**(余)上同调的消没子模及其对迹理想的影响**

《Journal of Algebra》：Annihilators of (co)homology and their influence on the trace ideal

　　

## 摘要

设 $(R, \mathfrak{m})$ 为交换诺特局部环，且假设 $R$ 为具有典范模 $\omega_R$ 的科恩-马科斯环。我们开发了一系列新工具来分析涉及若干同调定义对象的湮灭子理想的问题。利用这些工具，我们研究了 Dao-Kobayashi-Takahashi 对著名的 Tachikawa 猜想所做推广的一个版本，特别是提出：$\mathfrak{m}\text{Ext}_R^i(\omega_R, R)$ 的消失是否应当迫使 $\omega_R$ 的迹理想包含 $\mathfrak{m}$，即 $R$ 是否近乎 Gorenstein。我们证明对于最小重数数值半群环，该问题的答案为肯定，但一般情况下答案为否定。我们的证明涉及对数值半群环中齐次理想的一般分析，并利用了该情形下 Ulrich 模的行为特性。

## 引言

设 $(R, \mathfrak{m}, k)$ 为诺特局部环或具有齐次极大理想 $\mathfrak{m}$ 的正次幂 $k$-代数。以下猜想最初以当前形式由 [3] 提出，它作为交换代数版本的著名 Tachikawa 猜想，与 Artin 代数的表示论中若干长期悬而未决的问题密切相关：

**猜想 1.1** 设 $R$ 为具有典范模 $\omega_R$ 的科恩-马科斯环。若对所有 $i > 0$ 有 $\text{Ext}_R^i(\omega_R, R) = 0$，则 $R$ 为 Gorenstein。

当 $R$ 泛型 Gorenstein（即对所有 $\mathfrak{p} \in \text{Ass}(R)$，$R_\mathfrak{p}$ 为 Gorenstein）[3]（参见 [15]）、当 $R$ 在 $k$ 上正次幂 [36]，或当某些不变量较小时（例如 $\mu_R(\omega_R) \leq 2$ 或 $\mathfrak{m}^3 = 0$ [21]），猜想 1.1 已知成立。

鉴于 Gorenstein 性质的普遍性和实用性，人们引入了多种度量该性质不成立的程度的轴。其中一个近年受到大量关注的对象是典范模的迹理想（参见例如 [8]、[14]、[16]、[17]、[18]、[19] 等）。我们回顾该理想的定义：

$$\text{tr}_R(\omega_R) := \langle f(x) \mid x \in \omega_R, f \in \text{Hom}_R(\omega_R, R) \rangle.$$

理想 $\text{tr}_R(\omega_R)$ 度量了 $R$ 距离 Gorenstein 有多远。事实上，$R$ 为 Gorenstein 当且仅当 $\text{tr}_R(\omega_R) = R$，并且由 [17, Lemma 2.1] 可知，$\text{tr}_R(\omega_R)$ 定义了 $R$ 的非 Gorenstein 区域。若 $R$ 不是 Gorenstein，则按此度量最理想的情况是 $\text{tr}_R(\omega_R) = \mathfrak{m}$，因此满足 $\text{tr}_R(\omega_R) \supseteq \mathfrak{m}$ 的环被称为近乎 Gorenstein，且已被证明具有许多期望的性质；参见例如 [5]、[8]、[17]。

以下问题由 [8, Question 4.3] 提出，作为 Tachikawa 猜想在近乎 Gorenstein 条件下的变体：

**问题 1** 设 $(R, \mathfrak{m}, k)$ 为具有典范模 $\omega_R$ 的科恩-马科斯局部环。若对所有 $i > 0$ 有 $\mathfrak{m}\text{Ext}_R^i(\omega_R, R) = 0$，$R$ 必须近乎 Gorenstein 吗？

由于问题 1 是 Tachikawa 猜想的扩展，自然地将焦点缩小到 Tachikawa 猜想已知成立的场合。Dao-Kobayashi-Takahashi 近期为此提供了证据，他们对泛型 Gorenstein、型为 2 的环给出了肯定答案 [8, Theorem 4.4]；Esentepe 则建立了 $R$ 泛型 Gorenstein 且 $\text{tr}_R(\omega_R)$ 为根的场合 [13, Theorem C]。

在本工作中，我们开发了一系列新工具来解决涉及理想及其（余）同调对象的湮灭子理想的问题。我们的方法使我们能够证明关于数值半群环的若干新事实，特别是对于最小重数数值半群环，使我们能够描述迹理想与冒除理想的良好性质与理想的第一次挠因子直和分解之间的紧密联系。以下定理展示了我们技术的效用（参见 Theorem 4.8）：

**定理 1.2** 设 $R$ 为最小重数数值半群环，$I = (x_1, \ldots, x_n)$ 为 $R$ 的齐次理想，且对所有 $i$ 有 $|x_i| < |x_{i+1}|$。设 $Z_1(I)$ 和 $B_1(I)$ 分别表示 $x_1, \ldots, x_n$ 上的 Koszul 循环和 Koszul 边界。则以下条件等价：

