复杂流体系统中非线性气泡液体模型数据驱动孤子相互作用的波动力学：基于符号的人工神经网络方法

《Ocean Engineering》：Wave dynamics of Data-Driven soliton interaction for the nonlinear Bubble liquid model in complex fluid systems using Symbolic based Artificial Neural Network approach

　　

• 我们利用新型双线性神经网络方法研究了非线性气泡液体模型的孤子波动力学。
• 新型双线性神经网络方法被用于获得非线性气泡液体模型的精确解析解。
• 这些解以单层和双层测试函数的形式获得，包括呼吸波、团簇波、粗糙波和分形解。
• 此外，LM-ANN方法被用于评估这些解的稳定性和正确性。

引言

"液体中气体冒泡"这一现象在气体被引入液体中时频繁发生，导致明显的气泡形成和生长（R. Ali等，2023）。它在各种工业环境中被用作混合器、曝气器和净化器。许多因素，如气体的体积流量、液体的粘度和界面张力，调节着新生气泡的形态特征，如直径、尺寸和持续时间（Han等，2023）。因此，气体冒泡是一个引起学术和工程界极大兴趣的话题，因为它对许多工业操作至关重要。如果没有对气体冒泡的非线性和激波现象进行透彻理解，工业过程优化是不可能的（Younas等，2022；Khater，2024）。发现并仔细分析这些动态事件可以增强混合和曝气设备的有效性，同时提高净化流体的质量控制。通过深入了解各种运行条件下的气-液相互作用，研究人员将能够制定更高效的控制策略和优化建议（Rashid等，2024）。因此，对气体冒泡中非线性和激波过程的研究是工业流体动力学科学发展的基本组成部分（Maksymov等，2022）。总之，在气体冒泡条件下对非线性和激波流动的研究对工业流体动力学的发展至关重要。

近年来，许多研究人员通过探索孤子解在描述不同科学领域的物理系统方面发挥了重要作用。不同阶的 rogue波孤子解被研究，这些解在等离子体中有应用（Mohan和Kumar，2024b）。高阶rogue波解被研究，这些解在 dusty等离子体物理中有应用（Mohan等，2023）。相互作用波现象被研究，这些在数学物理中有应用（Mohan和Kumar，2024a）。亮孤子、暗孤子、呼吸波和周期波解被研究，这些在图像加密中有应用（Ullah等，2026b）。孤波解、稳定性、多稳定性和敏感性分析被研究，这些在物理学中有应用（Mohiuddin等，2026）。动力学分析和各种孤子解被研究，这些在等离子体物理和先进材料中有应用（Ullah等，2026a）。有理、双曲和三角孤子解被研究，这些在海岸工程中有应用（Ullah等，2025）。高阶振荡系统中的混元态（Wang等，2024a）、ADHD脑网络（Xi等，2024）和忆阻Chialvo神经元映射（Wang等，2024b）是近期研究的例子，强调了研究复杂网络中同步和非线性动力学的重要性。这些研究表明了现实世界事件与非线性系统之间的紧密联系。与此同时，基于三角积分原理的数值积分器的进步提高了工业电子模拟能力（T.A.A. Ali等，2023）。研究已经表明，在对等温气泡液体中的波传播进行建模时，假设均匀气泡半径会导致一个四阶非线性偏微分方程（NLPDE）。包括气泡粘度、色散、非线性和双向横向扰动在内的基本物理特征被(3+1)维非线性波动方程所捕获，这是一个更一般的模型。

被视为非均匀体的气泡（Haas等，2021）对介质的非线性特征有显著影响。因此，人们做了大量工作从不同角度测量气泡尺寸的分布。这些举措使用光学和声学方法，通常与深入的计算分析相结合。在比单个气泡大得多的尺度上，海洋中也可以发现非均匀体（Davydov等，2020）。由于声音在海水中传播距离很远，即使这些非均匀体可能不太明显，它们对声音传播也有显著影响。不同盐度和温度的水团混合会导致声速的局部变化（Mohammed等，2023）。海洋要素包括涡旋、潮汐、洋流和内波，也增加了这些非均匀体的存在。

