具有Allee效应和Holling-IV功能反应的离散捕食-被捕食系统的稳定性与局部分支

《Mathematics》：Stability and Local Bifurcations of a Discrete Predator–Prey System with Allee Effect and Holling-IV Functional Response

　　

本文研究了一个包含Allee效应（Allee effect）和Holling-IV功能反应（Holling-IV functional response）的离散捕食-被捕食系统的局部动力学。经无量纲化后，通过半离散化方法（semi-discretization method）得到一个保持正性的离散模型。对非负不动点进行了分类，并建立了其局部稳定性。随后利用中心流形定理（center manifold theorem）和局部分支理论（local bifurcation theory），证明了边界不动点E₁和E₂处的两个跨临界分支（transcritical bifurcation），以及正临界不动点E_*处的鞍结分支（saddle-node bifurcation）。数值平衡分支图和相图说明了这些局部结果。E₃处可能的Neimark–Sacker分支（Neimark–Sacker bifurcation）和E₄处的flip分支超出本文研究范围。

该论文发表于《Mathematics》，研究了一类同时包含强Allee效应（strong Allee effect）与简化Holling-IV功能反应的离散捕食-被捕食系统的局部动力学。

研究背景方面，捕食-被捕食模型是研究物种共存、灭绝、稳定性、振荡和分支的基本框架。经典模型通常假设猎物呈Logistic增长，但低密度种群可能因强Allee效应而出现人均增长率下降甚至为负，这会改变生物学上有意义的平衡态的数量与稳定性，并产生阈值依赖的结果。已有研究分别考察了Holling I、II、III型功能反应下的稳定性、Hopf分支、倍周期分支、Neimark–Sacker分支等；与这些单调功能反应不同，简化Holling-IV功能反应是非单调的，能够描述高猎物密度下的捕食抑制现象。已有相关工作或研究非单调功能反应的离散模型，或采用半离散化但针对Leslie型比率依赖模型，或将Allee效应与Holling I型捕食结合；相比之下，本文将强Allee阈值与具有抑制作用的Holling-IV捕食耦合，分类了零个、一个或两个正不动点，并证明两个正分支碰撞时产生鞍结分支。因此，主要贡献在于这种相互作用以及由此产生的平衡态多重性，而不仅是常规的边界跨临界计算。

研究人员首先对连续模型进行无量纲化，得到无量纲系统；再采用半离散化方法，在单位时间区间上积分并指数化，得到保持正性的离散映射。该映射的正象限是正向不变的，但研究明确限定结论为局部性质，不涉及全局有界性、耗散性、一致持久性或吸引域结构。随后，研究人员对非负不动点进行分类，利用雅可比矩阵特征值和二维离散系统稳定性判据分析其局部稳定性，并应用中心流形定理和局部分支理论证明分支结果，最后通过数值模拟展示平衡分支和相图。

关键技术与方法方面，研究人员使用的主要方法包括：对连续模型作无量纲化；采用半离散化方法构造离散模型；利用雅可比矩阵特征值及二维离散系统稳定性判据判断汇、源、鞍点与非双曲点；应用中心流形定理和局部分支理论推导跨临界分支与鞍结分支条件；使用MATLAB R2024b直接根据解析不动点公式生成平衡分支，并在每个采样点计算雅可比乘子的模以判定稳定性，绘制平衡分支图和相图。该研究不涉及实验样本或队列数据。

研究结果按照原文结构概括如下。

1. 引言与预备知识：该部分给出连续捕食-被捕食方程，说明强Allee效应体现在低于阈值m时人均增长率为负；简化Holling-IV功能反应在猎物密度较低时递增、在较高时递减，因此能刻画高密度下的捕食抑制。通过无量纲化和半离散化得到离散系统，并说明固定步长h=1的约定。

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