高阶相互作用对分数阶时滞神经网络稳定性及Hopf型振荡不稳定性的调控效应

《Mathematics and Computers in Simulation》：Regulatory effects of higher-order interactions on stability and Hopf-type oscillatory instability in fractional-order delayed neural networks

　　

•对于预设的单瓶颈哑铃型网络，共同延迟线性化被简化为三个聚合量 L、R 和 C。该简化给出了精确的无延迟分数阶扇形条件、可容许的临界频率分支、象限正确的临界延迟公式，以及简单第一谱穿越的横截性。
•二值链路延迟 τ_b 和高阶交互延迟 τ_h 被分离为独立的数值变量。对角线 τ_b=τ_h 提供了与共同延迟分析的直接联系，而非对角区域则提供了一种不同的不等延迟灵敏度诊断工具。
•Caputo 记忆、延迟传输以及二阶和三阶群体交互被整合在一个预设拓扑模型中。通过共同延迟多步和近阈值多时间步检验，支持稳定、振荡和未定分类。经验证的 q 扫描显示 τ_0 单调递减，而耦合扫描揭示了活动模式的变化以及不存在可容许穿越的区间。
**引言**
神经网络作为灵活的近似器和非线性模型的算法组件，在科学计算中被广泛应用。在生物建模中，神经网络方法结合遗传搜索已被应用于非线性钩端螺旋体病动力学，其中的计算任务是在可行的数值框架内表示相互作用的疾病变量[1]。一种相关的古德曼神经网络设计被用于三物种食物链模型，展示了基于学习的表示如何与优化例程相结合来处理多组分生态动力学[2]。分数阶微分模型提供了另一个重要场景。由遗传算法优化的分数阶迈耶神经网络方法已被开发用于 Bagley–Torvik 模型，从而将神经计算与分数阶导数编码的遗传效应联系起来[3]。进化神经网络方法也已被构建用于非线性奇异边值问题，其中的近似机制与遗传算法和活动集算法协同工作[4]。除了这些代表性模型之外，随机遗传算法求解器已被设计用于非线性方程[5]，而启发式计算方案已被用于求解自由职业者模型的数值解[6]。这些研究表明，基于神经网络的计算可以围绕不同的方程类别和数值目标进行组织。对于奇异边界条件，古德曼神经网络的元启发式调优已被研究用于 Neumann、Dirichlet 和 Neumann–Robin 公式[7]。Morlet 小波神经网络也已被用于由 Painlevé–II 方程控制的非线性光学模型[8]。综合来看，这些以应用为导向的研究展示了神经网络方法在生物、生态、分数阶、边值和光学系统中的广泛适用性。
神经网络也作为耦合动力系统被研究，其中交互架构控制着时间状态演化。可激活性、同步性、多时间尺度电导动力学和神经形态实现都体现了这种动力学视角[9]、[10]、[11]。在这种设定下，拓扑规定了局部响应被组合和传输的通道，从而塑造了此处研究的稳定性和过渡机制。
简化神经网络模型提供了一个透明的场景，在其中可以围绕一个明确的平衡点研究耦合、延迟和记忆。经典模型主要从成对链接构建，并通常由邻接矩阵表示。即使在这种成对设定中，网络聚集也会显著改变集体人工神经元活动。高阶描述通过允许目标状态接收由多个状态联合产生的输入来扩展该框架，这一特征与皮层和脑网络组织相关[12]、[13]。这种群体交互引入了额外的状态依赖通道，修改了局部线性化，并可能重新组织集体过渡[14]、[15]、[16]。因此，它们提供了一种自然的数学手段来区分普通链接的作用和协调群体输入的作用。从动力系统角度看，这种区分具有重大影响，因为每个交互通道都对决定扰动衰减、持续或发展振荡分量的反馈回路有贡献。这些考虑因素促成本文研究的单瓶颈哑铃拓扑：每个外围群体通过二值、二阶和三阶项作用于其中心神经元，而两个中心神经元双向通信。该拓扑因此将局部群体聚合与一个可明确识别的通信瓶颈结合起来。由此产生的配置保留了清晰的网络解释，同时为从非线性交互架构到相关谱问题提供了结构化路径。
分数阶和延迟为这种交互架构增添了两种互补的时间要素。在 Caputo 系统中，先前的状态变化通过卷积型记忆核进入[17]、[18]，而分数阶 q 调节了累积历史对当前演化的贡献。因此，改变 q 会改变同一交互网络的时间加权，使阶数成为一个可以与耦合强度和延迟一起考察的动力学参数。因此，分数阶方程已被用于正解和边值分析、肿瘤–免疫模型、扩散耦合多智能体动力学和捕食–被捕食系统[19]、[20]、[21]、[22]、[23]。离散延迟则代表有限的传输、处理或反馈时间；当在网络的一部分产生的信号仅经过传播间隔后影响另一部分时，它们特别相关。在同时具有二值和群体通道的网络中，这些传输间隔也可能与不同机制相关联，这促成了在数值设计中区分它们。当分数阶记忆和延迟共存时，稳定性分析必须同时考虑非局部时间算子和指数延迟因子。熟悉的整数阶左半平面图像被分数阶扇形条件所取代，而延迟相关的特征关系包含分数幂 λ^q[24]、[25]、[26]、[27]。这种组合使得记忆、传输时间和网络结构之间的相互作用成为一个核心问题而非次要参数调整，并促使进行将这三种要素联合对待的谱分析。
