基于耦合热弹性理论的FG拱热致非线性动态屈曲跳越分析

《International Journal of Non-Linear Mechanics》：Nonlinear thermal-induced dynamic snap-through analysis of FG arches based on coupled thermoelasticity theory

　　

• 提出了非线性耦合热弹性理论，用于分析拱结构的温度诱发振动。
• 建立了弱形式表述，并采用变分微分求积法求解控制方程。
• 采用具有温度依赖性能的功能梯度材料。
• 研究了极端热流条件下拱结构的几何非线性屈曲失稳现象。

**引言**

近几十年来，寻找能够适应极端环境而不牺牲可靠性的材料的研究，促使研究人员转向功能梯度材料（FGMs）。这些复合材料并非传统层压板的简单变体；它们体现了一种设计理念，即材料性能沿厚度方向逐渐变化，模仿了自然界在骨骼或贝壳中构建韧性的方式。这种平滑的梯度分布消除了尖锐界面并降低了应力集中，使FGMs特别适合同时需要强度和适应性的应用。梯度概念在多向结构中的扩展在先进系统中得到了进一步探索；例如，Tang等人[1]研究了含流体的三向功能梯度管道的非线性动力学特性，并结合了压电附件和非线性能量汇来控制振动。类似地，[2]研究了由三向梯度材料制成的细长梁的非线性力学响应，揭示了在各种激励下复杂的承载特性。其生物医学潜力首次由Matu?a等人[3]提出，他们研究了具有孔隙率梯度的钛/锆FGMs，展示了梯度孔隙率如何增强生物相容性和力学性能。Sola等人[4]提供了骨科FGMs的全面更新，强调了植入体的设计和制造策略。Babaei和Eslami[5]将这些思想扩展到结构力学领域，分析了弯曲多孔FG微管的非线性振动特性和屈曲稳定性，展示了孔隙率如何影响动态稳定性。Civalek及合作者[6]探索了碳纳米管增强复合微梁的振动行为，而Dastjerdi等人[7]研究了湿热环境中多孔FG板的振动，两者均强调了孔隙率和环境耦合的重要性。Rajasekaran等人[8]将梯度概念进一步扩展到多向结构，研究了多向梯度弹性夹芯板的热力学特性，揭示了梯度方向与热刚度之间复杂的相互作用。与此同时，Qaderi等人[9]应用了基于约束的方法，包括拉格朗日乘数法和罚函数法，对高阶复合层压板的热屈曲进行了评估，展示了约束技术如何提高热弹性稳定性预测的精度。在相关背景下，Tang等人[10]研究了湿热环境中双向梯度梁的非线性频率响应，强调了多向梯度与环境条件的耦合对频率响应的影响。此外，Poojary和Rajamohan[11]研究了湿热载荷下厚度锥形层压板的非线性振荡行为，表明几何锥形显著改变了频率响应和稳定性边界。Akg?z和Civalek[12]研究了嵌入弹性介质中的FG微梁的热弹性屈曲响应，Jalaei和Civalek[13]将其扩展到磁嵌入粘弹性多孔FG纳梁，突出了多物理场耦合。此外，Tang等人[14]采用GDQ方法研究了暴露于磁-电-弹性场中三向FGM梁的振动和动态稳定性特性，展示了数值方法在复杂多物理场问题中的有效性。Numano?lu等人[15]开发了用于纳梁热力学振动的创新特征值求解器，而Prateek等人[16]和Beni & Beni[17]分别分析了纳/微梁的非线性振动和动态稳定性，展示了尺寸效应和粘弹性如何改变响应。Dastjerdi等人[18]进一步探索了粘弹性效应对陀螺仪的影响，将FGMs与精密仪器联系起来。关于移动连续体和微结构的补充研究也突出了热环境在触发不稳定性方面的作用；Ghayesh和Amabili[19]探索了轴向移动梁的非线性稳定性特性和分岔行为，而Farokhi和Ghayesh[20]研究了完美和不完美Timoshenko型微梁的热力学动态响应，强调了屈曲类似转变对初始几何缺陷的敏感性。尽管对各种FGM结构进行了广泛研究，但将完全耦合的非线性热弹性理论应用于拱结构——尤其是考虑温度依赖性能和屈曲失稳——尚未得到严格解决。这一空白构成了本研究的主要动机。

