基于Bernoulli多项式与增强Block-Pulse函数耦合的线性Fredholm积分方程组高精度混合方法

《Mathematics》：A High-Accuracy Hybrid Method for Linear Fredholm Integral Systems Using Bernoulli Polynomials Coupled with Enhanced Block-Pulse Functions

　　

该研究提出一种用于逼近线性Fredholm积分方程组(LFISs)的新型混合数值格式，采用Bernoulli多项式(BPs)与增强Block-Pulse函数相耦合的表示方式，记作(????F(s))。该表示同时利用增强Block-Pulse函数的局部支撑特性与计算效率，以及BPs的高阶逼近能力。研究人员借助运算矩阵(operational matrices)，将耦合积分系统转化为关于展开系数的有限维代数系统(AS)。研究人员建立了理论分析，考察所得格式的可解性、收敛性、稳定性与逼近误差；并考察了多项式次数与区间剖分加密对数值精度的影响。研究人员选取若干测试问题进行计算，结果表明所提(????F(s))方法可在较小基函数维数下获得高精度的逼近结果；与已有数值方法比较，进一步说明该方法在计算效率与精度方面的优势。

研究背景方面，线性Fredholm积分方程组(LFISs)在应用数学与工程建模中具有重要作用，其数值求解常面临精度、计算规模与格式稳定性之间的平衡问题。传统单一基函数方法往往难以同时兼顾局部计算效率与全局高阶逼近能力，因此在较小基维数下获得高精度、并可进行严格误差与稳定性分析的方法仍有研究价值。研究人员开展该项研究，正是为了提高LFISs数值解的精度与计算效率，并为方法建立可解性、收敛性、稳定性与逼近误差方面的理论依据。相关论文发表在《Mathematics》。

主要关键技术方法上，研究人员构建Bernoulli多项式(BPs)与增强Block-Pulse函数耦合的基表示(????F(s))，利用增强Block-Pulse函数的局部支撑与计算效率，以及BPs的高阶逼近性质；通过运算矩阵(operational matrices)把耦合积分关系转化为有限维代数系统(AS)；再建立可解性、收敛性、稳定性与逼近误差理论，并考察多项式次数与剖分加密对精度的影响；最后用若干测试问题与已有数值技术比较。

研究结果部分，摘要所对应的内容可作为总体结果框架。Abstract部分说明，所提混合格式借助(????F(s))同时发挥局部支撑、计算效率与高阶逼近优势；研究人员通过运算矩阵将系统化为代数系统(AS)，理论分析显示格式在可解性、收敛性、稳定性与逼近误差方面具备保障。通过对多项式次数和分区细化的影响分析，研究人员发现基函数维数较小时仍可获得高精度。测试问题结果表明，该方法相比已有数值技术在精度与计算有效性上具有优势。

讨论与结论部分，研究人员指出，BPs与增强Block-Pulse函数的耦合能够弥补单一基函数表示的不足：增强Block-Pulse函数提供局部结构与快速计算，BPs提供高阶逼近能力，二者通过运算矩阵形成可实施的代数求解框架。理论分析确认了该格式的可解性、收敛性、稳定性与误差界，数值实验则验证了理论结论并展示方法在基维数较小条件下的高精度表现。其意义在于为LFISs提供了一套兼具理论严谨性与计算实用性的混合数值方案。

研究结论可概括为：所提出的BPs与增强Block-Pulse函数耦合方法，能够有效将线性Fredholm积分方程组转化为有限维代数系统(AS)；该方法在保持较小基函数维数的同时实现高精度逼近，并具有可分析的可解性、收敛性、稳定性与误差性质；多项式次数提升与剖分加密可改善数值精度；与已有方法相比，所提格式在精度与计算效率方面更具竞争力。