一种结合 Boussinesq 模型与 Navier-Stokes 模型的双向多保真度耦合方法

《Coastal Engineering》：A two-way multi-fidelity coupling approach combining Boussinesq and Navier–Stokes models

　　

摘要

本文提出了一种模块化双向多保真度耦合框架，将高保真度Navier–Stokes模型与渐近Boussinesq型模型相结合。该方法借助渐近模型高效模拟大规模波传播，同时利用Navier–Stokes方程精确描述波–结构相互作用。数值耦合策略基于重叠子域和基于松弛的源项，使得不同模型之间能够实现双向且一致的信息传递。该框架设计为非侵入式的，且很大程度上独立于所采用的模型，从而具有良好的灵活性和可扩展性。本文通过文献中一系列案例研究来展示该方法的相关性和有效性。

引言

许多海岸和海洋工程结构与现象的数值模拟需要解析多尺度波传播和结构相互作用（Mao和Gao，2026）。这涉及多个空间尺度和物理尺度：在大范围区域内，波传播主要表现为色散性和弱非线性；而在局部区域，则完全受非线性三维效应主导。此类相互作用在广泛的应用中起着关键作用，包括港口共振和涌荡（Bellotti，2007）、防波堤和海岸防护结构上的波浪荷载（Barcet等，2025）、堤坝的波浪越流和淹没（Huang等，2025）、近岸地貌动力过程以及海岸洪水灾害评估（Kirby，2016）和波浪能转换装置（Guo和Ringwood，2021）。在这些场景下，表面波、水深和固体障碍物之间的相互作用会产生复杂的多尺度流动现象，必须可靠地捕捉这些现象以支持工程设计及风险评估（Narayanaswamy等，2010）。本研究的主要目标是建立并验证在线性范围内渐近模型与高保真度模型之间的耦合方法。

对这些相互作用的精确表征需要高保真度三维模型，通常由Navier–Stokes方程控制。然而，在远离结构的区域，此类模型的数值求解成本过高，且在不影响空间分辨率的前提下难以承受。关于这些模型的全面综述可参见Penalba等（2017）和Golbaz等（2021）。尽管每种模型在其预定应用范围内均表现良好，但将其推广至更广泛的情境时存在固有的局限性，这通常受限于精度、简化假设或计算成本。例如，Boussinesq型模型将问题的维度从?3降至?2，从而大幅节省计算资源。虽然在Boussinesq框架中直接引入流固相互作用的策略已有诸多研究（Lannes，2017；Godlewski等，2018、2020；Bosi等，2019；Parisot，2023；Haidar等，2025），但本文不考虑此类相互作用。因此，传统方法通常局限于特定的海况或相对较小的域和结构，依赖于单一数学框架。模型精度与计算效率之间的根本权衡因此持续存在：高保真度模型提供了详细而精确的描述，但在大范围域中的计算代价过高；而简化模型虽具效率，却以忽略关键物理过程为代价。

为克服上述局限，我们提出一种混合策略，将计算需求高的高保真度Navier–Stokes模型与Boussinesq型等渐近模型（Lannes，2013）的效率相结合。高保真度模型与近似模型之间的耦合具有许多重要应用，可用于改善堤坝淹没波的预测、波浪破碎耗散能量或波浪能转换装置可采集的潜在能量。在此背景下，将高保真度模型的使用范围限定于表现出复杂行为的区域（如破碎波、越流或流固相互作用区域）是自然的，同时依靠渐近模型来描述大规模波传播。本方法的目的是提出一种模块化方法论，可应用于文中列举的多种情形，而无需针对每种情形开发特定模型：波–结构相互作用始终由小范围内的高保真度模型求解，波传播则交由高效方法处理。

