行星边界层中的异常输运：一个三维时间分数阶平流-扩散模型

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Anomalous transport in the planetary boundary layer: A three-dimensional time-fractional advection–diffusion model

　　

**摘要**

经典扩散模型不足以描述亚扩散过程，在亚扩散过程中，粒子表现出非高斯位移和因依赖记忆的异常输运过程而导致的长期受限。分数阶微分方程通过将记忆效应和超越经典扩散范围的局部时间行为纳入其中，为描述异常输运提供了一个广义框架。这些方程自然地产生于连续时间随机游走（CTRW）理论，为分数阶输运动力学提供了随机性基础。本研究发展了一个三维输运框架，其中纳入了Caputo型时间分数阶对流-扩散方程。该问题在有限矩形区域上进行研究，具有恒定输运系数和给定的Dirichlet边界条件。本文开发了闭式解和计算解，其中通过Mittag-Leffler函数构建解析表示，以考虑分数阶动力学引入的局部时间依赖性。此外，采用Grünwald–Letnikov近似建立了有限差分格式，用于数值处理分数阶时间导数，并检验了其相容性、稳定性和收敛性。对于所考虑的基准构型，数值实验表明，在0.5≤α≤0.8的情况下，与经典阶次情况（α=1.0）相比，偏差更小，绝对误差减少幅度约为42%至89%（在500 m以下尤为显著）。分数阶情况还显示，相对于经典公式，模拟污染物持久性增加了30%–50%。虽然本研究在理想化条件下建立了严格的基准，但所提出的框架为未来扩展奠定了基础，包括引入高度依赖的湍流、可变风场和地表交换过程。

**引言**

准确模拟大气污染物扩散对于评估空气质量、保护公众健康、支持环境政策制定以及加深对气候过程的理解至关重要[1], [2], [3]。然而，传统建模方法往往无法准确表征大气污染物输运的复杂动力学，特别是在存在异质性和由先前排放引起的持续记忆效应时[4], [5], [6], [7]。这些局限性促使了能够描述现实输运现象的高级数学框架的发展[8], [9]。在此背景下，分数阶微积分通过允许导数阶次取非整数值来推广传统微分运算。这一广义框架特别适用于描述经典对流-扩散方程（ADEs）无法充分捕获的异常输运现象[10], [11], [12]。分数阶导数的使用得到了连续时间随机游走（CTRW）框架的支持，该框架以概率方式解释了异常亚扩散。通过自然纳入时间记忆和空间异质性，分数阶模型克服了传统整数阶公式关联的诸多局限性[13], [14]。特别地，Caputo和Grünwald–Letnikov定义有效地描述了以延迟动力学和记忆效应为特征的亚扩散输运[11], [15], [16]。将分数阶对流-扩散模型扩展到三个空间维度，能够通过考虑浓度随时间的垂直和水平变化，实现对污染物输运更真实的表征[17], [18]。因此，三维时间分数阶对流-扩散方程（3D-TFADE）为模拟大气污染物输运提供了稳健的数学框架，并支持环境监测、城市规划和公共卫生管理等方面的应用[19]。然而，必须强调，本研究采用恒定系数和齐次Dirichlet边界条件，以建立严格的解析基准用于数值验证。本文所呈现的大气解释仅为该方法潜力的示例，而非真实边界层物理过程的确定性模拟[20]。

