信息物理系统中面向弹性、可靠性与风险感知控制的动态状态空间框架

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：Dynamical State-Space Framework for Resilience, Reliability, and Risk-Aware Control in Cyber–Physical Systems

　　

# 关键信息摘要

- 在信息物理系统（CPS）中，将韧性建模为一种动态状态变量。
- 建立了一个将韧性、可靠性与风险联系起来的统一框架。
- 控制律将系统引导远离故障区域。
- 对韧性阈值进行概率解释。
- 支持信息物理系统中的实时风险感知决策。

# 引言

韧性已成为复杂信息物理系统的一项基本属性，包括现代能源基础设施、网络化控制系统和大规模互联平台 [1]。这些系统日益以物理过程、通信网络和决策层之间的紧密耦合为特征，使其极易受到级联扰动和跨域故障的影响 [2,3]。在这样的环境中，维持功能并在中断后恢复的能力不仅是有利的，更是系统可靠性和安全性的必要条件。

尽管韧性至关重要，但目前它仍主要被视为一种事后性能指标，通常使用事件后指标进行量化，例如服务连续性或对组件故障的鲁棒性 [[4], [5], [6], [7]]。虽然这些度量方法对于事后评估是有用的，但它们在支持实时系统运行和控制方面存在根本性局限。特别是，韧性不参与系统动力学，因此无法直接纳入反馈控制回路、优化框架或稳定性分析中 [7,8]。

这一局限性在信息物理系统中变得尤为关键，因为扰动在紧密耦合的层之间快速传播，需要即时、协调的响应。此类系统中的有效决策需要有可连续观测的、动态演化的且可在控制过程中直接操作的变量。然而，现有的韧性表述方法缺乏满足这些要求的统一数学表示 [9,10]。

从系统论的角度来看，韧性的内生状态空间表示的缺失在系统动力学与控制综合之间造成了根本性缺口。如果没有明确的数学公式，韧性评估将始终与运行时轨迹脱节，导致一个治理盲点，使控制动作无法考虑故障边界。这种脱节阻碍了韧性在不确定性和对抗性条件下作为实时决策变量的作用。

因此，迫切需要重新定义韧性，不是作为外部性能指标，而是作为嵌入系统状态中的固有动态量。这种表述将使韧性能够被连续监控、预测，并通过控制动作主动塑造。将韧性集成到信息物理系统的状态空间表示中，能够弥合系统动力学、控制理论与韧性工程之间的鸿沟。在可靠性工程背景下，韧性与系统在不确定性下的存活能力、故障概率和风险传播密切相关。然而，现有的可靠性框架通常缺乏能够实时捕捉韧性演化的动态表示。这促使了需要一个将韧性动力学与可靠性和风险分析整合在一起的统一框架。

本文受此基本挑战所驱动。本文旨在建立一个形式化的状态空间公式，在该公式中，韧性被建模为一种针对非线性互联基础设施的可治理、可诱导状态变量。这一概念如图 1 所示，其中韧性被解释为信息物理架构中的可治理系统状态。如图 1 所示，韧性作为状态变量嵌入信息物理系统中，通过物理过程、通信层和决策机制之间的交互而演化。数字孪生的集成使系统状态的连续估计成为可能，并支持实时韧性感知控制。这种闭环结构将韧性从描述性指标转变为可操作的控变量。

所提出的架构并非仅停留在概念层面；它通过第3节"将韧性建模为状态变量"、1.3节"贡献与论文组织"、第2节"问题描述"中定义的数学框架直接实现，其中韧性作为 Φ(x) 计算并集成到控制律中。

韧性已在广泛的领域得到深入研究，包括电力系统、信息物理基础设施、网络系统和复杂社会技术环境 [10,11]。现有研究可大致分为四个主要方向，基于韧性如何在系统分析和决策框架中定义、量化和利用 [[10], [11], [12], [13], [14], [15]]。

