递归校正技术——一种用于分离和线性化纳维-斯托克斯系统的新型方法

《Computers & Mathematics with Applications》：Recursive correction - a novel technique for decoupling and linearization of Navier-Stokes systems

　　摘要：我们提出了一种名为“递归校正”（Recursive Correction）的新方法，用于线性化和解耦刚性问题。该方法基于利用缺陷校正（defect correction）来恢复微分算子的结构。通过数值测试我们证明，在线性化纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）时，这种新方法可以达到二次收敛。我们还在磁流体动力学（MagnetohydroDynamic）流动问题上对该方法进行了测试，结果表明递归校正能够提高所采用解耦方法的质量。最后，我们将递归校正与重构中点法（Refactored Midpoint method）结合使用，以实现更高效的磁流体动力学流动解耦。

引言：在本文中，我们提出了一种线性化纳维-斯托克斯方程的新方法，特别是用于高效解耦耦合的纳维-斯托克斯系统。该方法属于缺陷校正（defect correction）系列。自20世纪40年代以来，缺陷校正方法（DCMs）已经在常微分方程（ODEs）和偏微分方程（PDEs）的研究中得到应用。20世纪60至70年代，人们对缺陷校正方法的兴趣达到了顶峰，Zadunaisky [2]、[3] 的工作引发了众多研究团队的关注，随后包括Frank [4]、Frank和Ueberhuber [5]、Hemker [6]、[7]、B?hmer、Hemker和Stetter [8]等人的研究。此后，许多研究团队继续研究缺陷校正方法（参见[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]等文献），其中包括为了提高时间精度而开发的延迟校正方法（deferred correction methods）[15]、[16]、[17]、[18]、[19]。缺陷校正方法也被用于计算流体动力学（CFD）中的耦合问题研究，包括磁流体动力学[20]、[21]、[22]、[23]以及流体-流体相互作用[24]、[25]。然而，由于这些方法的渐进收敛性，其在流体流动建模中的成功受到了限制：通常需要多次细化空间网格直径和/或时间步长才能观察到所声称的收敛速度。关于在CFD中使用缺陷校正方法的最新研究成果汇集在[26]中。

递归校正与现有的缺陷校正方法不同。其他缺陷/延迟校正方法通过校正来提高对原始连续问题解的逼近精度，而递归校正的目的是恢复在缺陷步骤中被修改的离散（或半离散）微分算子的结构，以便进行线性化或解耦等操作。

考虑以下偏微分方程：??2????(??,??) = ??(??,??, ??(??,??))，以及用于时间离散化的后向欧拉方法（无论是否进行空间离散化）：???+? ? ??? Δ?? = ??(???+?, ???+?)。线性化或解耦可以修改方程(1.2)的右侧，以包含之前的时间水平的解。为了说明递归校正的机制，我们将修改后的问题表示为：???+? ? ??? Δ?? = ?(???+?, ???, ???+?)。

以下是递归校正的一般过程（算法1.1）：
1. 缺陷步骤（Defect Step）：求解修改后的问题(1.3)以找到缺陷步骤的解 ????+?：????+? ? ???? Δ?? = ?(???+?, ????, ????+?)。
2. 校正步骤（Correction Step）：进行校正以恢复方程(1.2)的结构：校正步骤的解 ????+? 满足 ????+? ? ???? Δ?? = ?(???+?, ????, ????+?) ? ?(???+?, ????, ????+?) + ??(???+?, ????+?)。
3. 递归校正（Recursive Correction, RC）：这一步骤是特定于问题的：使用校正步骤的解 ????+? 来线性化/解耦方程(1.2)。求解以找到RC解 ???+?。在解耦时，这一步会求解 ???+? ? ??? Δ?? = ?(???+?, ????+?, ???+?)。
4. 用最佳可用近似值更新校正步骤的解：????+? := ???+?。

**注1**：算法1.1中的RC步骤无法进一步具体化，因为所提出的递归校正方法框架旨在涵盖多种类型的问题。一般来说，当RC应用于一个耦合问题时，会使用一个底层解耦方法（在缺陷步骤中），以及一个稳定但计算成本较高的方法来解决耦合系统。在这种情况下，在算法1.1的RC步骤中，解耦系统的未知函数y在之前的时间水平上的所有值都被替换为????+?。第4节将讨论这样一个系统的例子。请注意，缺陷步骤在运行过程中不会更新，因为它独立于校正步骤进行。这与“主流”的缺陷校正方法[26]一致，并且允许高效并行化。同时，第二个校正步骤的解???+1用于更新校正步骤的解????+1（因此得名“递归校正”）。我们将通过各种数值测试证明，RC方法似乎不太容易受到缺陷校正方法的主要问题——渐进收敛性的影响。本文中的定性和定量结果都是在非常大的时间步长下获得的（包括一个使用较大且变化时间步长的测试），所有结果都显示RC解优于用于线性化/解耦原问题的方法。当然，这一结论需要谨慎对待，因为我们尚未将这种方法与其他延迟校正技术进行比较。

