互不耦合的振荡器群体之间的共噪声诱发的群体水平同步

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Common noise-induced group-level synchronization between uncoupled groups of oscillators

　　

摘要

我们研究了在没有组间耦合的情况下，由共同噪声诱导的振荡器组之间的组级同步。每个组接收其所有振荡器共享的共同噪声，以及输入到各个振荡器的独立局部噪声。相同的共同噪声应用于所有组。该系统的研究涵盖相同与非相同振荡器，以及有无组内耦合的情况。在非相同情况下，两组振荡器的自然频率取自同一分布，使它们在统计上等价。通过该系统的数值模拟，我们发现每组内的同步程度——由复数Kuramoto序参量的绝对值衡量——通常表现出显著的时间涨落。重要的是，当各组由相同的共同噪声驱动时，代表各组集体振荡的复数序参量实现同步。通过推导相位密度演化映射，我们在没有组内耦合的情况下，从解析角度解释了这种组级同步是如何实现的。

引言

振荡同步代表了复杂系统中的一种基本组织原则，涵盖从神经回路到化学反应和物理系统 [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]。虽然大量研究集中于通过振荡器之间的直接耦合产生的同步现象，但也有研究表明，即使无耦合的相同振荡器在受到共同噪声输入时，无论其初始条件如何，都能实现完全同步 [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15]。正如文献 [12], [16], [17] 所指出的，这种相同振荡器的噪声诱导同步与神经元可靠性现象之间存在对应关系：当相同的波动性输入被重复施加时，单个神经元会产生相同的放电序列，尽管其初始状态不同 [18]。虽然仅共同噪声输入就能在无耦合相同振荡器系统中实现完全同步，但当振荡器在接收共同噪声输入之外还接收独立局部噪声输入时，它们表现出相关但非完全同步的振荡 [16], [19], [20]。在这种情况下，振荡器之间的相位差遵循一个在零处出现峰值的宽泛分布，表明相位差围绕零波动 [16], [19], [20]。文献 [21] 表明，在接收共同噪声的耦合非相同振荡器中，噪声降低了从不相干态到同步态转变所需的临界耦合强度。研究还表明，无耦合的非相同振荡器可以仅由共同噪声输入实现同步，且同步程度可通过增加噪声强度而增强 [22]。

在此，我们关注当振荡器同时接收局部噪声和共同噪声时的振荡器组的集体动力学，而非个体层面的动力学。更具体地说，我们分析了当各组受到相同共同噪声输入影响时，尽管各组之间没有直接耦合，组级行为如何在不同组之间实现同步。这种组级视角对于理解复杂的生物和物理系统特别相关，在这些系统中，组级动力学是决定系统行为的关键，或者比个体层面的动力学更容易观测。此外，不同组受到相同外部波动影响的情况在自然系统中频繁出现。一种被称为Moran效应的现象已被观测到：分布于空间上分离栖息地的生态种群在受到共同气候影响时表现出同步波动 [23], [24], [25]。在均质混合假设不成立的区域，系统更适合通过将区域划分为多个均质混合子区域来表示，每个子区域由单个振荡器描述。这类空间上分离的区域可以被视为在局部环境变化和所有区域共享的更广泛气候影响下的一组组无耦合振荡器。这种在共享外部波动下多个振荡器组的生态构型与我们在本文分析的框架非常吻合。不同脑区中的神经种群在响应相同的感官输入时可能会同步其集体活动。类似地，当不同观察者观看相同的时间变化感官输入（如电影）时，他们的大脑波（对应集体神经活动）表现出受试者间同步 [26], [27], [28]。这些自然系统是共同的示例，表明即使没有直接耦合，共同的外部输入也能协调组级行为，这正是我们在本工作中探索的现象。

