具有局域与非局域传播的有向网络中，非厄米谱效应对流行病模式形成的影响

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Non-Hermitian spectral effects on epidemic pattern formation in directed networks with local and nonlocal transmission

　　

**摘要**

现实人群中的疾病传播受到不对称流动、环境暴露以及社区间长程接触的影响，这些机制无法被无向网络或纯局部网络上的经典SIR模型完全捕获。为了解决这一局限，我们提出了一种在有向网络上运行的简化SIR型模型，该模型将局部间接感染与两个非线性非局部传播通道相结合。该框架使我们能够考察网络方向性和非局部感染如何共同影响反复爆发的疫情和空间异质性的流行病学模式。通过沿有向反应拉普拉斯算子的本征模分解扰动，我们推导了基于复网络谱的Hopf分岔和图灵型网络不稳定性的显式判据。我们进一步利用中心流形和正规形理论确定了Hopf诱导的周期解的方向和稳定性。在有向小世界网络上的理论结果和模拟表明，非厄米特谱性质、重连概率和非局部传播平衡共同调节不稳定阈值、模态选择以及稳定地方性状态、反复振荡和空间非均匀模式之间的转变。这些发现揭示了有向网络中疫情模式形成背后的谱机制，并为反复爆发和异质性流行病学分布的出现提供了洞察。

**引言**

易感-感染-康复（SIR）模型最初由Kermack和McKendrick提出，是描述流行病传播最基本的数学框架之一[1]。通过将人群划分为易感者、感染者和康复者三类，经典SIR模型捕获了感染、康复和阈值驱动爆发的基本过程。由于其清晰的生物学解释和可解析性，SIR型模型已被广泛应用于流行病学预测、疫情评估和公共卫生决策。例如，状态空间SIR模型已被应用于监测不确定性下的季节性流感预测，修改的SIR型模型已被开发用于描述COVID-19在异质社区中的传播[2]、[3]。为了提高真实性，近期研究纳入了时间依赖的传播和康复率、未检测到的感染者、随机网络结构、分数阶动力学、离散时间公式和时间尺度方法[4]、[5]、[6]、[7]、[8]。近期延迟SIR/SIRD研究进一步强调了时间效应在长期流行病学动力学中的作用[9]。这些进展表明，疾病传播不仅由局部感染和康复决定，还受到时间变化、外部干预、记忆效应和非线性反馈的影响。然而，在均质或纯局部人群上的经典SIR模型仍然不足以描述现实流动网络中观察到的反复爆发和异质性感染模式。

现实流行病过程受到空间异质性、人口流动和网络组织的相互作用的强烈影响。输入病例、迁移和人类活动可以显著改变疫情峰值的时间、高度和持续时间，而空气传播和环境介导的疾病在忽略空间异质性暴露时揭示了经典房室模型的局限性[10]、[11]。从网络科学和统计物理的角度来看，个体、社区或城市可以被视为相互作用的单元，疾病传播可以解释为复杂网络上的集体动力学过程。独立级联和SIR模型之间的比较表明，康复机制和相关的外传路径可以显著改变传播结果，而基于超图的Hyper-SIR模型表明，高阶相互作用可能产生与仅由成对接触产生的传播行为不同的行为[12]、[13]。反应-扩散和多组流行病学模型进一步表明，空间异质性和非局部运动可能导致行波、振荡和非均匀的流行病学传播[14]、[15]。时空SI模型进一步证实，显式的时空结构可以丰富流行病学动力学[16]。这些研究激发了同时纳入非线性局部反应、网络耦合和非局部传播的流行病学模型。

