观测机制和信息源方面具有互补性，它们的集成有望进一步提升定位性能。然而，在实际应用中，发射源辐射方向图、传播条件以及信号检测算法中的漏检等因素可能导致某些被动接收机无法有效捕获目标信号，从而降低单个定位系统的性能甚至导致系统失效[19]。相比之下，异构PEL–PCL集成系统可以在一定程度上缓解这些问题。通过融合两种系统的观测信息，集成系统不仅扩展了可利用信息源的范围，还加强了定位方程的约束，从而在复杂条件下提供了更强的鲁棒定位潜力[20]。

从求解方法的角度来看，目标定位问题通常可以表述为求解一组非线性方程。现有的定位算法可以大致分为迭代方法和闭式方法两大类，这两类方法在实际中也可以组合使用。迭代方法主要包括基于Taylor级数展开的方法，通过局部线性化非线性方程来获得迭代解[21],[22]。此外，一些研究利用半定规划（SDP）将局部二次约束二次规划（QCQP）问题转化为凸优化问题，然后使用CVX等工具进行近似求解[23],[24]。然而，这类方法通常对初值敏感，不适当的初始化可能导致收敛困难甚至发散。另一类是闭式方法，其中Chan算法已被广泛应用于被动定位[25]。该算法通过引入辅助变量实现方程的伪线性化，并利用辅助变量与目标位置之间的关系进一步提高定位性能。在小误差条件下，它可以达到克拉美罗下界（CRLB）。基于Chan算法，大量扩展方法已被提出[26],[27]。

需要注意的是，上述大多数算法主要是为同构网络开发的，并不能充分解决异构网络中的定位问题。对于PEL–PCL异构网络，Aubry等人[28]提出了几种方法，包括扩展二阶段估计器（TES）、约束最小二乘法（CLS）和迭代约束最小二乘法（ICLS）。仿真结果表明，所有方法在小误差条件下均可达到CRLB。然而，这些方法通常假设PEL和PCL接收机共置且所有接收机均能获取有效信号，这些假设在实际应用中往往难以满足。为了解决这一问题，Hu等人[20]进一步分别提出了基于半定松弛（SDR）和Newton–Homotopy方法的两种定位方法，从而实现了非共置条件下异构网络的目标定位。他们的CRLB分析进一步表明，异构网络比独立网络能够实现更高的定位精度。

除测量误差外，传感器位置误差是影响定位性能的另一个重要因素[29],[30],[31]。定位结果通常对接收机位置的准确性高度敏感，即使估计与真实传感器位置之间存在微小偏差，也可能导致定位性能大幅下降[32],[33],[34]。在实际应用中，接收机可能部署在高速移动平台上或粗糙海面等复杂环境中，其位置信息通常由自主定位系统获取，因此不可避免地存在误差。在独立PEL系统中，Wang等人[35]分析了传感器位置误差对定位精度的影响，推导了存在此类误差时的CRLB，并提出了一种序贯定位算法。然而，在异构定位系统中，传感器位置误差同样普遍存在，且其对定位性能的影响更为复杂。基于此问题，本文在存在传感器位置误差的情况下建立了联合PEL–PCL定位模型，并系统研究了其对异构系统定位性能的影响。

与现有的PEL–PCL定位方法相比，本文的主要区别在于将传感器位置不确定性明确纳入异构被动定位模型中。文献[28]中的方法主要解决共置或理想传感器位置假设下的联合PEL–PCL定位问题，而文献[20]中的方法将异构PEL–PCL模型扩展到非共置配置，但仍依赖于准确已知的接收机位置。然而，在实际被动网络中，接收机位置通常由导航或自主定位系统获取，不可避免地存在误差。这些误差与异构PEL和PCL测量量之间存在非线性耦合，因此不能简单地被测量噪声所吸收。这促使我们开发一种能够同时考虑测量误差和传感器位置误差的定位框架。

从上述分析可以看出，现有研究在建模非共置异构网络和传感器位置误差影响分析方面仍存在局限，这构成了本工作的主要动机。本文的主要贡献总结如下：

- 建立了存在传感器位置误差时的联合PEL–PCL定位模型。为考虑异构被动定位系统中接收机位置不完全已知的实际场景，开发了一种更通用的联合定位观测模型，为后续的性能分析和算法设计奠定了基础。
- 提出了一种两阶段联合定位算法。在第一阶段，利用SOCP方法对原始QCQP问题进行凸松弛，并引入惩罚项以缓解松弛过程引起的凸包问题。在第二阶段，通过利用辅助变量与目标位置之间的关系对初始估计进行进一步细化，从而提高定位精度。
- 推导了存在传感器位置误差时的CRLB，并系统分析了关键因素对定位性能的影响。具体而言，从理论上研究了测量误差、传感器位置误差以及传感器几何构型对定位精度的影响。同时通过仿真实验验证了所提算法的有效性，为传感器部署和参数选择提供了理论指导。