热弹性和动态屈曲的智力根源可以追溯到开创性的研究，这些研究塑造了工程师理解热环境下稳定性的方式。Budiansky和Roth[21]研究了浅球壳的轴对称动态屈曲响应，而Budiansky和Hutchinson[22]分析了动态屈曲中的缺陷敏感性。Ghiasian等人[23]研究了FGM梁的非线性热致动态屈曲，Kiani[24]研究了热后屈曲FGM板的屈曲现象。Keibolahi等人[25]将此扩展到热冲击下的浅拱。Ghiasian等人[26]进一步量化了快速加热触发非线性响应的角色，表明FGM梁动态屈曲的临界热载荷对加热率和材料梯度指数高度敏感。最近，Shakhlavi[27]将非线性耗散效应和温度依赖材料行为纳入热粘弹性杆模型，揭示了阻尼可以显著延迟或抑制热冲击下的屈曲类似不稳定性。Ansari等人[28]研究了湿热诱发多孔FG梁的振动，而Phung-Van等人[29]采用等几何技术分析了湿热机械载荷下多孔FG板的响应。Civalek[30]分析了弹性基础上球壳的非线性动力学，Boley[31]开创了梁的热致振动研究。Boley和Barber[32]将其扩展到梁和板的快速加热，Kraus[33]研究了热载荷下的球壳，Hetnarski和Eslami[34]提供了关于热应力的综合专著。Wang和Zu[35]研究了热环境中含孔隙FG板，Kiani和Eslami[36]研究了圆形FGM板的快速加热。Huang和Tauchert[37]分析了加热下圆柱面壳的大振幅振动，Vuong和Duc[38]研究了加强FG环壳的非线性屈曲。Cong等人[39]利用Reddy高阶剪切变形理论研究了多孔FG板，Thang和Nguyen-Thoi[40]分析了加强FG环壳的非线性动态屈曲。这些经典和现代研究共同建立了热弹性和动态屈曲的丰富基础，展示了结构对快速加热、缺陷和多物理场环境的多种响应方式。尽管上述研究奠定了坚实基础，但它们主要依赖于非耦合热分析或简化的材料模型。一个全面考虑FGM拱在瞬态热冲击下变形场与温度场双向相互作用的耦合热弹性框架仍然缺乏。然而，大多数这些耦合模型仅限于板、壳或简单几何结构。将这些公式扩展到具有几何非线性和温度依赖材料系数的拱结构尚未完全实现，在文献中留下了一个关键空白。

现代耦合热弹性的发展代表了从经典基础的自然演化，将分析范围扩展到更复杂的几何结构和多物理场相互作用。Guo等人[41]分析了轴向移动梁的热弹性振动，Wang和Yu[42]完善了弯曲复合梁的热弹性模型，Bahtui和Eslami[43]研究了FG圆柱壳，Bagri和Eslami[44]分析了FG环盘，Eslami等人[45]研究了旋转壳。Kakhki等人[46]分析了微梁的热弹性阻尼，Khader等人[47]应用了分数阶微极热弹性，Yue等人[48]研究了非局部应变梯度纳梁，He和Benveniste[49]解决了各向异性热弹性微结构，Zhao等人[50]提供了非局部热弹性振动响应的封闭解，Kiani和Eslami[51]研究了各向同性层的广义热弹性。Nickell和Sackman[52]提供了耦合热弹性的近似解，Salmanizadeh等人[53]研究了FG圆柱面壳的热致振动。Tauchert[54]分析了热冲击下的正交各向异性板。这些工作共同展示了耦合热弹性在FGM结构中的广泛性，涵盖梁、板、壳和先进微结构。总之，这些贡献展示了FGM结构中耦合热弹性的广泛谱系，揭示了梁、板、壳和微结构如何以多样和非线性的行为响应热环境。然而，大多数这些耦合模型仅限于板、壳或简单几何结构。将这些公式扩展到具有几何非线性和温度依赖材料系数的弯曲拱结构尚未完全实现，在文献中留下了一个关键空白。