在文献 [29], [30] 中，作者研究了脉冲耦合的非相同相位振荡器网络。他们证明了当相同的波动性输入被重复施加时，无论网络的初始条件如何，汇集响应（即一个神经元亚群落的总输出）都能被可靠地重现。这种可靠性甚至在个体振荡器本身不表现出可靠响应时也存在。他们还观察到，输入到个体振荡器的独立局部噪声对可靠性没有显著影响。这种汇集响应可靠性与我们关注的组级行为直接相关。事实上，它在概念上可以转化为我们所说的无耦合相同振荡器组在接收共同输入时的组级同步，正如个体层面的可靠性对应于单个振荡器之间的噪声诱导同步。虽然脉冲耦合有效地建模了离散的神经元相互作用，但连续耦合已被广泛用于建模各种动力学系统 [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]。在本研究中，通过考察具有连续耦合的系统，我们补充了现有的脉冲耦合研究，同时探讨了局部噪声和共同噪声如何影响集体行为，特别是各组共享共同噪声如何诱导组级同步。具体来说，先前工作 [31] 考虑了两个孤立的耦合相同振荡器种群，每个种群接收局部噪声并表现出相干的集体振荡。他们表明，向两个种群引入共同噪声可以同步这两个种群之间的集体振荡。我们将此框架扩展至有或无组内耦合的（非）相同振荡器情况，其中相干的集体振荡可能事先存在也可能不存在。我们注意到，文献 [31] 中的组级同步可以理解为无耦合极限环振荡器的噪声诱导同步，其中每个组作为一个极限环振荡器。相比之下，我们的案例包括各组无法被描述为单个振荡器的情况，因此超出了极限环振荡器噪声诱导同步的框架，需要不同的方法。

在本文中，我们研究了在无组间耦合的情况下，由独立局部噪声和共享共同噪声驱动的振荡器组之间的组级同步。我们研究了相同与非相同振荡器，以及有与无组内耦合的情况。通过数值模拟，我们证明单个组内的同步程度表现出显著的时间涨落，并且当各组共享相同共同噪声时发生组级同步。利用相位密度演化映射，我们对没有组内耦合情况下的组级同步提供了解析解释。

模型

我们考虑两个极限环振荡器组，它们接收加性噪声，其中每组内的振荡器可以是无耦合的或全互连等权耦合的，但两组之间保持无耦合。由于共享的共同噪声输入，输入到振荡器的噪声部分相关。这使我们能够研究振荡器异质性和组内耦合如何影响对共同外部波动性输入的集体响应。在弱噪声假设下……

数值方法

我们使用Euler–Maruyama方法对式（1b）进行数值模拟，这是一种适用于以It?意义求解随机微分方程的数值方法 [37]。对于模拟，我们设置ω?=2π、N=1000以及时间步长δt=0.01。ω?的具体选择不改变结果的定性特征。

我们对感兴趣量在时间区间[t=T?, t=T?]内的时间平均值进行计算，排除初始暂态行为。对于大多数无组内耦合的情况，我们设置T?=1000和T?=4000。

分析

在本节中，我们通过Euler–Maruyama方法对模型进行离散化，推导相位分布演化的离散时间映射。通过数值演化各组相位分布再次展示了组级同步，这与模拟结果吻合良好。在无耦合振荡器情况下，我们使用相位分布演化映射从解析角度解释了组级同步是如何实现的。

式（1）的离散化

总结与结论

总之，我们研究了在无组间耦合的情况下，共享相同共同噪声的振荡器组之间的噪声诱导组级同步。每组接收相同的共同噪声以及输入到各个振荡器的独立局部噪声。我们对相同与非相同振荡器，以及有与无组内耦合的情况进行了数值研究。尽管四种情况在组内动力学特征方面有所不同，我们发现了……

生成式AI及AI辅助技术在写作过程中的声明

在本工作准备期间，作者使用了Claude.ai Sonnet以提升语言质量与可读性。使用该工具/服务后，作者根据需要审阅并编辑了内容，并对出版物的内容承担全部责任。

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的可能影响本文报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

致谢

本工作得到了韩国政府资助的国家数学科学研究所（NIMS）拨款支持（编号：NIMS-B25910000）。

Tae-Wook Ko
国家数学科学研究所，大田，34047，大韩民国