根据相位波动相关函数合成高保真相位屏

《Journal of Astronomical Telescopes, Instruments, and Systems》：Synthesizing high-fidelity phase screens from the phase fluctuation correlation function

　　在这篇出版物中，介绍了一种用于合成高保真度相位屏的新方法。该方法基于相位波动的相关函数，因此被称为基于相关性的随机相位法。通过从空间域（即相关函数）而不是频域定义的函数来合成相位屏，可以纠正使用单次离散傅里叶变换时产生的带宽误差，从而合成出与理论结构函数偏差可以忽略不计的相位屏，而无需任何优化参数。该方法最初是在航空航天领域开发的，但其适用性受到计算机算术精度的限制，特别是当网格尺寸大约是外部尺度4倍时。然而，通过应用适当的窗口函数，可以在较小的空间域内实现相同的精度，尽管这会增加像素数量（即计算时间）。为了说明这一点，将所介绍的方法与广为人知的随机相位法进行了比较。

1. 引言
在过去六十年中，由于电磁波在各个领域（从自由空间光通信到天文学）的重要性，对其传播的研究一直非常活跃。特别是在未来几年内，一类新的地面天文望远镜将会投入使用，这些望远镜的口径都将超过20米，这使得我们能够以前所未有的分辨率探索宇宙的奥秘。在这种背景下，量化地球湍流大气对入射星光的影响至关重要。事实上，大气的湍流运动会导致温度梯度，进而引起空气折射率的波动，这些波动就像具有不同光功率和倾斜角度的多个透镜一样作用于传播的波。可以通过折射率波动的功率谱密度（PSD）Φ?来表达不同波数下的折射率波动分布。假设服从冯·卡门（von Kármán, VK）谱和三维空间域，PSD可以表示为：
Φ?(x) = 0.033? · C2? · (|x|2 + |x|2?)?1/?，
其中 |x| 是波数向量的幅度，C?? 是描述湍流强度的折射率结构常数，??? = 2π/??? 是湍流的外部尺度，这个尺度在地球大气中范围从几十米到几百米不等。为了量化湍流大气对传播电磁波的影响，使用弗里德参数???来表示湍流强度更为方便，该参数具有长度量纲，对应于湍流开始严重影响接收器性能的异频接收器的直径。对于平面波的传播，弗里德参数的表达式为：
??? = [0.423 · (2π??)2 · (cos??)?1 · ∫?^??? C??(x)dx]?3/?，
其中 ?? 是波长，?? 是接收器的天顶角，?? 是传播距离。最后，假设湍流场是各向同性的，二维相位波动的功率谱密度????(x) 与 Φ? 之间的关系为：
????(x) = 0.49 · ????/?? · (|x|2 + |x|2?)?1/?。
在统计量化了湍流大气产生的相位波动后，并假设泰勒关于湍流冻结的假设成立，可以使用相位屏方法来模拟湍流大气中的波传播。这种方法包括将传播路径分成不同的段，并对每个段使用二维相位屏来模拟湍流大气引起的相位波动。然后波依次从一个相位屏传播到下一个相位屏，直到整个路径都被模拟完成。相位屏可以通过基于不同统计方法的各种方法来合成，包括自回归模型、机器学习、模态分解技术、现象的频谱表示，或这些方法的组合。在所有这些方法中，最常用的是频谱表示方法，在本文中称为随机相位法（RPM），该方法根据威尔逊（Wilson）的研究成果，从相位波动的PSD出发来合成相位屏。然而，由于PSD在所考虑的空间域中的带宽不是有限的，RPM在 Small 和 Large 规模上都会引入误差。为了解决这个问题，提出了多种解决方案，例如次谐波法、相关函数的模态分解，或者依赖于相位波动稀疏谱模型的方法。前两种方法需要为每次模拟计算特定的优化参数，而后一类方法通过在随机波数上采样相位波动的PSD来以低误差（即约0.1%的精度）合成相位屏。

本工作的目标是引入基于相关性的随机相位法（CB-RPM）来合成相位屏。这种方法在原理上是精确的（即方法的误差受到计算机算术精度的限制），允许修正大于4???的空间域中RPM的误差。这种高精度是通过利用相关函数和PSD之间的关系实现的（即这两个量是傅里叶对）。然而，由于PSD在较小空间尺度上会出现负值，该方法在较小尺度上的应用受到限制。为了解决这个问题，建议用适当的窗口对相位波动结构函数进行掩蔽，从而提高CB-RPM在较小尺度上的精度，尽管这会增加空间网格中的像素数量和计算时间。

