物理信息神经网络求解 Cahn-Allen、FitzHugh-Nagumo 和 Fisher–KPP 模型的新分析

《Scientific Reports》：Novel analysis of physics-informed neural networks for solving Cahn-Allen, FitzHugh-Nagumo and Fisher–KPP Models

　　

摘要

本文提出了一种面向非线性偏微分方程（PDEs）的混合半解析/深度学习框架，将新迭代法（NIM）与物理信息神经网络（PINNs）相结合。截断的 NIM 级数提供一个闭式基线解，精确满足初始条件，而神经网络仅需学习残差修正部分——该残差在幅度上比完整解小一到两个数量级，从而从结构上简化了神经网络的学习任务。我们在三个非线性反应-扩散方程上对该方法进行了评估：Cahn–Allen 方程和 FitzHugh–Nagumo 方程（含三次反应项）以及 Fisher–KPP 方程（含二次项）。与匹配的标准 PINN 相比，混合模型在 FitzHugh–Nagumo 方程上将平均绝对误差降低了约一个数量级，在 Fisher–KPP 方程上以较小但稳定的幅度降低了误差，而在 Cahn–Allen 方程上则略逊于标准 PINN；这些结果在每种方法的四个独立随机种子上均成立，且两种基于 PINN 的方法在每个方程上都优于单纯的 NIM 截断（误差降低三倍以上至近二十倍）。我们进一步通过与独立的有限差分求解器进行验证、深度/宽度敏感性研究以及在高斯初始条件扰动下的多种子噪声鲁棒性研究，对所有三个方程在完整训练规模下均进行了验证。我们给出了 NIM 级数和混合方案的收敛性分析，并明确了 Lipschitz 条件和局部唯一性假设，将解析截断误差与优化误差区分开来。综合来看，结果表明将半解析基线与物理信息神经网络修正相结合对非线性反应-扩散问题非常有效，并精确刻画了该方法相对于标准 PINN 的优势最大处、消失处以及逆转处。