基于柯尔莫哥洛夫-阿诺德网络的分数阶粘弹性本构模型学习框架：正向求解与参数反演

《Mathematics and Computers in Simulation》：A Kolmogorov–Arnold Network-based learning framework for fractional-order viscoelastic constitutive models: Forward solving and parameter inversion

　　

摘要 分数阶粘弹性本构模型能够以少量参数表征材料的长记忆效应；然而，分数阶算子的非局部特性同时也提升了正向求解与参数反演的计算与优化难度。鉴于此，本文提出了两个基于Kolmogorov-Arnold网络（KAN）的物理约束学习框架。首先，物理信息KAN（PIKAN）将未知应力响应参数化为网络输出，通过最小化本构方程残差实现分数阶微分方程的无网格正向求解。其次，物理编码KAN（PEKAN）将应力松弛解析解的数学结构显式嵌入网络拓扑中，使材料参数能够作为可训练变量直接参与优化。数值结果表明，PIKAN在所有测试案例中均达到R2>0.99的正向求解精度；在2%噪声水平下，PEKAN能够恢复全部四个合成材料参数——对于条件良好的瞬时模量恢复精确，对于强相关的平衡模量则存在较大不确定性；在真实实验松弛和蠕变数据上，一旦固定直接可观测的幅值，即可可靠恢复形状参数。本工作将KAN应用于分数阶粘弹性本构建模。所提出的框架结合了无网格求解能力与物理可解释性，为松弛类分数阶模型的参数辨识提供了一种可解释的、具有物理结构的方法。

引言 粘弹性材料，包括聚合物、沥青、生物组织和先进复合材料，被广泛应用于航空航天、土木工程、生物医学和能源系统[1]。此类材料的响应同时包含弹性回复和粘性耗散，宏观上表现为随时间演化的蠕变和应力松弛[1]，[2]。值得注意的是，应力松弛试验、蠕变试验和动态力学分析（DMA）所得曲线通常呈现长尾衰减和多时间尺度特征，反映了微观结构演化、链段运动和能量耗散等耦合过程，统称为"记忆效应"[2]，[3]。对于工程分析而言，建立能够覆盖广泛时间/频率范围且保持参数可解释性的本构模型，是结构完整性评估、长期性能预测和材料优化设计的关键基础。

传统的整数阶粘弹性模型——如Maxwell模型、Kelvin-Voigt模型、其组合形式及Prony级数——在描述长记忆和宽带响应时通常需要引入大量弹簧-阻尼器元件，导致参数迅速膨胀[4]。参数数量的增加不仅加剧了标定负担，还稀释了参数的物理意义，从而削弱了模型的可解释性和外推能力。相比之下，分数阶微积分将导数和积分推广至任意阶次，其核心为卷积形式的非局部算子[3]。当此类算子进入本构关系时，历史信息通过幂律加权自然引入，从而以更紧凑的参数集表征长程依赖行为；这与粘弹性松弛模量的实验观测高度一致[2]，[3]。以分数阶Zener模型为例，已有研究表明仅需4-5个参数（本文采用4参数形式）即可准确拟合宽时间或频率范围内的松弛和蠕变数据，兼顾了建模简洁性与精度[2]，[3]。

然而，分数阶模型虽然具有建模优势，同时也引入了数值计算挑战。由于非局部性，常用的离散化方案（如L1方案）在每个时间步必须回溯并累加所有历史增量[5]，导致算法复杂度为O(Nt2)。当模拟时间跨度较大时，这种二次方成本可能难以承受。尽管利用FFT或核函数指数和近似等快速算法可将复杂度降至准线性O(Nt log Nt)[6]，但其实现难度较高，且适用条件（如时间网格和边界条件要求）限制了其在工程流程中的采用。此外，从含噪实验曲线中反演分数阶模型参数本质上是一个高度非线性的非凸优化问题：强参数耦合、大量局部极值以及噪声放大的不稳定性使得传统梯度方法或启发式算法容易陷入局部最优。