混合策略的主要挑战在于确保在数学性质和时空尺度均不同的模型之间实现有效通信。主要可归纳为三类耦合策略：(i) 基于不同子域之间界面传输条件的策略（Mintgen和Manhart，2018；Masó等，2022；Daou等，2014；Bladé等，2012；Kuiry等，2010）；(ii) 采用厚界面，通过统一模型逐步过渡的耦合策略（G?z和Munz，1998；Godlewski和Raviart，2004；Godlewski等，2005；Boutin等，2011、2013、2015、2021；Parisot，2024）；以及(iii) 使用物理域重叠区域，通过源项进行交换的耦合策略（Sitanggang等，2007；Gejadze和Monnier，2007；D'Alpaos和Defina，2007）。后者方法的主要优势在于灵活性：耦合模型可在性质上存在显著差异，只要一个模型的未知量可由另一个模型重建，且可同时进行多个不连通的高保真度子域耦合。

我们的耦合方法论遵循第三种框架，借鉴了完美匹配层（PML）技术（Berenger，1994）。在该方法中，精确解通过松弛过程叠加在数值解上，位于一个狭窄的层中（Appel?等，2006）。此处，松弛层用于将由渐近模型控制的远场域中产生的波浪传递至由Navier–Stokes方程控制的近场域（Aliyar等，2022）。反之，同一机制允许波浪从近场反向传播至远场，从而在两个模型之间建立双向耦合。相关方法可参见Masó等（2022）和Dempwolff等（2023）。在本研究中，我们在线性和非线性范围内对耦合方法进行了测试，以确保数值上稳健的系统，以便未来可扩展至更复杂的情形。这些案例代表了前述结构在常规运行状态下的工况。生存性试验和极端事件（如风暴中的堤坝或浮动结构）尚未在现阶段考虑，因为其复杂的流动物理过程超出了本研究范围。

各子域中的控制方程在第2.1节（近场子域中的控制方程）和第2.2节（远场子域中的控制方程）中简要介绍，第2.3节重点阐述耦合策略。用于求解两个模型的离散数值方法在第3.1节（近场子域中的数值格式）和第3.2节（远场子域中的数值格式）中简明概述，随后在第3.3节中详细描述耦合算法。随后，所提出的方法在x–z平面中进行了数值模拟开发，相关结果见第4节。数值结果通过与文献中的经典实验测试案例进行对比验证。

文中片段

连续设定下的耦合策略

本节介绍所采用数学模型的物理背景和连续数学表述。所考虑的物理域采用重叠构型：一个围绕结构的小范围域，后文称为近场子域。在本文中，结构假设为刚性、不透水且在域内固定的。这一选择基于实现简便性以及便于与现有文献对比。

离散设定下的耦合策略

近场子域采用笛卡尔网格离散，每个方向均匀但允许采用不同的网格尺寸δ_nfx和δ_nfz。为清晰起见，仅呈现二维（x, z）平面上的完全离散公式。未知量ψ、u和p采用有限差分格式（Bergmann，2022）进行离散，离散变量ψ_{n,i,j}、u_{n,i,j}和p_{n,i,j}近似表示在时间t_n时网格点(i·δ_nfx, j·δ_nfz)处的ψ、u和p。远场子域也采用……

数值验证与实验

本节旨在通过文献中的多个经典一维测试案例来展示耦合方法的数值验证，突出我们方法的潜力。第4.1节考察平坦水深下的准线性域间波传递。第4.2节考虑淹没丘陵上的波传递，这会引起非线性行为。最后，第4.3节将耦合策略应用于模拟……

结论

本文提出了一种高保真度Navier–Stokes模型与渐近Boussinesq模型之间的新型耦合方法，为模拟波浪相互作用提供了一种强有力的工具。该方法允许利用渐近模型在大范围域上高效传播波浪，同时利用Navier–Stokes模型在局部区域内解析非线性和复杂流动效应。该方法尤其适用于仅需在有限区域内使用高保真度模型的应用场景，例如……

CRediT作者贡献声明

Michel Bergmann：撰写——审阅与编辑、监督、概念化。Umberto Bosi：撰写——初稿、验证、软件、方法学、调查。Martin Parisot：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、监督、概念化。

利益冲突声明

作者声明，他们不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

致谢

本研究部分得到Nouvelle-Aquitaine大区通过RNA21 MMEMFEEM项目的支持。

Michel Bergmann | Umberto Bosi | Martin Parisot

法国波尔多大学，CNRS，IMB，UMR 5251，Inria，Memphis-Monhade团队，200 Avenue de la Vieille Tour，Talence，33405，法国