非线性分数阶孤子神经元模型的解析与数值研究、基于解析-机器学习方法的数据驱动建模及混沌分析

《Science Progress》：Analytical and numerical investigations, data-driven modeling via an analytical–machine learning approach, and chaotic analysis of a nonlinear fractional soliton neuron model

　　

本研究探讨一类出现在流体力学、非线性动力学、数学物理、工程学、神经科学、等离子体物理及相关科学领域的非线性分数阶孤子神经元模型。在通过合适的行波变换将控制非线性偏微分方程（NLPDE）化为常微分方程（ODE）后，采用一种高效的映射法（mapping approach）。同时应用机器学习方法对所获解进行数据驱动分析。这两种所提方法给出多种精确解析解，包括lump波、局域breather波、周期波、反kink波、多重亮-暗breather波、奇异孤子、亮孤子与kink波。其传播特征通过Maple生成的二维、三维、等高线、极坐标及旋转曲面图予以展示。模型及所获解的稳定性性质亦被检验。此外，借助基于MATLAB的混沌诊断（包括分岔图、奇异吸引子、递归图、分形维数、相图、吸引域、返回映射、功率谱、时间序列与多稳态）探究非线性动力学。结果表明外部强迫的振幅与频率变化显著影晌系统动力学行为。

研究背景与立题依据

非线性偏微分方程（NLPDE）在金融建模、种群动力学、广义相对论、脑内神经信号传播及流体动力学等领域被广泛用于刻画非线性系统，其中孤子神经元模型为理解动作电位传输与神经网络策略提供重要数学基础。现有研究虽已采用?⁶模型展开法、指数函数法、Hirota双线性法、改进Kudryashov算法、(G′/G)-展开法等求解NLPDE并获亮、暗、breather、lump、周期与奇异孤子解，但针对分数阶孤子神经元模型在映射法框架下的系统解析求解、数据驱动建模及混沌-多稳态联合诊断仍不充分，且既往工作较少同时覆盖lump、局域breather、多重亮-暗breather等丰富波族并耦合机器学习验证。该研究由此在Jumarie修正Riemann-Liouville分数阶导数下，对分数阶孤子神经元模型开展解析-数值-数据驱动-混沌一体化分析，论文发表于《Science Progress》。

主要关键技术方法

研究人员采用三类核心技术：其一为行波约化，借助ξ = mx ± G t^β/Γ(β+1)将分数阶偏微分模型化为ODE；其二为映射法（mapping method），以第一类椭圆方程R′(ξ)=1/2 ?₁R⁴+?₂R²+?₃为核，取?(ξ)=δ₀+δ₁R作平衡截断，配合Jacobi椭圆函数表获多族解析解；其三为数据驱动建模，用机器学习对解析解做拟合校验。混沌部分以MATLAB构建受迫扰动（正弦/余弦/指数）下的分岔图、奇异吸引子、递归图、分形维数、相图、吸引域、返回映射、功率谱、时间序列与多稳态诊断；稳定性与灵敏度分析辅以Maple绘图。

研究结果

1. 2.
   控制方程推导
   在Jumarie修正Riemann-Liouville导数定义下，给出分数阶孤子神经元模型 D_t^2βμ(x,t) = ?/?x[(V²+Mμ+Nμ²)?μ/?x] ? F ?⁴μ/?x⁴，经行波变换得ODE (G²?m²V²)? ? 1/2 m²M?² ? 1/3 m²N?³ + F m⁴?″ = 0。研究人员由此确立后续解析求解的基准形式。
2. 3.
   映射法简述
   平衡数p=1，?(ξ)=δ₀+δ₁R，代入椭圆方程与ODE后由Maple解代数系统得参数 G、m、δ₀、δ₁ 表达式，依?₁,?₂,?₃取值切换Jacobi椭圆函数（sn、cn、dn、cs、ds等），极限σ→1退化为tanh/sech/cosech，σ→0退化为sin/cos/cot/cosec。
3. 4.
   研究图形概览
   研究人员用Maple绘制三维、二维、等高线、极坐标与旋转曲面图，展示lump、局域breather、周期、反kink、多重亮-暗breather、奇异孤子、亮孤子、kink波的空间-时间传播形态。
4. 5.
   模型与解的稳定性分析
   通过对ODE解代入原方程残差及参数敏感性考察，研究人员确认在选定参数窗内所获解析解具备结构稳定性，分数阶阶次β与系数M、N、F、V、G变化不改变波型拓扑但调节振幅与群速。
5. 6.
   混沌研究
   在ODE受正弦/余弦/exp外力扰动下，MATLAB诊断显示：随强迫振幅与频率扫描，系统由周期经倍周期进入混沌；分岔图呈现典型叉形与阵发路径，奇异吸引子具分形维数，递归图显示非平稳斑图，功率谱宽频化，多初始条件给出共存吸引子（多稳态）。
6. 7.
   多稳态分析
   固定参数改变初值，相空间并存周期轨与混沌吸引子，吸引域边界 fractal 化；返回映射与时间序列印证状态依赖记忆效应。
7. 8.
   灵敏度分析
   对β、M、N、F、V、G做微扰，研究人员发现β与F对波形衰减率最敏感，M/N比调控非线性硬化程度，外部强迫幅频为通向混沌的主控旋钮。

结论与意义

研究人员得出结论：映射法能从统一框架导出分数阶孤子神经元模型的lump、breather、亮/暗孤子、kink、反kink、周期与奇异解；机器学习数据驱动校验与解析解一致；稳定性分析支持解的物理可实现性；混沌诊断证实外部强迫幅频变化可诱导分岔与多稳态，模型兼具孤子传输与混沌计算双重潜质。该工作为神经膜中动作电位孤子传布、癫痫等异常放电的非线性机制及磁光波导/超材料中的孤子应用提供了跨解析-数据-混沌的综合工具链。