变分微分求积（VDQ）方法是GDQ的强大扩展，由Shojaei等人[55]在变分框架中重新表述求积权重，从而增强了稳定性和效率。Ansari等人[56]将VDQ应用于湿热冲击下多孔FG圆形板的非线性振动，Mirsabetnazar等人[57,58]将VDQ应用于FGM石墨烯折纸启发的超材料，Nesarhosseini等人[59]利用微极热弹性分析了Timoshenko梁的热致振动。此外，Tang等人[60]通过Galerkin迭代程序研究了湿热载荷下三向梯度细长梁的非线性弯曲行为，展示了半解析方法在此类梯度系统中的 versatility。Ansari等人[28]重新审视了多孔FG梁的湿热振动。此外，Ansari等人[[61], [62], [63], [64]]分析了快速加热FG板、冷却冲击下FG球壳的热弹性振动、FG圆柱壳的热力学响应和三维超弹性结构的动力学响应。Faraji Oskouie等人[65]研究了热粘弹性圆盘，巩固了VDQ在多物理场问题中的作用。总之，这些工作确立了VDQ作为FGM非线性和多物理场分析的基础性方法，补充了经典方法并为高保真建模开辟了新途径。从更广泛的理论角度来看，Virgin[66]提供了结构元件弹性屈曲的基本分析，强调了保守能量交换和几何非线性的主导作用——这一概念基础支撑了本文的耦合热弹性公式。此外，几项研究强调，富含陶瓷的配置通常提供更高的热刚度和降低的热膨胀，可以显著增强暴露于快速加热下FGM结构的稳定性[36,67]。与此同时，Bu等[68]提出了一种利用声黑洞现象实现周期性输流管道振动自衰减的创新方法，展示了卓越的被动振动衰减效果，这可以为FGM拱结构提供类似策略的启发。此外，Tang等人[69]开发了一种新型混合主动-被动压电布置，用于减轻输流管道的振动，表明将智能材料与FGM拱结构集成以实现热弹性不稳定性增强控制的潜在途径。除了这些早期贡献外，最新的研究进一步丰富了梯度系统中非线性热弹性响应的理解。例如，Chakraborty等人[70]证明非均匀温度梯度深刻改变了双向FGM板的热后屈曲和振动特性，而Yadav等人[71]分析了复杂热机械载荷下FG圆柱壳的非线性振动响应。最新研究进一步强调了先进复合和多孔结构中非线性热机械耦合的重要性。Wang等人[72]证明刚度定制和基体开裂显著改变了热致振动，而Wang等人[73]表明梯度多孔结构在热冲击下表现出强烈的温度依赖动态行为。尽管VDQ方法的能力已得到证明，但将其应用于FGM拱的完全非线性弱形式耦合热弹性分析——特别是包含瞬态热载荷和屈曲失稳的分析——尚未见报道。本研究旨在填补这一空白，开发一种稳健的基于VDQ的公式，专门针对此类复杂问题。（研究空白的总结见表1）

基于上述考虑，本工作提出了一种用于FGM拱的完全非线性弱形式模型，在单一理论框架中一致地集成了几何非线性和温度依赖本构行为。该公式基于一阶剪切变形运动学以及von Kármán应变假设，空间离散化通过VDQ技术进行，从而能够准确且高效地表征热场与机械场之间的双向耦合。除了常规的热弹性响应外，本工作特别关注瞬态加热下屈曲失稳特性的表征，这是一种对弯曲FGM结构稳定性和适用性具有关键影响的现象。基准比较证实了所提方法的有效性，随后利用该方法考察了组分梯度、几何构型、边界约束和热载荷的影响。

通过该过程，本研究的非线性热弹性研究领域得以拓展，并为极端热条件下工作的工程结构提供了一种灵活的数值工具。

**材料属性**

本节利用Voigt平均法研究了梯度功能拱的热弹性特性，假设在相界面跨越了均匀变形场。图1描绘了一个浅拱，其特征为厚度h、平均半径R，并受角度参数??的作用，该参数指示极坐标系(z,?)中的位置。在任意厚度方向位置z处，有效材料常数通过金属相的加权和获得。

**非线性耦合热弹性控制方程**

在基于Timoshenko假设的一阶剪切变形运动学框架内，运动学位移分量表示为：

U￣=[u(?,z,t) w(?,z,t)] = [u?(?,t)+zψ?(?,t) w?(?,t)] = P?U

P?=[1 0; z 0; 1 0]，U=[u?(?,t) w?(?,t) ψ?(?,t)]?

其中，u?和w?分别表示沿?和z方向的中面位移；在本关系式中，u和w分别表示?轴和z轴方向的总位移，而ψ?表示旋转角。

**数值离散与求解方法**

为获得控制方程的数值解，通过广义差分求积(GDQ)方法[77]对连续微分算子进行离散化。在该方案中，给定网格点上函数的导数表示为所有网格点函数值的加权线性组合。这种表述将微分算子转化为紧凑的代数表达式，从而仅使用少量网格点即可获得高精度结果。

**验证与结果**

为验证所提出公式的可靠性，进行了一项初始验证试验。参考案例采用了Boley[31]提出的著名非耦合热弹性解，其中假设热场独立于力学响应进行演化。为此，分析了简支且可移动端约束的均匀梁，因为该设置施加了顶部表面的特定热通量，从而提供了

**结论**

在本研究中，为梯度功能浅拱开发了一种全面的非线性弱格式公式，其中显式纳入了耦合热弹性相互作用和温度相关材料特性。通过将一阶剪切变形理论与von Kármán运动学相结合，并采用变分差分求积方法，该框架以高保真度捕捉了力学场与热场之间的双向耦合。

**CRediT作者贡献声明**

M. Faraji Oskouie：写作——审阅与编辑、软件、方法论、调查研究、概念构思。A. Talebian：写作——初稿撰写、验证、软件、方法论。R. Ansari：写作——初稿撰写、监督、形式化分析、概念构思。

**利益冲突声明**

作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本论文所报道的工作。

M. Faraji Oskouie | A. Talebian | R. Ansari