时空模式形成为理解异质性流行病学分布提供了自然框架。自从Turing的开创性工作以来，扩散驱动的不稳定性已成为解释空间均匀平衡如何失去稳定性并演化为有序空间结构的经典机制[17]。反应-扩散理论已被应用于化学、生物和生态系统，其中非线性反应和空间输运可以产生条纹、斑点、波和其他自组织模式[18]、[19]。在生物组织中，图灵型机制可能从分子预模式到细胞分化和组织级血管结构组织多尺度模式[20]。在流行病学系统中，时间延迟、扩散和趋化作用可以诱导图灵不稳定性、Hopf分岔和图灵-Hopf相互作用，产生空间非均匀的感染模式和反复爆发[21]、[22]。随机扰动同样可以扩大不稳定区域并改变SIR型系统中的模式选择[23]。网络组织的流行病学模型进一步表明，拓扑、延迟和感染率可以调节不稳定阈值和模式选择，而对SIR反应-扩散系统的稀疏最优控制表明，流行病学模式可以被视为可控的时空结构[24]、[25]。类似机制也已在各向异性趋化模型、捕食者-猎物系统和延迟网络组织系统中识别出来，证实了不稳定性驱动的模式形成在非线性复杂系统中的广泛相关性[26]、[27]、[28]。

随着网络科学的发展，复杂网络上的反应-扩散系统引起了越来越多的关注。在这样的系统中，节点可能代表个体、社区、城市或空间斑块，而边描述接触、迁移或交通路径。与连续介质不同，连续介质中扰动通常被分解为傅里叶模态，网络系统则通过分析图拉普拉斯算子的本征值和本征向量来进行分析。Nakao和Mikhailov表明，大随机网络上的图灵不稳定性可以自发地将节点区分为富活化剂和贫活化剂组，具有经典连续介质中不存在的多稳态和滞后效应[29]。后续研究表明，拓扑本身可以调节或重塑图灵模式，而模型无关的分岔分析进一步表明，细胞间通讯网络可能在动力学方程最小假设下确定涌现模式[30]、[31]。多层网络可以产生单一层网络中不存在的拓扑驱动不稳定性，而时间网络可能产生瞬态图灵或Benjamin-Feir不稳定性以及不同时空状态之间的转变[32]、[33]。高阶时间网络进一步表明，多体相互作用和演化的拓扑可以改变图灵条件[34]。相关的小世界神经元模型也表明，重连和噪声可以重组集体时空模式[35]。对于流行病学系统，网络上的延迟分数阶传播模型表明，延迟、平均度、扩散率和分数阶联合调节时空模式形成[36]。近期的流行病学网络研究同样表明，高阶拓扑、方向性平流和延迟可以重塑模式动力学[37]、[38]。因此，网络拓扑不仅仅是疾病传播的被动基底，而是控制不稳定阈值、模态选择和最终模式形态的活跃因素。

除了经典自扩散外，交叉扩散和非局部相互作用为产生和调节流行病学模式提供了额外机制。在流行病学模型中，交叉扩散可以描述行为反应，如易感个体远离感染者移动。Duan等人研究了复杂网络上的交叉扩散SI流行病学模型，表明网络拓扑和初始感染分布对图灵模式和疾病传播都有强烈影响[39]。交叉扩散驱动的不稳定性也在生态系统中进行了研究，其中反馈机制可能产生间隙、条带和斑点模式[40]。在许多流行病学背景下，相互作用本质上是非局部的：长程流动、间接暴露、输入病例和环境传播都可以在最近邻接触之外产生感染压力。Cencetti等人提出了一个框架，在该框架中网络上的局部和非局部反应通过非常规反应拉普拉斯算子诱导对称性破缺不稳定性，证明了模式形成可以超越经典的局部激活-侧向抑制范式出现[41]。非局部竞争和非局部捕食者-猎物相互作用进一步表明，核函数和边界条件可能显著移动图灵和空间Hopf阈值[42]、[43]。这些结果表明，广义扩散和非局部反应可以以纯局部模型无法捕获的方式重塑不稳定机制和模式选择。