本文的结构如下：第2节介绍了RPM背后的理论。第3节描述了合成相位屏的验证过程，第4节介绍了CB-RPM。第5节解释了如何使用CB-RPM即使在较小空间尺度上也获得高保真度的相位屏，第6节提出了结论。

2. 使用RPM合成相位屏
RPM最初由Shinozuka和Jan在结构分析领域应用，近二十年来，它已被广泛用于模拟湍流大气对远距离源的影响。单个二维相位屏??RPM的合成公式如下：
??RPM = Re/Im {??1(?? · 2π√??? ??? ??? ??? √????(x))},
其中 ??? 是第i轴的域大小，Re/Im 表示可以使用结果的实部或虚部，??? 是第i轴的像素数量，??1 表示离散傅里叶变换的逆变换（IDFT），?? 是一组均值为零、方差为单位的复随机变量。图1展示了使用公式（4）合成的相位屏，考虑的空间域为 ??? = ??? = 60米，弗里德参数 ??? = 0.5米，网格像素数量为 ??? = ??? = 2048，湍流外部尺度为 ??? = 15米。

3. RPM验证
正如Johansson和Gavel所建议的，为了检查合成相位屏的质量，将其结构函数??与理论结构函数进行比较。假设一个二维VK相位波动谱，理论上的相位波动结构函数表示为：
????(x) = 6.16????/?? · [35????/???(??2 ???)?/? · ???/? · (??? ??)Γ(11/6)],
其中 Γ 是伽马函数，??? 是第二类贝塞尔函数，?? = |??| 是分离向量的幅度。然后计算合成相位屏的误差如下：
??(x) = |??(x) ? ????(x)|。
分析图2中表示的RPM误差可以看出，合成的相位屏并没有完美地表示所需的统计特性，在高波数和低波数区域都低估了相位波动。这种误差是由于PSD在所需的波数域中不是带宽限制函数，因此离散傅里叶变换（DFT）的实现产生了采样误差，正如奈奎斯特-香农采样定理所述。已经提出了多种方法来解决这个问题，包括次谐波法（通过用九个或更多子样本替换波数域原点的单个样本来减少低波数区域的不准确性），以及相关函数的模态分解（通过提取活塞和倾斜分量然后应用掩模）。然而，这些方法不具有通用性（即不能应用于所有类型的PSD），并且需要为每个空间域计算不同的优化参数。另一类解决方法基于相位波动的稀疏谱，能够在相同的计算时间内实现低误差（即约0.1%）。

图2显示了预期的RPM结构函数与理论结构函数之间的比较。蓝色星星表示理论结构函数，橙色线条表示预期的RPM结构函数。(b) 预期RPM结构函数相对于理论结构的误差??RPM。
是否这种误差小到可以忽略需要根据具体情况进行评估。考虑到不同相位屏上的相位波动是不相关的，可以粗略地将光圈处的相位低估量化为误差??的最大值与相位屏数量??的乘积的平方：
Δ?? ≈ √?? · ??max。
Faccioni等人提出了两个量化模拟中误差的标准：分别是点扩散函数（PSF，即入射平面波时系统光圈的傅里叶变换）和入射光圈处波前的Zernike功率谱。此外，为了理解模拟中误差如何依赖于不同的模拟场景，将误差??视为一个额外的相位屏是方便的，该相位屏由弗里德参数???、??和外尺度??表征。随着湍流强度的增加（即弗里德参数较小或外部尺度较大），而相位屏的数量保持不变，误差??会增加，导致模拟不准确，模型中的PSF变窄，入射光圈处的Zernike功率谱降低，从而低估了自适应光学系统应当校正的模式。目前还没有一个通用表达式可以从湍流参数评估模拟中犯的误差，因此必须根据具体情况评估模拟的准确性以及是否可以忽略所犯的误差。

4. 使用CB-RPM合成相位屏
CB-RPM的开发旨在消除使用RPM时产生的带宽误差。这是通过利用相关函数和PSD之间的关系来实现的（即这两个量是傅里叶对，如维纳-金钦定理所述）。通过计算理论相位波动相关函数????的DFT来获得相位波动的PSD，从而消除了带宽误差。两种方法的流程图分别如图3所示。