本文其余部分组织如下：第2节建立了存在传感器位置误差时的联合PEL–PCL定位模型。第3节推导了对应的CRLB并分析了两种误差对定位精度的影响。第4节介绍了所提出的定位算法。第5节通过仿真结果验证了所提算法的有效性。最后，第6节对全文进行了总结。

**符号约定：** 标量用斜体字母表示；粗体小写字母和大写字母分别表示向量和矩阵。符号 ‖·‖、⊙、(·)^T、tr(·)、E{·} 和 rank(·) 分别表示 ?? 范数、逐元素乘积、转置、迹、期望和秩运算。diag(·) 表示构造对角矩阵或提取矩阵的对角元素。blkdiag(·) 表示构造分块对角矩阵。[A]_{i,j} 和 [a]_{i:j} 分别表示 A 的第(i,j)个元素和 a 的第i到第j个元素组成的子向量。[A]_{i:j, m:n} 表示 A 的子矩阵。O_{m×n} 和 0_n 分别表示 m×n 的零矩阵和长度为n的全零向量。R^{m×n} 表示所有 m×n 实矩阵的空间。

## 第2节 目标定位模型

在推导定位方程之前，我们简要阐明异构PEL和PCL测量的物理含义。在PEL子系统中，每个接收机拦截非合作目标辐射的信号。由于目标发射时间未知，TOA测量量被转换为相对于一个参考PEL接收机的TDOA测量量，对应于目标到接收机传播路径之间的距离差。在PCL子系统中，每个接收机接收到的机会信号衍生的差分时间延迟测量量可用于目标定位。

## 第3节 克拉美罗下界

从CRLB中推导出的参数向量表示为 θ = [u_o^T, Δ_s^T, Δ_p^T]^T。联合测量方程为：
r = r_o(θ) + n,
r_o(θ) = [r_{E,o}, r_{C,o}]^T ∈ R^{N_E + N_C - 2}。

传感器位置误差和测量误差均被假设为零均值高斯分布且相互独立。参数化r、Δ_s和Δ_p关于θ的联合概率密度函数的对数为：

ln f(r, Δ_s, Δ_p; θ) = k ? ?(r ? r_o)^T Q_1^{-1} (r ? r_o) ? ? Δ_s^T Q_{2E}^{-1} Δ_s ? ? Δ_p^T Q_{2C}^{-1} Δ_p

其中k是独立于θ的常数。Q_1表示…

## 第4节 目标定位算法

尽管第2节中的伪线性化揭示了耦合PEL–PCL定位问题的代数结构，但它忽略了二阶扰动项，并且没有消除目标位置、传播距离和真实传感器位置之间固有的几何耦合。因此，直接对伪线性模型应用无约束WLS估计器通常只能获得有限的精度，尤其是在存在不可忽略的测量噪声或传感器位置误差时。

## 第5节 仿真结果

本节通过一系列仿真实验评估了所提出的定位方法。在定位精度、鲁棒性和计算成本方面与代表性基准算法进行了比较。使用随机网络几何构型来评估一般部署条件下的统计鲁棒性，而使用具有代表性的固定几何构型来说明惩罚项的作用以及传感器几何构型对CRLB的影响。

## 第6节 结论

本文研究了存在传感器位置不确定性的异构PEL–PCL网络目标定位问题。通过联合建模测量噪声和传感器位置误差，建立了一个统一的定位框架，并推导了扩展的CRLB，揭示了不确定性水平和传感器几何构型如何影响可达定位精度。基于该模型，提出了一种二阶段惩罚辅助SOCP方法，其中第一阶段提供鲁棒的粗估计，第二阶段通过利用辅助变量与目标位置的关系进行细化，从而获得接近CRLB的定位精度。

## CRediT作者贡献声明

刘思宁：撰写–初稿，软件，方法论。
贾博扬：撰写–审阅与编辑。
高德维：撰写–审阅与编辑。
赵彩梅：撰写–审阅与编辑。
赵佳怡：撰写–审阅与编辑。
廖桂生：撰写–审阅与编辑，资金获取。