在上述进展的基础上，近期研究致力于提高三维分数阶输运模型的物理真实性和理论基础[21], [22]。经典对流-扩散方程假设高斯羽流行为和非扩散扩散，这使得它们不适合描述异质环境中观察到的许多大气输运过程[1], [23]。三维时间分数阶对流-扩散模型（3D-TFADEs）纳入了时间记忆和局部输运机制，从而实现了对异常污染物扩散更真实的描述[15], [24]。此类模型通过缩放关系t^α来描述亚扩散输运，其中0<α<1，而在适当的物理条件下，较大的α值可能表征超扩散行为[24], [25], [26]。这些分数阶模型的理论基础根植于连续时间随机游走（ctrw）框架，该框架最初由montroll和weiss[27]提出，已被广泛用于描述裂隙岩石、多孔土壤、地下水系统和湍流大气流动中的非非扩散输运[10], [28], [29]。后来，berkowitz等人[25]将ctrw理论与分数阶微分算子联系起来，为异常输运提供了严格的物理解释。这一理论框架通过podlubny[30]以及metzler和klafter[24]的开创性贡献得到了进一步加强，他们证明了分数阶微积分为记忆驱动的非非扩散扩散过程提供了数学上严格且物理上合理的描述，从而相比经典扩散模型具有显著优势[12], [13]。 zhang等人[31]和odibat[32]建立了分数阶模型捕捉气态污染物滞留动力学的能力，而liu等人[33]则在真实的大气扩散情景中提供了野外尺度验证。caputo导数因其与物理初始条件的契合以及捕捉记忆驱动行为的能力而在环境建模中特别受到青睐[13], [34]。总体而言，这些研究证实了分数阶微积分能够有效再现环境系统固有的时空相关性，包括复杂地形上的扩散[17]。分数阶对流-扩散方程（fades）已成为污染物输运建模的标准工具，meerschaert等人[26]和deng等人[35]的研究一致表明，在表征异质地下和地表介质中的输运方面，分数阶模型相比经典整数阶模型具有更高的准确性[18]。近期的计算进展——包括小波基求解器[36]、分数阶对流-弥散和异常输运的运算矩阵方法[37]、grünwald–letnikov格式[34]以及有限元方法[38]——提高了分数阶输运模型在复杂边界条件和地形驱动湍流下的计算可行性，这在加德满都等地区的大气输运中尤为重要[39], [40]。总体而言，这些发展表明分数阶微积分为环境建模提供了有前景的框架，在扩展至包含物理上合理的系数和边界条件时，有望解决经典ades的某些局限性。 现有研究主要集中在一维和二维分数阶对流-扩散模型上。pariyar等人[15]建立了一维时间分数阶框架用于nh3、co和co2等气态污染物的扩散，我们随后的研究将此方法扩展到了二维[41]。然而，此前尚未建立包含显式解析解、彻底数值验证以及系统性近似误差量化的综合三维公式。本研究通过构建基于概率连续时间随机游走（ctrw）理论的三维时间分数阶对流-扩散模型来解决这一缺陷，以表征由时间记忆效应控制的异常亚扩散输运。闭式表示通过模态分解与fourier投影和mittag-leffler时间核相结合推导得出，随后采用grünwald–letnikov分数阶导数近似的有限差分离散化进行验证。选择grünwald–letnikov公式而非l1型离散化，原因在于其通过分数阶二项式系数对caputo分数阶导数的高效直接表示，以及其已证明的相容性和稳定性特征，这些特征易于推广到三维对流-扩散问题。该解析解作为参考标准，用于评估所提出数值方法的收敛行为和计算精度。在一系列分数阶次和垂直位置范围内系统研究该模型，以评估其稳定性和表征异常扩散现象的能力。尽管当前调查采用恒定扩散率和齐次dirichlet边界条件以便于构建解析基准并严格验证计算框架，但物理上合理的大气边界层机制——包括高度变化的湍流扩散率、风切变、地表交换过程和污染物沉积——代表了提高物理保真度的自然扩展。因此，所提出的框架通过引入高度依赖的涡旋扩散率进行了扩展，作为改进物理表征的初步步骤，并通过敏感性研究评估了计算域大小和边界条件设定的影响，从而进一步评估其鲁棒性。这一扩展保留了输运、扩散和时间记忆的基本机制，同时为后续研究更为物理完整的大气边界层现象提供了严格的方法论基础。 论文结构如下：第2节介绍分数阶微积分；第3节呈现控制模型和ctrw框架；第4-5节推导三维解析解；第6节考察数值性质；第7节比较解析和数值结果；第8节讨论框架并总结主要发现。 **预备知识** 定义1 [42] 对于α>0，Riemann–Liouville分数阶积分扩展了标准积分，定义为：

J^α f(t) = (1/Γ(α)) ∫?? (t-τ)^(α-1) f(τ) dτ

其中Γ(α)是Gamma函数，作为分数阶导数的基础。

定义2 [32] 函数f(t)的Riemann–Liouville分数阶导数，对于分数阶α>0，定义为：

D^α f(t) = (d^m/dt^m) (1/Γ(m-α) ∫?? f(τ)/(t-τ)^(α+1-m) dτ)

其中m=?α?表示不小于α的最小整数。当α=m∈?时，简化为经典m阶导数 D^α f(t) = (d^m/dt^m) f。

**连续时间随机游走框架**

连续时间随机游走（CTRW）框架为描述污染物输运和扩散提供了数学基础。它将粒子轨迹表示为随机位移序列，由随机等待时间分隔。步长ξ的概率由概率密度函数（PDF）λ(ξ)表达，而下一步之前等待期τ的概率由另一个PDF ψ(τ)描述。PDF决定的输运状态。在CTRW表述中，λ(ξ)…