大多数关于网络诱导模式的早期研究集中于无向网络，其中邻接矩阵是对称的，拉普拉斯谱是实数。然而，现实流行病传播通常是方向性的。人类流动、交通流、输入感染、检疫措施和不对称接触限制自然地产生有向路径。在有向网络中，拉普拉斯矩阵通常是不对称的，其本征值可能是复数。Asllani等人表明，拉普拉斯谱的实部和虚部共同影响色散关系，产生无向网络中不存在的拓扑驱动不稳定性、行波和准稳态模式[44]。更广泛地说，非互易相互作用可以产生守恒场的模式形成，表明不对称耦合可能从根本上改变不稳定机制[45]。关于符号脑网络和神经元间网络的相关研究也表明，正-负连接、抑制性耦合和突触延迟可以塑造网络级模式组织和转变[46]、[47]。Ritchie通过考虑非可对角化拉普拉斯算子、非局部反应动力学和时间网络扩展了有向网络上的模式形成理论[48]。在流行病学建模中，带有时间延迟的有向Erd?s-Rényi网络已被证明可以诱导图灵模式和Hopf分岔，揭示了不对称传播和检疫相关方向性在反复爆发中的作用[49]。这些工作表明，方向性和非互易性不仅仅是结构属性，而是能够移动稳定性边界和激活新不稳定模态的动力学机制。

从非线性动力学的角度来看，线性稳定性分析识别不稳定性的开始，但不能确定分岔周期解的方向、稳定性或非线性演化。因此，中心流形约化和正规形理论对于分析Hopf分岔及其产生的振荡动力学是必不可少的[50]、[51]。非局部延迟反应-扩散方程双Hopf分岔的正规形已经建立，用于表征二维域上的周期和准周期驻波[52]。同样的中心流形/正规形框架也已被用于表征非线性生物网络中延迟诱导的Hopf振荡[53]。对于网络组织的反应-扩散系统，Hopf分岔分析特别重要，因为它为空间非均匀周期振荡提供了数学机制。Gou等人为无向连通网络上的通用网络组织反应-扩散系统开发了严格的Hopf分岔框架，并表明拓扑可以显著影响空间非均匀周期解的出现[54]。对于有向网络，Cui等人通过明确纳入有向拉普拉斯算子的复本征值和本征向量推导了Hopf正规形，从而为有向网络系统中的振荡模式提供了严格框架[55]。近期关于带有间接传播和准拉普拉斯扩散的网络SIR模型的研究进一步表明，间接传播和扩散不对称可以重塑流行病学阈值并激活异质性感染模式[56]。近期的多层和高阶传播研究表明，耦合的流行病、行为和信息过程可以移动阈值和集体模式[57]、[58]、[59]、[60]。这些结果促使人们补充关注有向非局部传播及其非厄米特谱机制。

尽管上述研究大大推进了对疾病传播、网络诱导不稳定性和模式形成的理解，但有向流行病学系统仍有几个问题尚未解决。首先，许多网络SIR模型仍然在无向或对称耦合网络上建立，而现实流动、交通和输入感染路径通常是不对称的。其次，局部环境暴露和非局部直接接触通常被分开建模，尽管它们可能在现实流行病学过程中共存并相互作用。第三，对于有向网络，反应拉普拉斯算子通常是非厄米特的且具有复本征值；因此，谱的实部和虚部都可能影响不稳定阈值和模态选择。最后，仅靠线性稳定性分析无法表征Hopf诱导的周期爆发及其空间分布的方向和稳定性。这些局限性提出了一个核心问题：有向网络结构和非局部传播如何共同确定从稳定地方性状态到反复振荡和空间异质性流行病学模式的转变？

为了解决这个问题，我们开发了一个在有向网络上运行的简化SIR型模型，该模型纳入了局部间接感染和两个非线性非局部直接传播通道。所提出的框架将流行病学机制与有向网络的非厄米特谱结构联系起来。通过将扰动投影到有向反应拉普拉斯算子的本征模上，我们推导了基于复拉普拉斯谱的Hopf分岔和图灵型网络不稳定性的模态依赖判据。我们进一步执行中心流形和正规形分析以确定Hopf诱导的周期解的方向和稳定性。然后使用有向小世界网络上的数值模拟来验证理论预测并考察重连概率和非局部传播平衡如何调节不稳定阈值、不稳定模态选择和时空流行病学模式。与主要集中于无向网络、纯局部传播或线性不稳定判据的现有研究相比，本工作突出了网络方向性和非局部传播共同产生反复爆发和异质性流行病学分布的谱机制。

