RK4与RK4-前馈神经网络混合方法求解二阶常微分方程初值问题的对比分析

《Scientific Reports》：Comparative analysis of the RK4 and hybrid RK4-feedforward neural network method for solving second-order ordinary differential equation initial value problems

　　

摘要

本研究提出了一种混合数值方法，将经典四阶龙格-库塔（RK4）方法与前馈神经网络（FNN）相结合，用于求解常微分方程的二阶初值问题。该前馈神经网络学习RK4解的数值误差，并提供由参数λ控制的加权修正。所提出的方法在七个基准问题上进行了测试，涵盖线性、非线性、刚性、振荡、欧拉-柯西、混沌和耦合系统。其性能从数值精度、收敛性、稳定性、统计可靠性和计算效率等方面进行了评估。结果表明，RK4-FNN方法通常能减少数值误差，尤其对于粗步长和复杂问题效果显著。减小步长可提高两种方法的精度，并降低神经网络修正的影响。统计分析表明，适度的修正值相比过度修正能提供更低的变异性和更可靠的结果。最优λ值通过平衡精度和统计稳定性的代价函数选定。尽管该混合方法需要额外的计算，但其内存开销仍然较低。