任意环上的幂零矩阵之和

《Linear Algebra and its Applications》：Sums of nilpotent matrices over arbitrary rings

　　

摘要

设 $R$ 为任意环，$n \geq 2$，$k$ 为两个自然数。记 $M_n(R)$ 为 $R$ 上所有 $n \times n$ 矩阵构成的环。本文研究了矩阵在 $M_n(R)$ 中能被表示为幂零矩阵之和的若干条件。更精确地说，我们证明了：若矩阵 $A \in M_n(R)$ 的迹是 $R$ 中 $k$ 个幂零元素之和，则 $A$ 是 $M_n(R)$ 中 $1 + \max\{2, \lceil\frac{k-1}{n}\rceil\}$ 个幂零矩阵之和。此外，我们还证明了：若 $A$ 的迹是 $R$ 中 $k$ 个加法换位子之和，则 $A$ 是 $M_n(R)$ 中 $3 + \lceil\frac{k}{n-1}\rceil$ 个幂零矩阵之和。

**引言与结果概述**

在环论中，特别是在矩阵环中，确定环中的一个元素何时能被表示为具有特定特殊性质的元素之和，有着悠久的历史，并且多年来一直在活跃研究中。例如，单位元的和（参见，例如，[7]、[10]、[18]、[19]、[24]），幂等元的和（参见，例如，[9]、[11]、[16]），幂等元与单位元之和（参见，例如，[25]），幂等元与幂零元之和（参见，例如，[12]、[21]、[22]），对合元或三合元的和（参见，例如，

**主要结果的证明**

为了证明主要结果，我们需要使用以下引理。线性代数中的一个经典结果表明，每个严格三角矩阵（即对角线元素为零的三角矩阵）都是幂零的。容易看出，这一结果可以推广到对角线元素为幂零的三角矩阵。因此，我们将第一个引理的证明留给读者。

**引理 2.1** 若 $A$ 是 $M_n(R)$ 中的一个三角矩阵，且其对角线元素在 $R$ 中均为幂零的，则 $A$ 是

**补充注记**

在本节中，我们关注矩阵是两个幂零矩阵之和的若干刻画。关于域上矩阵的结果已在 [17, 定理 1.1] 和 [3, 命题 3] 中给出。我们接下来的目标是将这一结果推广到整闭整域上的矩阵。

**定理 3.1** 设 $R$ 是分数域为 $K$ 的整闭整域，$A$ 是 $M_n(R)$ 中的一个非纯量矩阵。则以下陈述等价：

1) $A$ 的迹为零；
2) $A$ 相似于一个具有零……

Nguyen Anh Sy | Le Quang Truong