近年来，深度学习推动了"神经网络求解方程"的研究进展。物理信息神经网络（PINN）将控制方程残差纳入损失函数，从而实现无网格PDE求解[7]，[8]，并已被应用于流体力学、热传导、固体力学和逆问题分析等领域[9]，[10]。相关的算子学习方法，包括DeepONet和神经算子，进一步将该范式扩展至PDE族和参数化解算子[11]，[12]，[13]，[14]，[15]。然而，基于MLP的PINN通常存在"频谱偏差"、训练刚性以及神经切空间核不平衡等问题，其表达力和可解释性仍显不足[16]，[17]，[18]。因此，近期研究日益关注梯度增强训练、时间相关PINN中的因果训练以及高维设定下的分数阶/退火分数阶PDE[19]，[20]，[21]。在参数辨识方面，许多数据驱动方法将网络视为黑箱：即使拟合曲线准确，参数仍无法对应明确的物理量，且难以保证泛化性、不确定性量化和物理一致性[22]，[23]。已有研究表明，将物理先验嵌入神经常微分方程可增强动力系统参数估计的鲁棒性[24]，但此类方法对分数阶系统的适用性仍有待探索。

综上所述，现有研究仍缺乏同时解决"无网格正向求解"与"可解释逆问题辨识"的途径：需要在提升分数阶问题数值可处理性的同时，在噪声条件下稳定恢复物理参数。鉴于此，Liu等人[25]提出的Kolmogorov-Arnold网络（KAN）为这一问题提供了新的技术切入点。KAN基于Kolmogorov-Arnold表示定理，采用由样条函数参数化的可学习边激活函数，从而在参数效率和可解释性方面与传统MLP形成显著区别。近期的比较研究、物理信息研究、算子学习以及面向力学的应用研究已开始阐明KAN相对于MLP的优势所在，以及KAN如何嵌入PINN类求解器、算子代理、超弹性本构网络和优化器设计[26]，[27]，[28]，[29]，[30]，[31]。在上述进展基础上，本文将KAN应用于分数阶粘弹性本构建模，并构建了正向与逆问题两个互补框架。

本文的主要贡献如下：(1) 提出PIKAN正向求解框架，将物理信息学习与KAN相结合，实现分数阶粘弹性本构方程的无网格正向求解，并发现其正向精度由求积阶次而非网络架构决定；(2) 提出PEKAN参数反演框架，将分数阶Zener模型应力松弛解析解的数学结构显式编码于网络拓扑中，使材料参数成为可直接训练的可训练变量，并在真实松弛和蠕变数据上（固定直接可观测幅值并推断形状参数，鉴于自由反演的病态性）及任意载荷条件下进行了验证。本文其余部分组织如下：第2节介绍数学模型与问题定义；第3节介绍数值基准方法；第4节阐述PIKAN和PEKAN方法；第5节展示数值算例验证；第6节讨论结果并总结全文。

Caputo分数阶导数 分数阶微积分已逐步发展成为一套用于建模非局部和历史依赖现象的系统理论[3]，[5]。本文采用Caputo分数阶导数作为基本算子。对于0<α<1，其定义为[5]：

cd_t^α u(t) = 1/γ(1-α) ∫?? u'(s)(t-s)^(-α) ds

其中γ(?)表示gamma函数。公式(1)直接揭示了分数阶算子的关键特性——非局部性：计算时刻t的分数阶导数需要对一阶……

数值基准方法 为评估所提出学习框架的有效性和准确性，本文选取经典的l1方案作为分数阶导数离散化的基准，并据此构建分数阶zener方程的递推求解器。

方法 本节介绍两个基于kolmogorov-arnold网络的学习框架：用于正向求解的物理信息kan（pikan）和用于参数反演的物理编码kan（pekan）。为确保内容自成体系，我们首先概述kan的理论及网络构建形式，然后介绍各框架的建模策略、可微分实现和训练过程，最后讨论实现细节与复杂度。

数值算例 本节通过三个数值算例验证pikan和pekan的有效性。三个算例构成渐进式验证链：算例1聚焦于应力松弛条件下的pikan精度；算例2测试一般载荷条件下pikan的通用性；算例3比较pekan与黑箱方法在含噪数据下的反演能力。所有算例的材料参数选择均基于聚合物的典型实验数据范围[3]。

讨论与结论 本文提出了两个基于kolmogorov-arnold网络的物理约束学习框架，用于分数阶粘弹性本构模型的正向求解与参数反演：物理信息kan（pikan）和物理编码kan（pekan）。核心贡献在于概念层面：物理编码——将本构模型的解析解结构直接嵌入网络拓扑中，使材料参数本身成为可训练变量——将……

credit作者贡献声明 yong yang：撰写-原始草稿、方法论、经费获取、形式分析、概念化。yongchao ji：验证、方法论、形式分析。haibin li：撰写-审阅与编辑、指导、概念化。