## 1) 基于指标的韧性评估

大量文献将韧性定义为从系统响应轨迹中得出的事后性能指标。常见指标包括恢复时间、服务连续性、抗扰动鲁棒性和退化剖面 [7,16,17]。这些方法为中断后的系统性能提供了有价值的见解；然而，它们本质上具有事后性质，无法捕捉系统动力学。因此，它们对实时决策和控制的支持有限，特别是在信息物理系统中，物理层和数字层之间的快速交互需要持续、可操作的系统表示。

## 2) 图论与基于网络的方法

另一系列研究利用网络拓扑和依赖性分析来建模韧性。这些方法捕捉了互联系统中的级联故障、结构脆弱性和连通性特征 [[18], [19], [20], [21], [22]]。虽然这些方法在识别关键组件和结构弱点方面很有效，但基于图的方法通常忽略了系统动力学和控制交互。因此，它们不适合扰动下的动态韧性管理或轨迹级系统调节。

## 3) 基于优化的韧性增强

大量研究致力于通过规划和优化技术来增强韧性，包括资源分配、恢复调度和冗余设计。这些方法在优化框架中构建韧性目标，通常在不确定性下。虽然这些方法能够实现系统性能的系统性改进，但韧性仍然被视为外部目标或约束，而非内生的系统级性能指标。这种分离限制了韧性在实时控制和反馈驱动的系统演化中的集成。

## 4) 控制论与动力学方法

最近的研究进展试图通过将稳定性分析、鲁棒性度量和自适应控制策略纳入其中来架起韧性与控制理论之间的桥梁 [[23], [24], [25]]。这些工作认识到扰动下动态系统行为的重要性，并旨在通过控制动作增强系统可恢复性。然而，大多数现有公式仍缺乏将韧性定义为嵌入系统动力学中的内生状态变量的统一数学表示。没有这样的表示，韧性无法直接纳入反馈控制回路、可观测性分析或非线性系统理论中。

## 5) 基于概率和可靠性的韧性

另一补充性研究从概率和可靠性角度出发研究韧性。这些方法使用随机过程、故障树、贝叶斯网络和可靠性框图来建模系统故障 [[26], [27], [28], [29]]。韧性通常以故障概率、系统性能的预期退化和不确定性下的恢复可能性来量化。虽然这些方法为风险评估提供了严谨的基础，但它们通常缺乏与系统动力学和控制机制的集成。因此，它们在捕捉实时韧性演化和控制驱动的恢复过程方面能力有限 [[30], [31], [32], [33], [34]]。本文提出的框架通过将韧性嵌入为动态状态变量来解决这一局限性，从而实现可靠性指标与系统轨迹之间的直接耦合。

这些方法对于可靠性工程和系统安全分析至关重要，突显了将概率风险评估与动态系统表示集成的必要性。

尽管这些研究方向取得了显著进展，但仍存在一个根本性缺口。现有方法主要将韧性视为从系统轨迹中计算的外部性能指标，而非驱动系统演化的固有量。这一局限性阻碍了韧性集成到信息物理系统的核心数学结构中，将其作用局限于事后评估而非实时治理。

与先前工作不同，本文通过一种根本不同的视角，将韧性公式化为在系统动力学中演化的动态状态变量。这种公式使韧性能够被连续观测、预测和主动控制，在韧性与非线性系统理论、信息物理系统中的反馈控制设计之间提供直接桥梁。为更清楚地阐明所提框架与现有方法之间的区别，表1提供了比较总结。该比较突出了先前韧性建模策略在动态表示、控制集成和概率解释方面的关键局限性，并展示了所提框架如何以统一方式解决这些缺口。

如表1所示，现有方法通常从单一视角处理韧性，要么侧重于事后评估，要么结构分析，要么概率可靠性建模。然而，它们缺乏一种统一公式来同时捕捉系统动力学、控制交互和不确定性。本文提出的框架通过引入韧性作为动态状态变量来弥合这些缺口，从而实现其直接集成到反馈控制和可靠性感知决策中。