**三维FADE解析解的推导与分析**

在矩形域Ω=[0,L?]×[0,L?]×[0,L_z]内，考虑三维时间分数阶对流-扩散方程：

?^α C/?t^α = D(?2C/?x2 + ?2C/?y2 + ?2C/?z2) - u?(?C/?x) - u?(?C/?y) - u_z(?C/?z) - QC - λC

其中C(x,y,z,t)表示浓度场，C(x,y,z,0)=f(x,y,z)，在所有边界上施加齐次Dirichlet条件：C=0 on ?Ω。

物理解释与量纲一致性。其中C(x,y,z,t)表示污染物浓度，α∈(0,1]描述分数阶记忆…

**不同分数阶次下的污染物扩散**

图1显示了α=0.4时在z=500 m处的浓度分布。计算区域水平尺寸为(100 m×100 m)，垂直范围为(1500 m)。模型假设每个空间方向的对流速度相同，均为0.1 m/h，扩散系数D=10。初始浓度由三角函数源项剖面指定，与施加的边界条件兼容。Mittag-Leffler函数捕捉了依赖记忆的行为并描述了…

**数值模拟**

考虑定义在域Ω=[0,L?]×[0,L?]×[0,L_z]上的3D-TFAD方程：

?^α C(x?,y?,z?,t?)/?t^α = D(?2C/?x2 + ?2C/?y2 + ?2C/?z2) - u?(?C/?x) - u?(?C/?y) - u_z(?C/?z) + Q(x?,y?,z?,t?) - λC(x?,y?,z?,t?)

三维模型补充初始条件C(x,y,z,0)=f(x,y,z)，并在计算域的所有面上施加齐次Dirichlet边界条件。为获得控制方程的数值近似…

**敏感性分析参数**

通过系统性变化计算域大小和空间网格分辨率来进行敏感性分析，以评估所提出模型的数值鲁棒性，在整个模拟过程中始终施加齐次Dirichlet边界条件。采用高斯分布作为初始浓度场，分数阶次固定为α=0.8，扩散系数指定为D=0.05。目标在于评估数值…

**分数阶次污染物输运**

数值实验求解3D-FADE，以检查规定计算域内的浓度输运。计算区域在两个水平方向上各延伸100 m，垂直方向上延伸1500 m，采用均匀30×30×50网格。模型在24小时内进行积分，共100个时间步。初始给定一个光滑的三角函数剖面，与Dirichlet边界约束一致。分数阶时间导数通过Grünwald–Letnikov公式进行离散化，以…

**不同分数阶次下污染物输运的数值分析**

表1报告了α=0.5、0.8和1.0时，z?=200–600 m处C(x,y,z?)在(x,y)=(3.448,3.448)的绝对误差。结果表明，α=0.5的分数阶模型提供最小的误差，在所有高度上保持高精度。α=0.8时误差增加，α=1.0时误差显著增大，特别是在较高海拔处。这些观察结果突显了分数阶公式在提高数值精度和表征异常…方面的优势

**结论**

本研究发展了一个三维分数阶框架，用于表征考虑非局部记忆效应的污染物输运。通过特征函数分解推导了解析表示，其中所得时间模态以Mittag-Leffler函数表达，以考虑分数阶记忆。为纳入多方向输运，通过适当的指数变换重构了解析解。Grünwald–Letnikov…

**CRediT作者贡献声明**

Shankar Pariyar：撰写——审阅与编辑，撰写——原稿，可视化，验证，资源，方法论，调查，数据管理，概念化。Bishnu P. Lamichhane：撰写——审阅与编辑，可视化，验证，监督，方法论，形式分析。

Jeevan Kafle：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，监督，资源获取，形式化分析，概念化。利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文所报告工作的已知经济利益冲突或个人关系。致谢：Jeevan Kafle感谢尼泊尔加德满都特里布万大学研究与校务主任办公室，通过编号为TU-NPAR-081/82-MRG06的重大研究基金提供财务支持，资助项目名称为"狭窄动脉中血流的建模：分析、计算与应用"。Shankar Pariyar|Bishnu P. Lamichhane|Jeevan Kafle，特里布万大学Tri-Chandra多校区，尼泊尔加德满都。