**注2**：我们立即看到了RC方法在解耦应用中的好处：在第4节中，我们将递归校正与重构中点法（见下文讨论）结合起来，用于模拟磁流体动力学流动。然而，我们也认为RC方法在线性化纳维-斯托克斯方程方面的有效性值得进一步研究。这并不意味着牛顿法（Newton’s method）应该被RC方法取代；也不意味着RC方法应该与安德森加速法（Anderson acceleration）或其他线性化技术进行比较。我们看到实现RC在线性化方面的潜力如下：再次考虑一个耦合的非线性系统。当RC方法并行运行时，一个核心会执行两个缺陷步骤，而另一个核心执行校正步骤，然后是递归校正步骤（有关并行化的更多细节将在下文给出）。与其在校正步骤和递归校正步骤都使用牛顿法，不如在校正阶段使用RC进行线性化，在RC步骤中再包含牛顿法的步骤。这样一来，第二个核心的总步骤数为k（校正步骤k步，RC步骤???1步），这将确保总体CPU时间相当于两次缺陷步骤方法的运行时间；如果可以在不影响RC解精度的情况下增加牛顿步骤的迭代容忍度，那么CPU时间还可以进一步减少。

重构中点法（Refactored Midpoint, RM）[27]源于一种观察：通过结合半步前向欧拉方法和半步后向欧拉方法，可以获得一些二阶精确的方法（中点法，trapezoidal method）[28]。当时间离散化技术的可用性受到问题复杂性的限制时，利用后向欧拉结构构建一个二阶精确、辛的、适用于可变步长且具有A-和B-稳定性的方法尤为重要。对于一般的一阶常微分方程 ??′(??) = ??(??, ??(??))，中点法则通过 ???+? ? ??????? = ??(???+?/2, ???+1/2), ???+? = ????+????, ???+1/2 = ????+????2 来寻找新时间水平的解。这可以通过执行半步后向欧拉方法，接着是半步前向欧拉方法来实现：???+?/2 ? ???????/2 = ??(???+1/2, ???+1/2), ???+? ? ???+1/2????/2 = ??(???+1/2, ???+1/2)。这导致了重构中点法的公式{???+?/2 ? ???????/2 = ??(???+1/2), ???+1 = 2???+1/2 ? ???}。重构中点法[1.10]被证明在[27]中是B-稳定且二阶精确的。然而，这种方法的缺点是外推步骤中使用的中间点值???+1/2必须通过半步后向欧拉方法获得；如果这在计算上不可行，并且后向欧拉方法被替换为另一种一阶精确方案（例如隐式-显式解耦方法），那么外推步骤的稳定性就会降低到前向欧拉方法的水平。因此，Trenchea等人提出在解耦方法的解收敛到后向欧拉方法的解之前对其进行迭代，然后再进行(1.10)中的外推步骤。作者在磁流体动力学[29]和流体-结构相互作用问题[30]中使用了这种方法，称为迭代重构中点法（Iterated Refactorized Midpoint）。在这两个问题中，每个时间步长需要大量的迭代次数（从小时间步长下的3次迭代到大时间步长下的9次迭代）。在第4节中，我们将展示用于MHD的重构中点法与递归校正（RMRC）在时间上是二阶精确的，并且即使时间步长非常大，每时间步长也只需要两次迭代。

**Navier-Stokes：通过递归校正进行线性化**：我们从纳维-斯托克斯方程的半离散（空间连续，时间离散）公式开始，使用后向欧拉方法进行时间离散化。
**通过递归校正进行解耦 - 磁流体动力学**：我们转向更适合RC方法的情况——即耦合CFD系统的划分。我们将重点关注磁流体动力学流动。感兴趣的量是速度场u和磁场B（或围绕平均磁场B0的波动b），但我们将考虑用Els?sser变量表示的MHD方程：??+=??+??, ???=?????。电导不可压缩流体在磁场中的运动受到...

**通过递归校正的重构中点法（IMEX → BE → RM）**：Trenchea [29]为MHD系统提出了以下迭代重构中点法：迭代 ??(??)+?????+Δ??/2???0·????(??)++??(???1)?·????(??)+???+????2??Δ??(??)+????????2??Δ??(???1)?+????(??)+=??+?(????+1/2), ??·??(??)+=0, ??(??)???????Δ??/2+??0·????(??)?+??(???1)+·????(??)????+????2??Δ??(??)?????????2??Δ??(???1)++????(??)?=????(????+1/2), ??·??(??)?=0，直到收敛到耦合MHD的后向欧拉方法解的半步解。然后外推 ???+1±=2???+1/2±????± 以找到下一个时间水平的解。

**结论**：我们提出并数值和理论上研究了一种新的缺陷校正方法，用于纳维-斯托克斯方程的线性化和磁流体动力系统的解耦。我们称这种方法为递归校正（Recursive Correction），它与其他缺陷校正技术的不同之处在于，它不是为了提高缺陷步骤解的精度，而是为了恢复原始未受扰动问题（非线性、耦合等）的结构。