从统计物理学视角出发，本文提出的模型描述了有向复杂网络上的一种非平衡集体传播过程，其中局部流行病反应与不对称的非局域传播路径持续相互作用。由此产生的稳定性不仅由局部动力学参数决定，还由反应型拉普拉斯算子的非厄米谱模态所组织。当临界谱模态在复平面上达到其对应的稳定性边界时，Hopf分岔和图灵型网络不稳定性便被触发。因此，非厄米谱与依赖于参数的不稳定性边界之间的相对位置关系，为阈值偏移、模态选择以及周期性或空间异质流行病状态的涌现提供了谱学机制。本文其余部分组织如下。第2节介绍了包含局域和非局域传播机制的有向网络SIR型模型，并进行了地方病平衡点的存在性与稳定性分析，以及Hopf分岔和图灵型网络不稳定性条件的推导。第3节致力于Hopf分岔的中心流形约化和正规形计算。第4节在有向小世界网络上进行数值模拟以验证理论结果。最后，第5节给出结论和可能的未来研究方向。

各章节摘要

具有间接和非局域感染的广义网络组织简化SIR型系统

受上述讨论启发，我们构建了一个具有间接感染和非局域非线性相互作用的广义网络组织SIR模型。与经典反应-扩散传染病模型不同，后者通常通过个体的物理扩散引入空间效应，本模型从局部和非局域反应的角度进行构建。更确切地说，易感人群和感染人群附着在有向网络的节点上，而

网络组织系统中的正规形分析

为了确定从临界参数值β=β*处涌现的周期解的稳定性和分岔方向，我们将均匀平衡点E*平移到原点，并将系统(2)改写为以下形式：dH/dt = J(β*)H + G(H)。由于长程相互作用中非线性项的影响不可忽略，我们在此将近似f, g为f? = f - ηΛS I2和? = g + ηΛS I2。其中H = [H?...H?]?，H? = (S?, I?)，G(H) = E??[1/2 G?? + 1/6 G??; 1/2 G?? + 1/6 G??]。其中G?? = f?_S S(u,v)S2 + 2f?_SI(u,v)SI + f?_I I(u,v)I2，G??

数值结果与讨论

在Hopf分岔和图灵型网络不稳定性的解析条件已经建立的基础上，我们通过在有向小世界网络上进行的数值模拟来验证这些理论预测。这些模拟进一步阐述了所推导的不稳定性判据中固有的生物学和流行病学含义。为了佐证理论发现并揭示潜在的生物学机制，进行了数值模拟

结论

在本文中，我们研究了有向网络结构和非局域传播机制如何影响流行病的不稳定性和模式形成。通过在局域间接感染和两个非线性非局域直接传播通道的基础上，我们在有向网络上提出了一个简化的SIR型模型。由于由此产生的反应型拉普拉斯算子通常是非厄米的，地方病平衡点的稳定性由复数拉普拉斯本征值决定。基于这种谱结构，我们

CRediT作者贡献声明

顾文杰：撰写-初稿、形式分析、概念构思。郑千千：撰写-初稿、指导、形式分析、概念构思。沈健伟：撰写-审阅与编辑、指导、经费获取。

利益冲突声明

作者声明他们不存在任何已知的可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

致谢

本工作得到国家自然科学基金（12272135,11971416）、河南省自然科学基金（242300420661）、河南省高校青年骨干教师培养计划（2023GGJS144）以及河南省优秀留才项目（2023）的资助。

顾文杰 | 郑千千 | 沈健伟
华北水利水电大学数学与统计学院，郑州 450046，中国