代表含气泡液体的(3+1)维非线性波动方程受到了广泛关注。通过研究多种孤子波解并利用双线性分析应用线性叠加原理，Shen等（2022）扩展了与该模型相关的解析结构范围。通过研究团簇波、混合团簇-条纹波和rogue波-条纹波解，Wang等（2020）展示了气泡液体系统中复杂的局部相互作用是如何发展的。对于方程的变系数版本，Guo和Chen（2021）创造了混合精确解，将解空间扩展到典型孤子行为之外。同样，Zhou等（2021）通过使用多维二元Bell多项式获得团簇波和相互作用解，展示了符号计算方法的灵活性。Akram等（2025）探索了非线性气泡液体模型的各种双曲和三角解。Almetwally等（2025）利用Lie对称性分析考虑了广义(3+1)维非线性波动方程，推导出了新的解。方程如下（Akram等，2025）和（Almetwally等，2025）：

(??_t + δ???_x + δ???_{xxx} + δ?????_x)_x + δ???_{zz} + δ???_{yy} = 0

其中??(??,??,??,??)表示波振幅，δ?, ??=1,2,3,4,5表示与介质性质相关的物理系数。特别是，δ?是与背景流或相速度相关的线性平流系数，δ?是与水-气泡混合物的压缩性和表面张力相关的色散系数，δ?是描述气泡-液体相互作用非线性的二次非线性系数，正值表示硬化（陡化）非线性。最后，δ?和δ?分别是z方向和y方向的横向色散系数，对应于由气泡存在引起的各向异性导致的横向波扩散，两者之间的差值对应于气泡分布的方向性非均匀性。通过在方程中添加非线性平流项????_x、色散项??_{xxx}和多维效应，可以捕获各种非线性物理过程，包括波-气泡相互作用、气泡振荡、声致发光和空化。该方程为模拟液体中波与气泡之间复杂相互作用提供了基础。

近年来，Zhang和Bilige（2019）开发了一种名为双线性神经网络方法（BNNM）的新型混合方法，该方法将Hirota双线性方法与深度学习中的神经网络模型相结合。它使得能够灵活生成各种类型的激活函数，从而探索非线性偏微分方程中更多有趣且尚未发现的解。Zhu等（2024）研究了高维KP方程，通过BNNM发展了各种形式的孤子解，而Qin等（2024）研究了Boiti–Leon–Manna–Pempinelli型方程的各种精确解析解形式。对于(2+1)维扩展Sawada–Kotera方程，Gai等（2024）研究了具有非弹性碰撞的N孤子和团簇波孤子。Lv等（2024）观察了(3+1)维广义浅水波方程的呼吸波和相互作用现象。这说明BNNM可以求解一系列复杂的非线性偏微分方程。BNNM是一种利用神经网络模型精确求解非线性偏微分方程的解析方法。利用假设函数技术可以创建求解非线性偏微分方程的大多数传统测试函数，包括团簇波相互作用（Zhang等，2025）、孤波解（Jamshidzadeh和Abazari，2017）、粗糙波解（He等，2023）、多孤子解（Wazwaz和Kaur，2019）、团簇相互作用解（Muhammad等，2026）、M形孤子解（Ceesay等，2024）、有理波孤子解（Ceesay等，2025）、呼吸波解（Younas等，2025）等。

经典迭代方法，包括不动点迭代、Adomian分解法和同伦分析法在文献中被广泛研究（Turkyilmazoglu，2024），同时通过引入收敛控制参数，它们的有效性得到了显著提高，使其能够快速收敛到正确解。神经网络（NN）由于其"通用逼近"特性以及在人工智能所有领域的高质量表现，在推进许多新的深度学习技术和应用方面做出了重大贡献，如图像识别（Krizhevsky等，2012）、计算机视觉和自然语言处理（Kaselimi等，2019）。此外，NN使科学家和工程师能够通过将神经网络作为科学机器学习框架中的函数试探解，利用深度学习扩展非线性偏微分方程的可解性（Tipu等，2026）。LM算法具有快速收敛率，与其他算法相比计算效率更高（Bergou等，2020），这使其非常适合中小型人工神经网络应用。人工神经网络（ANN）有多种不同的训练方法，但Levenberg–Marquardt（LM）算法是Gauss–Newton法和最速下降法的混合方法。LM算法的这种混合特性使其能够高效地遍历复杂的误差曲面，无论这些误差曲面是否为二次型。尽管LM算法有时可能比Gauss–Newton算法慢，但它通常在时间效率和稳定性方面优于最速下降法。基于LM-ANN的应用已被证明在处理各种科学挑战方面很有用。例如，在Waheed等（2024）中，使用了LM-ANN来寻找Lax方程的peakon解和孤波解。作者们也在Alderremy等（2024）和Tipu等（2025）中报告了类似的结果。使用LM-ANN模型模拟计算机病毒在大型复杂网络中的传播，为其在模拟非线性现象方面的广泛适用性和有效性提供了额外证据。

