基于随机化HSVD与小波阈值化的高效信号去噪方法

《AppliedMath》：Efficient Signal Denoising Methods Using Randomized HSVD and Wavelet Thresholding

　　

该研究提出基于小波阈值化(WT, Wavelet Thresholding)与汉克尔矩阵奇异值分解(HSVD, Hankel matrix-based Singular Value Decomposition)并结合随机化算法的高效信号去噪方法。研究人员考察了两种顺序混合框架：先WT后HSVD(WT-HSVD)与先HSVD后WT(HSVD-WT)，并在不同噪声水平下测试。数值实验采用双谐波、阻尼正弦、双频信号以及天然心音图(PCG, Phonocardiogram)记录，污染噪声包括白高斯、有色（布朗）与脉冲噪声。对于中高噪声水平，混合框架可显著提升去噪信号最终精度，以重建误差指标与信噪比(SNR, Signal-to-Noise Ratio)衡量。这些混合框架还能补偿单独使用任一方法时可能出现的次优参数选择。为缓解精确SVD固有计算负担，该研究采用随机化奇异值分解(rSVD, randomized Singular Value Decomposition)算法；依信号尺寸不同，所提带rSVD的混合框架在保持重建精度同时实现CPU执行时间30%至80%的缩减。

论文解读：《AppliedMath》刊载的该项研究聚焦一维信号去噪。传统傅里叶类频域滤波依赖全局正弦基，缺乏时间局部化，对非平稳、含瞬态突变信号效果差。小波阈值化(WT, Wavelet Thresholding)虽具时频局部化能力，但离散小波变换不具备平移不变性，在尖锐不连续处易产生伪吉布斯振荡，且当噪声与信号频带严重重叠时难以干净分离。汉克尔矩阵奇异值分解(HSVD, Hankel matrix-based Singular Value Decomposition)将数据嵌入轨迹空间，用子空间低秩结构分离信号与噪声，但大规模汉克尔矩阵上精确SVD计算成本高。研究人员因此构建WT与HSVD的顺序混合框架，并引入随机化奇异值分解(rSVD, randomized Singular Value Decomposition)以降低计算瓶颈。研究结论显示：中高噪声下混合框架明显优于单法；HSVD-WT在多数情形取得最低平均绝对误差(MAE, Mean Absolute Error)与最高信噪比(SNR, Signal-to-Noise Ratio)；rSVD在保持精度下显著缩短CPU时间；低频有色布朗噪声因与心音低频能量重叠仍难处理。该研究为无训练、可解释的信号去噪提供实用路径，对工程与非平稳生物医学信号处理具应用价值。

关键技术方法上，研究人员使用小波阈值化（含硬/软阈值、VisuShrink通用阈值、Symlet/DB/Coiflet小波与分解层数选择）、汉克尔矩阵构造与低秩截断（窗口长度接近信号半长、按奇异值肘部取截断秩r）、随机化奇异值分解（随机投影获列空间基、降维后做标准SVD再抬升左奇异矩阵），以及顺序混合框架WT-HSVD与HSVD-WT；实证样本含合成双谐波/阻尼正弦/双频信号与天然心音图(PCG, Phonocardiogram)记录，噪声为白高斯、布朗与脉冲三类。

研究结果如下。

2 方法论：研究人员综述WT、HSVD、rSVD原理，给出观测模型x = s + n。WT经离散小波变换分近似与细节系数，对细节系数按阈值置零或收缩后逆变换。HSVD将长度N信号以窗口长度L构汉克尔矩阵H，做SVD：H = UΣV^T，保留前r个奇异值得到低秩矩阵H_r，再对角平均（汉克尔化）映回时间序列。rSVD先用随机矩阵Ω生成Y = HΩ或带过采样p的HΩ_ext，QR得正交基Q，投影得B = Q^TH，对小矩阵B做SVD后再恢复左奇异向量；渐近复杂度由O(min(mn)min(m,n)²)降至约O(mn k)，低秩时加速明显。混合框架直接将前段输出送入后段，不做残差修正。

3 数值测试：3.1 基础高斯噪声信号：3.1.1 参数选择：WT选sym8、分解层4；HSVD窗口L≈N/2、截断秩r=4（奇异值第4分量后陡降）。3.1.2 去噪性能：在SD=0.25/0.5/1.0下，双谐波信号SD=0.25时WT的MAE=0.049563、SNR=20.427432 dB，WT-HSVD为MAE=0.025572、SNR=26.116623 dB，HSVD-WT为MAE=0.021040、SNR=27.860403 dB；阻尼正弦SD=0.5时WT的SNR=9.190873 dB，HSVD-WT达SNR=20.394785 dB、MAE=0.028641；双频SD=1.0时WT的MAE=0.188658，WT-HSVD降至MAE=0.080644、SNR由12.307009 dB升至19.910452 dB。结论是混合框架显著提精度。3.1.3 标准SVD对比随机SVD：SD=0.5下两者MAE/SNR差异极小（MAE差小于0.001、SNR差小于0.1 dB），rSVD在WT-HSVD阻尼正弦上耗时少30%以上；表中相对标准SVD耗时低于70%，即省30%以上。

3.2 天然信号多类噪声：PCG信号长度使L=N/2、HSVD截断秩取特定值；WT用db4、层5、VisuShrink软阈值。白高斯下HSVD与rHSVD-WT的SNR更优；脉冲噪声下HSVD、WT-rHSVD、rHSVD-WT均远胜单独WT；布朗噪声因低频漂移与PCG核心频带重叠，所有方法SNR为负。rHSVD-WT比标准HSVD快4至5倍，即CPU时间缩减70%至80%。

4 讨论：研究人员指出HSVD-WT常优于WT-HSVD，因WT非线性先跑会引入伪影并抬高汉克尔矩阵有效秩，模糊信号子空间与噪声底；先HSVD再WT则先抓主子空间、后清残噪。PCG上白高斯与脉冲噪声混合框架稳健，布朗噪声受低频重叠限制。整体说明HSVD-WT加rSVD兼顾精度与可行性和实际部署价值。

5 结论翻译：本研究成功开发并验证融合WT与汉克尔矩阵rSVD的高效混合信号去噪框架。在双谐波、阻尼正弦、双频等合成基准上，顺序HSVD-WT较单法与另类混合序列重建精度更优；汉克尔窗口长度、HSVD截断秩、小波类型与WT分解层等参数对高精度去噪至关重要。rSVD消除精确SVD瓶颈，WT-rHSVD与rHSVD-WT在保持精度下降CPU时间超30%；在天然心音图(PCG)上对抗白高斯与脉冲噪声表现稳健，较标准HSVD省时70%至80%；低频有色（布朗）噪声仍待研究。未来可拓至二维/三维数据，并将固定阈值改为自适应或机器学习引导阈值。