受人为胁迫下非线性系统的Volterra-Gegenbauer建模用于全球渔业可用性分析

《Mathematical and Computational Applications》：Volterra-Gegenbauer Modeling of Nonlinear Systems for Global Fishery Availability Under Anthropogenic Stress

　　

本研究提出了基于收敛逼近理论的Volterra–Gegenbauer模型，用于在有限数据条件下有效表示非线性动力系统。该模型采用二阶Volterra级数，并将其核函数（用于捕捉系统非线性特征）用Gegenbauer正交多项式（Gegenbauer polynomials）的有限正交基进行逼近。此外，通过优化Gegenbauer参数可实现模型复杂度的可调性，确保模型能够捕捉低频非线性变化，同时避免过拟合。研究人员将该模型应用于受海洋栖息地退化影响的全球渔业动态分析，使用了海洋酸化（ocean acidification）、CO₂排放、海洋热含量（ocean heat content）和全球温度异常等人为变量。尽管仅基于74年的有限数据集，该模型仍实现了稳健拟合，平均相对误差为1.617%。这一精度验证了该模型描述生态系统衰退非线性趋势的能力。最终，本研究为控制应用中有限数据条件下的非线性系统建模提供了一种数学上可调的工具。最后，研究强调了解决海洋栖息地快速生态崩溃问题的紧迫性。

**论文解读：基于Volterra–Gegenbauer模型的全球渔业可用性非线性系统辨识研究**

**一、研究背景与问题提出**

工业与生态领域的动态系统普遍呈现高度非线性行为。尽管系统本身具有内在复杂性，但由于其类似于解析非线性函数并具有 fading memory（衰减记忆）特性，可依据逼近理论准则对其进行精确建模。在工业与生态应用中，变量通常受噪声影响，数据可用性往往有限，变量间关系常常仅被部分认知，因此恰当的系统建模结构至关重要。这一挑战在全球鱼类资源研究中尤为突出，人为活动与非线性生态过程之间的相互作用使得预测和长期资源管理变得异常复杂。

对海洋生态系统的主要威胁中，气候变化和海洋酸化通过多重途径产生影响：大气CO₂浓度升高降低海洋pH值，损害海洋生物的钙化过程；全球变暖改变洋流和营养物分布，从而改变鱼类栖息地；海洋热含量作为能量积累的指标，进一步加剧了这些效应，对海洋物种形成协同胁迫条件。本研究将这些变量整合为人为主胁追指数，以量化其对种群动态的累积影响。

为对此类复杂系统进行建模，研究人员提出基于Volterra级数（Volterra series）的方法，其理论基础为Weierstrass逼近定理。然而Volterra级数直接应用受限于高维数问题，尤其在数据有限的情形下。为克服该局限，研究者引入Gegenbauer正交多项式（Gegenbauer polynomials）来表示Volterra核函数，在保证描述精度的同时减少参数数量。该方法特别适用于"灰箱"系统——即内部方程仅被部分认知的情况，并可用于在相关时间范围内表示非线性动态。此外，采用正则化最小二乘技术确保数值收敛和模型稳定性，即使存在噪声或不完整数据亦然。

**二、研究目标与意义**

本研究旨在提出一种基于Volterra级数与Gegenbauer正交多项式相结合的非线性系统辨识模型，并通过对过去74年全球鱼类种群数据的建模进行验证。该研究将全球渔业可用量（Global Fishery Availability）作为被辨识对象，纳入CO₂排放、海洋酸化、全球温度异常和海洋热含量等关键人为参数。研究的核心贡献在于参数效率的提升：不同于经典二阶Volterra模型参数随记忆长度呈二次方增长的特性，该方法将辨识任务简化为少量权重参数的估计。研究结果表明，该方法可成为多输入、动态变化非线性系统的有效建模工具，降低模型复杂度，适用于数据受限环境下的工业过程控制和短期预测，为海洋资源可持续管理提供可扩展的解决方案。

**三、关键技术方法**

研究人员采用了以下主要技术方法：

第一，基于二阶截断Volterra级数构建非线性系统辨识模型，以收敛逼近理论为基础，通过有限阶Volterra级数实现对具有衰减记忆特性的连续非线性系统的统一逼近。