# 在安全关键信息物理系统（CPS）的架构领域，特别是现代多载体能源基础设施和智能电网中，最先进的控制范式主要依赖多层集中式、分布式和分层控制结构。在大规模物理层中，比例-积分（PI）调节器、线性二次调节器（LQR）和集中式模型预测控制（MPC）被广泛用于在确定性运行条件下管理动态频率和电压稳定。与此同时，高级文献已深入探索鲁棒控制（如 H∞ 最优控制）。此外，自适应控制技术用于缓解高渗透率可再生能源网络中的参数不确定性和有界参数漂移。然而，这些经典控制技术被设计为严格在局部物理或通信状态（如电压偏差或网络延迟指标）上运行，将韧性视为未建模的结构裕度，而非实时可操作的反馈变量。第2节中考虑的非线性状态空间表示——特别是包含物理（xp）、网络（xc）和结构（xs）子域的复合状态向量（2）——并非纯粹隔离或完全新颖的；相反，它们代表了在局部CPS安全文献中广泛验证的相互依赖降阶系统模型的数学统一综合和严格数学扩展 [[1], [2], [3]]。通过将这些异构子系统嵌入到统一连续的微分框架 ?(t)=f(x,u,d) 中，本文建立了一个形式化的起点，用于增强现有的鲁棒和预测控制架构，加入一个明确的、可治理的韧性标量场。

# 本文提出了一个形式化的状态空间框架，在该框架中，多域韧性被建模为一种内生的、可诱导的状态变量，从而在非线性能控理论与韧性工程之间建立了系统论桥梁。本文的主要贡献总结如下：

1) 提出了一种新的公式，将韧性定义为嵌入信息物理系统动力学中的动态状态变量。与传统的基于指标的方法不同，所提出的公式使韧性能够作为系统固有属性连续演化，使其在反馈控制回路中可观测、可预测和可直接操作。

2) 引入了一种结构化韧性算子，将高维信息物理系统状态映射到低维韧性表示。该算子整合了物理性能、网络完整性和结构可重构性，同时显式捕捉了各系统层之间的依赖关系。

3) 开发了一种韧性感知控制框架，使系统在扰动下能够进行轨迹级行为调节。通过将韧性纳入控制目标，所提出的方法主动将系统轨迹引导至可接受运行区域，防止系统过渡到关键故障状态。

4) 通过推导基于李雅普诺夫的条件和关键转换边界，建立了系统稳定性和韧性保持的理论保证。这些结果定义了可允许的韧性区域，并为可恢复和不可恢复的系统状态提供了形式化表征。

5) 所提出的公式在一个代表性的信息物理能源系统案例研究中进行了验证，该案例基于耦合物理、通信和结构层的 IEEE 配电网微电网。确定性和随机扰动研究量化了恢复时间、最小韧性、稳定裕度和故障概率。跨域适用性被视为需要领域特定重新校准的方法论扩展，而非本研究的经验性验证结果。

# 本文其余部分组织如下。第2节建立了形式化的问题描述，引入了非线性状态空间架构，并概述了广义可靠性解释。第3节详细阐述了作为内生的状态相关性能表示的动态韧性建模框架，引入了结构化算子特性，并明确界定了其与经典李雅普诺夫函数和控制障碍函数的数学区别。第4节开发了闭环韧性感知控制设计，以及数字孪生状态观测器部署指南。第5节提供了全面的系统论稳定性分析，推导出输入到状态稳定性（ISS）的显式界、随机微积分界和非线性可观测性秩条件。第6节呈现了数值仿真、级联故障-攻击应急场景，以及通过集成蒙特卡洛集成洗牌进行的统计鲁棒性验证。第7节阐述了韧性轨迹的正式可靠性和概率风险解释。第8节提供了关于实践影响、成本效益权衡和物理验证路线图的高层操作讨论。最后，第9节以综合注释总结全文，并概述了未来研究阶段的具体方向。