利益冲突声明 作者声明不存在任何可能影响本文所报告工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。

致谢 本工作受无锡太湖学院智能建造学院科研启动基金资助。

yong yang | yongchao ji | haibin li cd_t^α u(t)=1/Γ(1-α) ∫?? u'(s)(t-s)^(-α) ds 其中γ(?)表示gamma函数。公式(1)直接揭示了分数阶算子的关键特性——非局部性：计算时刻t的分数阶导数需要对一阶…… 数值基准方法 为评估所提出学习框架的有效性和准确性，本文选取经典的l1方案作为分数阶导数离散化的基准，并据此构建分数阶zener方程的递推求解器。 方法 本节介绍两个基于kolmogorov-arnold网络的学习框架：用于正向求解的物理信息kan（pikan）和用于参数反演的物理编码kan（pekan）。为确保内容自成体系，我们首先概述kan的理论及网络构建形式，然后介绍各框架的建模策略、可微分实现和训练过程，最后讨论实现细节与复杂度。 数值算例 本节通过三个数值算例验证pikan和pekan的有效性。三个算例构成渐进式验证链：算例1聚焦于应力松弛条件下的pikan精度；算例2测试一般载荷条件下pikan的通用性；算例3比较pekan与黑箱方法在含噪数据下的反演能力。所有算例的材料参数选择均基于聚合物的典型实验数据范围[3]。 讨论与结论 本文提出了两个基于kolmogorov-arnold网络的物理约束学习框架，用于分数阶粘弹性本构模型的正向求解与参数反演：物理信息kan（pikan）和物理编码kan（pekan）。核心贡献在于概念层面：物理编码——将本构模型的解析解结构直接嵌入网络拓扑中，使材料参数本身成为可训练变量——将…… credit作者贡献声明 yong yang：撰写-原始草稿、方法论、经费获取、形式分析、概念化。yongchao ji：验证、方法论、形式分析。haibin li：撰写-审阅与编辑、指导、概念化。 利益冲突声明 作者声明不存在任何可能影响本文所报告工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。 致谢 本工作受无锡太湖学院智能建造学院科研启动基金资助。 yong yang | yongchao ji | haibin>
cd_t^α u(t) = 1/γ(1-α) ∫?? u'(s)(t-s)^(-α) ds

其中γ(?)表示gamma函数。公式(1)直接揭示了分数阶算子的关键特性——非局部性：计算时刻t的分数阶导数需要对一阶……

数值基准方法 为评估所提出学习框架的有效性和准确性，本文选取经典的l1方案作为分数阶导数离散化的基准，并据此构建分数阶zener方程的递推求解器。

方法 本节介绍两个基于kolmogorov-arnold网络的学习框架：用于正向求解的物理信息kan（pikan）和用于参数反演的物理编码kan（pekan）。为确保内容自成体系，我们首先概述kan的理论及网络构建形式，然后介绍各框架的建模策略、可微分实现和训练过程，最后讨论实现细节与复杂度。

数值算例 本节通过三个数值算例验证pikan和pekan的有效性。三个算例构成渐进式验证链：算例1聚焦于应力松弛条件下的pikan精度；算例2测试一般载荷条件下pikan的通用性；算例3比较pekan与黑箱方法在含噪数据下的反演能力。所有算例的材料参数选择均基于聚合物的典型实验数据范围[3]。

讨论与结论 本文提出了两个基于kolmogorov-arnold网络的物理约束学习框架，用于分数阶粘弹性本构模型的正向求解与参数反演：物理信息kan（pikan）和物理编码kan（pekan）。核心贡献在于概念层面：物理编码——将本构模型的解析解结构直接嵌入网络拓扑中，使材料参数本身成为可训练变量——将……

credit作者贡献声明 yong yang：撰写-原始草稿、方法论、经费获取、形式分析、概念化。yongchao ji：验证、方法论、形式分析。haibin li：撰写-审阅与编辑、指导、概念化。

利益冲突声明 作者声明不存在任何可能影响本文所报告工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。

致谢 本工作受无锡太湖学院智能建造学院科研启动基金资助。

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