在本研究中，我们通过构建不同类型的神经网络模型"4-3-1"、"4-4-1"、"4-3-4-1"和"4-2-2-1"，将BNNM应用于非线性气泡液体方程，这些模型允许应用特定的激活函数。隐藏函数考虑了两种类型的激活函数：单层和双层。单层测试函数为我们提供了呼吸波相互作用、团簇波孤子相互作用以及具有双指数函数的团簇波相互作用，而使用双层函数则有两种相互作用解作为粗糙波孤子。该方法能够生成精确的结果，同时克服了解析方法的传统局限性。特别选择这种方法是因为它能够处理特定问题领域中数据和方程的复杂性。此外，它提供了一种更具适应性的复杂方程求解方法，并且经常能解决传统解析技术无法处理的问题。符号计算技术被用于创建这些解析解，然后与研究亮孤子、暗孤子和 rogue波等相关现象一起进行考察。

本工作中使用符号计算推导非线性气泡液体方程中不同类型的孤子相互作用解和相关现象是本文的新颖之处。这说明了前沿数学技术和该主题中的应用。不同的NNS配置成功地描述了浅水和铁磁介质中存在的大量弱非线性恢复力所需的多种非线性波行为。LM-ANN技术不仅用于验证先前获得的解析结果，还作为一种定量验证手段，通过均方误差、过渡态分析、误差直方图、回归指标和拟合曲线来验证这些结果，展示了快速收敛率和良好精度。通过3D、2D、平面和等高线图对非线性动力学进行了全面可视化，使人们能够简单地解释参数变化如何影响波的形态。在求解非线性偏微分方程方面，机器学习比传统方法具有更大的潜力。针对非线性气泡液体方程的神经网络方法目前尚不存在。

神经网络可用于解决该问题，大大简化了求解过程并利用了计算能力。为了提出用于求解非线性气泡液问题的双线性神经网络方法，本研究将神经网络的计算能力与经典双线性技术相结合。该方法能够产生大量有意义的精确解，同时简化了问题求解过程并提高了效率。

**分段摘要**

**一般方法**

双线性神经网络方法的一般数学形式化步骤如下（详见Yuan等（2025）和Lv等（2025））：

**步骤1：** 首先，非线性偏微分方程的一般形式表示为 $\mathcal{G}(\mathcal{Q}, \mathcal{Q}_t, \mathcal{Q}_x, \mathcal{Q}_{xx}, \mathcal{Q}\mathcal{Q}_x, \cdots) = 0$，其中 $\mathcal{G}$ 是关于变量 $x, y, z, t$ 的未知函数 $\mathcal{Q}$ 的多项式。

**步骤2：** 为获得方程（2）的双线性表示，我们采用Hirota双线性变换：$\mathcal{L}'(D_t, D_x, D_y, D_z: p) = 0$，广义 $D$-算子取自Xie和Zhang（2025）以及Li等。

**气泡液方程的双线性化**

在本阶段，通过选择适当的因变量变换（Dutta等，2026；Mohan，2026），建立方程（1）的双线性表示：
$$\mathcal{Q} = \frac{1}{2\delta_2\delta_3}(p'_x p),$$
其中 $\delta_3 \neq 0$。借助方程（8），可以将方程（1）写成Hirota $D$-算子形式（Mohan等，2025；Mohan和Kumar，2025）：
$$(\delta_2 D_x^4 + D_x D_t + \delta_1 D_x^2 + \delta_5 D_y^2 + \delta_4 D_z^2)p \cdot p = 0$$