第二，利用Gegenbauer正交多项式作为正交基函数表示Volterra核函数。Gegenbauer多项式是一类具有正交性的多项式族，由参数λ控制其特性。通过将核函数投影到正交多项式基上，并结合Riesz–Fischer定理确保近似的完备性，模型将高维核估计问题转化为有限权重参数的估计。

第三，采用正则化最小二乘准则确定模型参数，通过引入正则化参数λ作为数值稳定器，防止矩阵求逆过程中行列式趋近于零，确保解的有限性、稳定性及物理合理性。参数选择基于迭代优化准则，λ的调整依据模型性能指标的优化来决定。

第四，采用单位化归一化技术处理变量间巨大量级差异。由于各环境变量（如CO₂排放量、pH指数、温度异常、海洋热含量）数值范围差异显著，模型将各变量最大值归一化为1，确保数值可比较性。

第五，构建复合人为胁迫指数。由于样本量限制（74年数据），将四个高度相关的环境变量组合为单一综合指标，该组合反映了海洋酸化的化学机制，避免了多输入Volterra模型参数爆炸问题。

数据来源包括Our World in Data和NOAA国家环境信息中心（NOAA's National Centers for Environmental Information）的公开数据库。

**四、研究结果**

**4.1 全局渔业可用性模型优化与验证**

研究人员利用λ因子和正则化因子优化的Volterra–Gegenbauer模型对全球渔业可用性进行了辨识。以λ?=0.2和λ?=0.9的参数配置，模型在整个74年历史数据上实现了良好拟合，平均相对误差为1.494%，中位误差为1.309%。模型输出精确捕捉了全球渔业的主要非线性宏观趋势——包括初始增长阶段、2000年前后的峰值以及随后的下降阶段——而无需对年际波动进行滤波处理，表明参数估计过程具有结构一致性。

**4.2 预测起始点确定与预测性能评估**

研究设置了两种预测场景以评估模型的预测能力。场景一以2016年为预测起点（λ=0.2），提供了2016至2024年的8年样本外评估窗口。模型在整个74年历史数据集上达到1.617%的平均相对误差和1.243%的中位相对误差。在8年预测阶段，误差百分比在2018年前后出现暂时性升高，峰值约为4.6%，随后回落至2%以下。核权重在整个时间线上保持在-2.5至3.5的有限区间内，显示出参数轨迹的一致性和稳定性。

场景二以2022年为预测起点（λ=0.9），模型总体历史平均相对误差为1.375%，中位数为1.062%。然而在2年预测期内，相对误差从2022年的约0.3%迅速上升至2024年的4.0%以上，且一阶和二阶权重表现出急剧上升趋势，在2022年边界附近达到接近3.8的数值。这一对比表明，较大的λ值虽然能在历史拟合中获得更低的平均误差，但在延长预测范围时会放大误差累积。

**4.3 环境驱动因素的简化表征**

研究验证了将CO₂排放、海洋热含量、海水pH变化和全球温度变化等复杂环境因素整合为单一综合变量的可行性。尽管该公式提供的是全球人为影响的可靠指标，但并不排除其他因素（如化学污染或过度捕捞监管）的影响。合理的拟合效果和预测趋势表明，这种简化公式能够在研究期间有效捕捉这些环境因素对全球渔业可用性的综合影响。

**五、讨论与结论**

讨论部分指出，Volterra–Gegenbauer模型的核心优势在于其参数效率。经典二阶Volterra系统在记忆长度为L时需要O(L2)量级的参数，而通过将核函数投影到Gegenbauer多项式正交基上并采用对角Volterra系统处理，辨识过程仅需估计2p个权重参数，显著降低了搜索空间和过拟合风险。研究还验证了该模型在有限数据条件下优于仅使用Gegenbauer多项式表达已知动态的方法。

研究结论总结了主要贡献：正则化最小二乘方案与Gegenbauer参数λ的联合选择有效防止了数值发散；参数轨迹在8年预测窗口内的一致性表明模型能够捕捉系统的结构非线性；λ参数的选择涉及局部拟合精度与延长预测范围数值稳定性之间的权衡；模型输出表明海洋栖息地退化——由CO₂排放、海洋酸化和热异常驱动——是生态系统衰退的主要驱动因素。过度捕捞因属于直接捕捞行为而非气候驱动的环境胁迫因子，被排除在环境变量集合之外。最终，本研究为非线性动力系统提供了数学上坚实的建模与参数估计工具，未来可扩展至闭环预测控制、多变量环境反馈系统及在线参数更新算法等领域。