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在本文中，研究人员建立了次线性期望框架下负相依或独立同分布随机变量的大数定律和对数律的收敛速率。研究人员提出了一种新的子序列划分方法，以处理容度级数的收敛问题。该方法使研究人员能够在次线性期望背景下，在合适的矩条件下验证加权和序列的容度级数收敛。在上容度可数次
在本文中，研究人员建立了次线性期望框架下负相依或独立同分布随机变量的大数定律和对数律的收敛速率。研究人员提出了一种新的子序列划分方法，以处理容度级数的收敛问题。该方法使研究人员能够在次线性期望背景下，在合适的矩条件下验证加权和序列的容度级数收敛。在上容度可数次可加性的假设下，研究人员为上述问题推导了充分的Choquet矩条件和尾部条件，从而得到1/n和(log n)/n阶的收敛速率。研究结果推广了经典概率论中的相应结论。
极限定理是概率论与数理统计的核心理论框架，其本质在于揭示随机变量的长期渐近行为。近年来，在统计学、风险度量、金融数学等领域涌现出大量不确定性现象，经典概率论难以有效刻画这类现象，而非可加概率和非线性期望被证明适用于上述领域中的不确定性建模。Peng (2007) 提出了次线性期望（sub-linear expectation）的定义与理论框架，作为非线性期望的典型代表。在此框架下，已有研究将若干经典极限定理推广至次线性期望设定：Zhang (2016) 在Choquet矩条件下获得了强大数定律；Hu (2018) 在受控矩条件下研究了强大数定律；Hu等 (2024) 建立了次线性期望下延迟和的强大数定律；Zhang (2016) 证明了重对数律；Xu和Zhang (2020) 建立了行端扩展负相依随机变量阵列的对数律。然而，关于次线性期望下大数定律和对数律的收敛速率研究仍较少。经典概率论中，Baum和Katz (1965) 以及Davis (1968) 分别建立了大数定律和对数律的收敛速率，给出了阶1/n和(log log n)/n的结果。本文旨在将这些收敛速率推广到次线性期望框架，并确定相应的充分矩条件。
研究人员在本文中主要研究了负相依或独立同分布随机变量在次线性期望下的大数定律和对数律的收敛速率。他们提出了一种新颖的子序列划分方法，用于处理容度（capacity）级数的收敛问题。通过假设上容度具有可数次可加性，研究人员导出了充分的Choquet矩条件和尾部条件，从而获得阶1/n和(log n)/n的收敛速率，推广了经典概率论的相应结论。该论文发表在《Mathematics》。
在技术方法上，研究人员采用了次线性期望框架，并利用了负相依和独立随机变量满足的Rosenthal不等式、指数不等式以及Bernstein型不等式等工具。关键创新在于子序列划分方法：将加权部分和序列按指数增长的辅助序列进行划分，从而将容度级数的收敛问题分解为若干子序列的收敛性验证。该方法统一处理了远尾项和中间截断项，顺利完成了部分和截尾分析。此外，研究人员还使用了Choquet积分和矩条件，并假设上容度满足可数次可加性，以保证容度级数收敛的成立。本文不涉及具体的样本队列或实验数据。
研究结果部分如下：
**定理1**：设{X
n}为次线性期望空间中的负相依同分布随机变量序列，且上容量可数次可加。在适当的Choquet矩条件下，研究人员证明了加权和序列的容度级数收敛，从而得到大数定律的收敛速率为1/n阶。具体的证明通过截尾分解，结合子序列划分方法和Rosenthal不等式，验证了远尾和中间截断项的容度级数收敛。该结果对应的矩条件与经典概率论中Baum-Katz定理的条件一致。
**定理2**：设{X
n}为独立同分布随机变量序列，且上容量可数次可加。研究人员利用指数不等式和Bernstein型不等式，结合子序列划分方法，证明了对数律的收敛速率为(log n)/n阶。值得注意的是，该收敛速率比经典结果中的(log log n)/n阶更低，且所需的矩条件弱于经典的二阶矩存在条件。这表明在次线性期望框架下，以容度度量的收敛速率可以更快，而对矩的要求更宽松。
**定理3**：在相同的独立同分布设定下，研究人员进一步建立了对数律的1/n阶收敛速率。证明方法与定理2类似，但使用了不同的截断参数和辅助序列。该结果对应的矩条件与经典二阶矩条件一致，与定理2形成互补。
在讨论部分，研究人员指出，G-期望空间是次线性期望的典型实例。在G-期望空间中，由G-布朗运动增量构造的独立同分布G-正态随机变量序列，其诱导的上容量满足可数次可加性，且所有正阶Choquet矩有限，因此上述定理的全部条件均可满足，定理1-3的结论直接适用。此外，研究人员提到概率度量空间是描述收敛问题中固有随机性的另一种框架，并展望将本文的收敛速率结论推广到该设定是未来值得研究的方向。
研究结论表明，在次线性期望下，大数定律的1/n阶收敛速率所需的Choquet矩条件与经典概率论一致；对数律的(log n)/n阶收敛速率对应的矩条件弱于经典二阶矩条件，而1/n阶收敛速率对应的矩条件与经典二阶矩条件一致。这些结果从收敛速率的角度深化了对次线性期望框架下极限定理的认识，也为不确定环境下的统计推断和风险度量提供了理论支撑。