现有的分数阶神经网络研究为这一任务奠定了大量基础。报告的主题包括几乎周期行为、鲁棒同步、延迟相关的三神经元动力学、自连接延迟、分数阶诱导的过渡以及具有中值或惯性项的系统[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]。这些结果表明，延迟可能作为活动分岔参数发挥作用，并且分数阶可以修改稳定性区域，即使底层连接模式是固定的。更广泛地，分岔和局部稳定性切换已在延迟生化、生物医学、生态和神经元模型中得到研究[35]、[36]、[37]。相关的延迟神经架构包括大规模双向联想记忆网络、带有交叉耦合的分数阶双环网络以及延迟八元数网络[38]、[39]、[40]。综合来看，这些研究确立了延迟、分数阶和交互设计的重要性，但同时也留下一个有用的模型特定问题：如何在明确保留高阶哑铃拓扑的同时，将其共同延迟谱简化为一组可解释的小量？这个问题在分析上具有相关性，因为外围贡献和中心到中心的耦合通过不同的结构路径进入特征方程。解决它使得能够将各个交互通道与第一个虚轴穿越联系起来，从而在平衡衰减和振荡增长之间提供一个局部延迟裕度。分数阶则改变了该边界的几何形状，从而调节第一谱过渡发生的延迟值。对于分数阶时不变系统，谱穿越及其后续轨迹行为必须结合记忆算子来解释；这使得明确陈述的谱判据和单独记录数值协议尤为重要[41]、[42]、[43]。
本研究通过一个八神经元 Caputo 模型来解决这一问题，该模型采用单瓶颈哑铃拓扑、双向中心耦合，以及每个外围群体内同时的二阶和三阶交互。该公式保留了对非线性交互机制的可见性，同时允许对共同延迟线性化进行紧凑简化。它还支持对二值链路和高阶交互传输尺度的受控数值分离。因此，本研究将预设拓扑与可解释的第一稳定性边界以及可重现的基于轨迹的诊断框架联系起来。其三项主要贡献如下：
（1）对于预设的单瓶颈哑铃网络，共同延迟线性化被简化为三个聚合量 L、R 和 C。该简化给出了精确的无延迟分数阶扇形条件、可容许的临界频率分支、象限正确的临界延迟公式，以及简单第一谱穿越的横截性。
（2）二值链路延迟 τ_b 和高阶交互延迟 τ_h 被分离为独立的数值变量。对角线 τ_b=τ_h 提供了与共同延迟分析的直接联系，而非对角区域则提供了一种不同的不等延迟灵敏度诊断工具。
（3）Caputo 记忆、延迟传输以及二阶和三阶群体交互被整合在一个预设拓扑模型中。通过共同延迟多步和近阈值多时间步检验，支持稳定、振荡和未定分类。经验证的 q 扫描显示 τ_0 单调递减，而耦合扫描揭示了活动模式的变化以及不存在可容许穿越的区间。
综合来看，这些贡献将拓扑感知的解析简化与可重现的数值验证层次联系起来。结构化的共同延迟结果提供参考边界，轨迹协议检验该边界附近的行为，而双延迟图将诊断扩展到对角线之外。这种组织方式将解析结论与有限网格观测区分开来，同时保持两者之间的直接比较。它还澄清了网络架构、记忆阶数、耦合强度和传输尺度在第一谱过渡中的各自作用。本文其余部分组织如下。第 2 节定义了 Caputo 模型、单瓶颈哑铃拓扑以及关于激活函数和延迟的假设。第 3 节推导了共同延迟特征方程、无延迟扇形条件和第一谱稳定性切换判据。第 4 节描述了数值方法、停止和收敛检验、共同延迟验证、幅值–延迟图以及双延迟扩展。第 5 节总结了经验证的结果、局限性和不等延迟理论与控制的方向。
**预备知识与神经网络模型**
本研究使用阶数为 00 使得……
**数值协议与验证设计**
数值研究围绕两个问题展开。第一，模拟的共同延迟过渡是否与解析确定的第一谱穿越一致？第二，当二值链路延迟和高阶交互延迟独立变化时，观测到的轨迹分类如何变化？第一个问题仅在对角线 τ_b=τ_h=τ 上评估，该处第 3 节的假设成立；非对角计算构成数值扩展。数值……
**结论**
本研究将 Caputo 记忆、延迟传输、双向中心耦合以及外围的二阶和三阶交互整合在一个八神经元单瓶颈哑铃拓扑中。由此产生的公式保留了各个交互通道，同时将其与拓扑感知的谱分析和可重现的数值验证层次联系起来。
对于共同延迟情况，拓扑依赖的线性化被简化为聚合量 L、R 和 C。
**CRediT 作者贡献声明**
王新磊：撰写——初稿。肖敏：撰写——审阅与编辑。黄霞：撰写——审阅与编辑。高峥：监督。林金星：监督。丁杰：撰写——审阅与编辑。姚一：撰写——审阅与编辑。Hamid Reza Karimi：撰写——审阅与编辑。Leszek Rutkowski：撰写——审阅与编辑。
**利益冲突声明**
作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。
**致谢**
本工作部分得到国家自然科学基金（批准号 62676367）、浙江师范大学双龙学者科学基金（批准号 YS304026985）和浙江省重点研发计划（批准号 2026C02A1234）的支持。
王新磊|肖敏|黄霞|高峥|林金星|丁杰|姚一|Hamid Reza Karimi|Leszek Rutkowski