# 系统模型片段

考虑一个非线性信息物理系统，描述为：

?(t) = f(x(t), u(t), d(t))

其中 x(t) ∈ R? 表示系统状态，u(t) ∈ U 为控制输入，d(t) 表示外部扰动。

(1) 中的非线性多域表示建立在针对互联系统的成熟控制导向建模方法之上，具体而言，通过在增广标准状态空间框架的基础上，将其应用于自动化电网调度和广域监控基础设施。

**概念定义**：恢复力（韧性）传统上被定义为一种事后性能指标，即从系统在扰动后的轨迹中计算得出。此类公式本质上是回顾性的，不参与系统动力学。相比之下，在本研究中，恢复力被定义为嵌入系统动力学内的内生状态变量。这种表示方法使得恢复力可以通过控制动作被持续观测、预测和影响，从而将其转化为一个控制目标。

**控制目标**：通过将恢复力定义为诱导动力学性能度量，控制目标可被重新表述为恢复力感知下的轨迹调节，而非传统的状态调节：

$$\maximize R(t) \quad \text{s.t.} \quad \dot{x}(t) = f(x(t), u(t), d(t)) \quad u(t) \in U \quad x(t) \in X$$

此公式使得恢复力能够直接整合到反馈控制和决策过程中。与仅关注系统稳定性的传统控制目标不同，所提出的公式明确地将恢复力纳入其中。

**预备知识**：考虑一个由如下式描述的非线性信息物理系统：

$$\dot{x}(t) = f(x(t), u(t))$$

恢复力指标不被视为独立的状态变量。相反，它被表述为信息物理系统状态的诱导非线性函数：

$$R(t) = \Phi(x(t))$$

其中 $\Phi(\cdot)$ 表示恢复力映射，该映射汇总了系统状态的物理、网络和运行特性。

据此，通过链式法则可得到恢复力指标的时间演化。

**系统描述**：在本研究中，所提出的框架被应用于一个典型的信息物理能源系统，该系统由互联的物理基础设施、通信网络和监控控制层组成。此抽象概括了现代电力系统和智能电网环境的关键特征。为确保所提框架在安全关键基础设施中的实际相关性和工程有效性，示例动态模型被明确映射到现实的场景。

**恢复力的可靠性与风险解释**：在可靠性工程中，系统性能通常通过故障概率和风险度量来评估。在所提出的框架中，恢复力指标 $R(t)$ 可被解释为系统可靠性的替代指标。

具体而言，可以定义一个概率映射：

$$P_{fail}(t) = P(R(t) < R_{crit})$$

其中 $R_{crit}$ 表示关键恢复力阈值。该公式使得能够基于系统在恢复力空间中的轨迹估计故障可能性。

**结果解释**：所获得的结果有力地表明，将恢复力视为动态状态变量从根本上改变了信息物理系统在扰动下的行为。图9将恢复力的解释扩展到系统动力学之外，展示了其作为运行控制与治理框架之间桥梁的作用。如图9(a)所示，恢复力指标将高层政策目标（如风险容忍度和任务保障）转化为可执行的决策。

**结论**：本文提出了一种新颖的恢复力公式，通过嵌入信息物理系统演化过程中的动态状态依赖表示来实现。与将恢复力视为事后性能指标的传统方法不同，所提出的框架将恢复力定义为受系统动力学支配的内生量，从而实现实时监测、预测和控制。总之，本文提出了一种形式化的状态空间控制架构。

**CRediT作者贡献声明**：Hamid Reza Baghaee：撰写—审阅与编辑、撰写—原稿、可视化、验证、监督、软件、资源、项目管理、方法论、调查、资金获取、形式分析、数据整理、概念化。Hamid Reza Baghaee。