(1) $\mathfrak{m}\text{Ext}_R^1(I, \text{Hom}_R(I, \omega_R)) = 0$。

(2) $\mathfrak{m}\text{Tor}_1^R(I, R/I) = 0$。

(3) $\mathfrak{m} \wedge_R^2(I) = 0$。

(4) $\mathfrak{m}B_1(I) \subseteq IZ_1(I)$。

(5) $\text{tr}_R(I) = \mathfrak{m}$。

(6) $(x_1 : I) = \mathfrak{m}$。

(7) $\Omega_R^1(I) \cong \bigoplus_{i=2}^n \mathfrak{m}(-|x_i|)$，作为既次幂 $R$-模。

此外，在条件 (1)-(4) 中，我们可以用 $\mathfrak{m}$ 的最小齐次约化替换 $\mathfrak{m}$。应用定理 1.2，我们证明在该情形下问题 1 的答案为肯定（参见 Theorem 4.10）。这一行为相当微妙，我们提供了例子表明问题 1 在一般情况下答案为否定，特别当定理 1.2 的假设仅被略微放松时（参见 Theorem 5.3）：

**定理 1.3** 存在一个嵌入维为 4、重数为 5、型为 3 的数值半群环 $R$，使得问题 1 的答案为否定。

特别是，定理 1.3 中的这样的例子具有几乎最小重数。此外，存在这样的例子是 [19] 意义上的远离 Gorenstein 环，因此可视为尽可能远离近乎 Gorenstein。作为副产品，我们的例子给出了 [13, Question 1.4] 中等式不成立的情形。

我们现在简要概述本文的结构。第 2 节提供一些背景知识并设定全文使用的记号。第 3 节提供跨越多个主题的新工具，这些工具对主定理的证明至关重要：第 3.1 节概述了几种计算迹理想的方法，第 3.2 节提供了关于 Ulrich 模的若干新结果，也是 [9] 工作的直接推广，第 3.3 节给出数值半群环中齐次理想的挠因子和表现矩阵的新结果。第 4 节包含主定理的证明：Theorem 4.8 和 Theorem 4.10。最后，在第 5 节中，我们通过提供显式扩展例子并评论其极小性来证明 Theorem 1.3。

## 背景与记号

全文中设 $(R, \mathfrak{m}, k)$ 为诺特局部环或维数为 $d$ 的 $k$ 上正次幂代数，具有齐次极大理想 $\mathfrak{m}$。所有模均假设为有限生成，在既次幂情形下假设为齐次的。对 $R$-模 $M$，我们用 $\mu_R(M)$ 表示其最小生成元个数，$\Omega_R^i(M)$ 表示 $M$ 的第 $i$ 次挠因子，取 $\Omega_R^0(M) = M$。我们用 $\beta_i^R(M) := \mu_R(\Omega_R^i(M)) = \dim_k \text{Tor}_i^R(M, k)$，并令 $l_R(M)$ 表示 $R$-模 $M$ 的长度。

## 预备性结果

本节提供若干具有独立价值的结果，涉及多个不同主题，这些结果将在主定理的证明中发挥关键作用。

**命题 4.1** 设 $R$ 为 Artin 环且具有最小重数，即 $\mathfrak{m}^2 = 0$。则 $R$ 近乎 Gorenstein。

**证明** 由于 $\mathfrak{m}^2 = 0$，$\mathfrak{m} \cong k \oplus \mu_R(\mathfrak{m})$。则存在 $R$-模同构 $\psi: \text{Hom}_R(\mathfrak{m}, \omega_R) \cong \mathfrak{m}$。考虑自然短正合序列 $0 \to \mathfrak{m} \to R \to k \to 0$。对该正合序列施加 $\text{Hom}_R(-, \omega_R)$，

## 反例

本节提供一个扩展反例，表明问题 1 在一般情况下答案为否定，即使对于具有某些良好性质的数值半群环也是如此。

**引理 5.1** 设 $R := k[[t^5, t^6, t^{13}, t^{14}]]$。则

$$R \cong k[[x, y, z, w]] / (y^3 - xz, yz - xw, x^4 - yw, z^2 - y^2w, x^3y^2 - zw, x^3z - w^2).$$

**证明** 设 $S := k[[x, y, z, w]]$，令 $J = (y^3 - xz, yz - xw, x^4 - yw, z^2 - y^2w, x^3y^2 - zw, x^3z - w^2)$，定义满同态 $p: S \to R$，其中 $x \mapsto t^5, y \mapsto t^6, z \mapsto t^{13}, w \mapsto t^{14}$。我们直接观察到 $J$ 的每个最小生成元都包含在 $\ker(p)$ 中，因此设 $T := S/J$，存在一个……

## 致谢

本文基于 National Science Foundation Grant No. DMS-1928930 以及 Alfred P. Sloan Foundation Grant G-2021-16778 资助的工作完成，第一作者于 2024 年春季学期在加利福尼亚州伯克利的 Simons Laufer Mathematical Sciences Institute（前身为 MSRI）驻留期间完成。第二作者部分由 Project No. 51006801 - American Mathematical Society-Simons Travel Grant 资助。感谢 Souvik Dey 指出了 [24]。

Justin Lyle | Sarasij Maitra