上述方程（9）展开后，得到Hirota双线性形式如下：
$$-p_t p_x - \delta_1 p_x^2 - 4\delta_2 p_x p_{xxx} + p p_{xt} + 3\delta_2 p_{xx}^2 + \delta_1 p p_{xx} + \delta_2 p p_{xxxx} - \delta_5 \cdots$$

**呼吸波相互作用解**

利用双线性神经网络框架，本节构造方程（1）的呼吸型波相互作用解。在本应用中，采用单隐层网络，输入为 $j_0 = \{t, x, y, z\}$，隐层为 $j_1 = \{1, 2, 3\}$，输出 $\mathcal{Q}$ 包含单个神经元。因此，该网络由4个输入神经元、3个隐层神经元和1个输出神经元组成。在数学上，模型表示如下：
$$p = \Lambda_1(\rho_1) + \Lambda_2(\rho_2) + \Lambda_3(\rho_3) + d_4$$
其中 $\rho_i = \varpi_{t,i} t + x\varpi_{x,i} + y\varpi_{y,i} + \cdots$

**具有双指数函数的块波相互作用**

采用双线性神经网络方法，构建方程（1）的块型波相互作用解，网络结构为单隐层类型"4-3-1"。此处输入层为 $j_0 = \{t, x, y, z\}$；隐层为 $j_1 = \{1, 2, 3\}$；输出层为 $\mathcal{Q} = \{Q\}$。因此，网络有四个输入、三个隐单元和一个输出。模型的数学表示为：
$$p = \Lambda_1(\rho_1)^2 + \Lambda_2(\rho_2)^2 + k_1\Lambda_3(\rho_3) + k_2\Lambda_4(\rho_4) + d_5$$
其中 $\rho_i = \varpi_{t,i} t + x\varpi_{x,i} + y\varpi_{y,i} + z\varpi_{z,i} + d_i$，$i = 1, 2, 3, 4$。

此处，我们取 $\Lambda_1(\rho_1) = \rho_1^2$，$\Lambda_2(\rho_2) = \cdots$

**粗糙波相互作用**

双线性神经网络方法应用于双隐层结构"4-3-4-1"，用于构造所考虑方程（1）的粗糙波相互作用解。输入层 $j_0 = \{t, x, y, z\}$，第一隐层 $j_1 = \{1, 2, 3\}$，第二隐层 $j_2 = \{4, 5, 6, 7\}$，输出层 $\mathcal{Q} = \{Q\}$。因此，网络结构包含4个输入神经元、3个第一隐层神经元、4个第二隐层神经元和1个输出神经元。数学上表示为：
$$p = \varpi_{4,p} \cdot \Lambda_4(\rho_4) + \cdots$$

**通过LM-ANN方法验证结果**

在本节中，我们将使用ANN方法，即LM-ANN（Levenberg-Marquardt神经网络），通过比较预测解来验证结果。LM-ANN结合了ANN和LM算法的特性，用于通过计算获得非线性气泡液模型的良好近似解，该模型描述了孤子波动力学。由于其在收敛速度和映射非线性函数能力方面展现出的巨大潜力，LM-ANN在……

**LM-ANN结果的物理解释与分析**

现在，我们将讨论针对非线性气泡液方程的结果的物理解释，这些结果是通过实现新的双线性神经网络框架获得的。本研究为该非线性系统的精确孤子解推导提供了可靠的分析-计算框架。构建了两类网络结构，即单层和双层网络结构。从这些网络中提取出异质性的局域波形集合……

**结论**

总之，本研究成功应用了新颖的双线性神经网络方法来推导非线性气泡液模型的大量精确孤子解。通过该方法，我们成功构建了多类非线性波动力学解，包括：呼吸波相互作用、块波以及具有双指数函数的块波相互作用（通过单层网络[4-3-3]、[4-4-1]测试函数），以及粗糙波相互作用（通过双层网络结构）……

**作者贡献声明**

Muhammad Zafarullah Baber：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿。Muhammad Qasim：撰写——审阅与编辑，方法论，概念化。Fengping Yao：监督，方法论。Yakup Yildirim：验证，调查，概念化。

**利益冲突声明**

作者声明他们不存在任何可能影响本文所述工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。

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