摘要
本编按介绍了《Mathematics》期刊的特刊"组合学、Riordan 矩阵与阴影演算——纪念 Emanuele Munarini 教授"，该特刊收录了十篇经过同行评审的论文，涵盖枚举组合学、组合矩阵和多项式序列方面的理论及应用研究。这些贡献涉及多种主题和方法，包括生成函数、Riordan 阵列、递推关系以及相关组合结构。本编按简要讨论了该特刊的范围及各项贡献内容。
组合分析是现代数学的一个分支，近年来发展尤为迅速。其方法和成果在广泛的领域中有应用，包括枚举组合学和代数组合学、组合数论、图论、离散数学、物理学、计算机科学和生物学。
在组合分析的基本工具中，生成函数、无穷矩阵和多项式序列占据重要地位。有限结构与生成函数之间存在深刻的联系，如组合物种理论所示；同样，枚举与无穷矩阵、形式幂级数和多项式序列之间也存在紧密联系，这在 Riordan 矩阵理论和阴影演算中尤为突出。
本特刊最初由 Emanuele Munarini 教授构思，他担任了首期客座编辑，不幸于2024年10月辞世。他的研究领域十分广泛，涵盖形式幂级数和符号方法；Riordan 矩阵和 Sheffer 矩阵、Sheffer 多项式序列和阴影演算；枚举组合学和双射组合学；组合恒等式与特殊多项式序列；偏序集和格路格构；以及图论，为 Fibonacci 和 Lucas 立方体、Pell 图、非正则图、双图和图着色研究做出了贡献。在意大利米兰理工大学，他既是备受推崇的研究者，也是优秀的教师，其待人友善的品格深受同事和学生的怀念。
在他辞世之后，我很荣幸地接受了继续推进他开创的这项项目的邀请。鉴于本特刊的主题与他许多研究方向之间的紧密联系，将此卷献给他的纪念尤为恰当。本特刊收录的十篇贡献既体现了组合分析的广度，又突出了若干反复出现的主题，包括生成函数、Riordan 阵列、多项式序列、递推关系、格路和研究以及组合恒等式。
生成函数和递推关系在贡献1中居于核心地位，该贡献通过递归构造方法研究了涉及二项式系数环形乘积的多重和，导出了涉及 Fibonacci 数和 Lucas 数的有理生成函数。在贡献2中，从 Riordan 阵列的角度研究了 C-有限序列，包括若干经典的常系数齐次线性递推关系，并以递推系数和初始条件为框架提供了通用表示。
Riordan 阵列也是贡献4、7和8的核心。贡献4引入了 Riordan 阵列概念的两个扩展——反向对称化和交错 Riordan 阵列，并探索了从与可积格模型相关的整数序列到格路枚举的应用。贡献7基于 Riordan 阵列以及二项式变换与 Chebyshev 变换发展了格路的推广框架，连接了 Dyck 路径、广义 Motzkin 路径、Schr?der 路径和大路径。贡献8研究了 Janjic–Petkovic 计数函数作为二项式系数的推广，展示了如何将其表示为 Riordan 阵列，并将所得框架应用于受限多体物理系统。
多项式序列和符号方法提供了另一条连接线索。贡献6开发了涉及 s-Appell 多项式、Stirling 数和二项式系数的恒等式的符号方法，并探讨了与 Riordan 阵列、Sheffer 矩阵及其 q-类似物之间的联系。贡献10聚焦于第二类 Bernoulli 多项式，推导了新的联系公式、求导公式、线性化公式和积分公式，可能应用于多项式逼近和微分方程。
其他贡献展示了现代组合学所涵盖的多种结构和技巧。贡献5研究了由避免 vincular 模式的排列产生的对角线下方路径族，结合了双射、几何特征和生成树方法。贡献9研究了终止型 Appell 函数和 Gauss 函数，推导了一个修正后的约化恒等式，其结构揭示了与二项式系数和 Pascal 系数之间的联系。
最后，贡献3为本书引入了概率视角，在 Ford 的 alpha 模型下研究了随机标记树拓扑中类群大小分布，包括随机选取的一组叶子构成单系群的概率。
这些贡献共同说明了当代组合分析的多样性及其不同方法之间的紧密联系。生成函数、矩阵方法、递推关系、多项式序列和双射技术为从格路和排列模式到特殊函数、随机树和数学物理等各种问题提供了共同工具。
我希望本特刊能为读者提供关于组合分析当前研究的有趣视角，最重要的是，希望它能作为对 Emanuele Munarini 教授及其对该领域持久科学贡献的恰如其分的纪念。