图3展示了RPM的流程图（蓝色）和CB-RPM的流程图（黄色）。
使用CB-RPM获得的相位屏??CB-RPM表示为：
??CB-RPM = Re/Im {??1(?? · √?(????(x)}) · ??? ???},
其中 ????(x) 是从方程（5）计算出的理论相位波动相关函数：
????(x) = 12 [????(∞) ? ????(x)]。
图4展示了使用第2节中的相同值合成的相位屏及其误差??CB-RPM。预期CB-RPM结构函数的极低误差表明，该方法原则上可以合成出符合所需统计特性的相位屏，适用于大于4???的空间域。其精确性指的是计算误差，而不是合成相位屏与现实之间的接近程度。然而，使用一种不会引入计算误差的方法将能够改进相位屏的合成，该方法考虑到从真实数据中获得的功率谱密度（PSD），并考虑了折射率场的各向异性以及非柯尔莫戈洛夫湍流。实际上，相位屏的合成通常假设湍流是均匀且各向同性的，但对于接近表面的湍流，这一假设不再成立。作为本节的最后一点，作者认为比较合成的相位屏的相关函数比比较它们的PSD更为合适。这样做是为了避免使用离散傅里叶变换（DFT）计算PSD时产生的偏差，或者由于窗口化导致的相位屏功率的低估。图4下载全尺寸图像：(a) 使用CB-RPM合成的相位屏，假设??0=0.5??m、????=????=60??m、????=????=2048以及??0=15??m；(b) 预期的CB-RPM结构函数与理论结构函数之间的比较，理论结构函数用蓝星表示，预期的CB-RPM结构函数用橙线表示；(c) 预期CB-RPM结构函数与理论结构函数之间的误差??CB?RPM。

5. 在更小的空间尺度上减小CB-RPM误差
与Xiang24中提出的函数??FFT类似，使用CB-RPM计算的PSD ??CB-RPM?(??)在小于4???0的空间域内会得出负值。从理论上讲这是不正确的，因为PSD被定义为正值。这些负值的出现是由于在非常小的空间域内使用DFT造成的，对于这些尺度，相关函数几乎变得平坦，为了合成所需的相关函数，一些DFT系数被相位移动了一个因子??（即具有负幅度值）。考虑到一个均匀的圆形相关函数的极端情况，其傅里叶变换是一个jinc函数，这表明对于特定形状的相关函数，??CB?RPM中出现负值是预期之中的。为了解决这个问题并消除PSD中负值的出现，建议扩大模拟的空间域，并在不感兴趣的区域对理论结构函数进行窗口处理。这是通过使用误差函数erf作为窗口，并在窗口边缘添加峰值??来实现的。将得到的结构函数代入方程(9)中，得到方程(10)：??CB?RPM?(??)=?????(??)?(1?erf?(??))+6.16????5/30????erf?(??)，其中??={[(??????????)???]+1}/2，????是感兴趣的空间网格半径。采用?????=?????=20??m的空间域、湍流外尺度??0=60??m、Fried参数??0=0.5??m、?????=128，以及表1中列出的??CB?RPM值，所得结果如图5所示。使用所提出的窗口方法，即使对于小于4???0的空间域，CB-RPM原则上也是精确的，可以模拟出湍流内尺度??0级别的粘性效应。窗口化的缺点是需要更多的像素，从而导致每次DFT的计算时间增加，计算时间为??·(1+log?(??/??)/log?(??))，其中??和??分别是新旧网格的像素数。

表1 DCB-RPM参数
参数 值
???? 10
?? 3
?? 0.3
?? 2

图5下载全尺寸图像：(a) 不同方法的相位屏结构函数与理论结构函数之间的比较，理论结构函数用黑星表示，预期的RPM结构函数用蓝线表示，预期的CB-RPM结构函数用虚线橙线表示；(b) 不同方法预期的结构函数与理论结构函数之间的误差，RPM的误差用蓝线表示，CB-RPM的误差用虚线橙线表示。

6. 结论
在本文中，提出了一种新的高保真度相位屏合成方法。这种新方法称为CB-RPM，与RPM相比，它可以获得更精确的相位屏，而且在对于大于4???0的空间域时，无需任何优化参数。提出了两个标准来评估使用RPM或其他方法时所犯的误差是否可以忽略，或者是否应该使用CB-RPM来解决。此外，后者原则上也适用于矩形空间域，这是一个有趣的结果，可以用来表示湍流大气对长而窄的光束的影响，例如激光导星发出的光束。通过适当的窗口处理，CB-RPM原则上也可以在更小的尺度上精确地合成相位屏，同时考虑由于粘性引起的耗散效应。