一种面向双燃料船舶的数据驱动燃料选择优化方法

《TRANSPORTATION RESEARCH PART C-EMERGING TECHNOLOGIES》：A data-driven fuel selection optimization approach for dual-fuel ships

　　

• 设计一种考虑损失厌恶决策结构的非对称损失度量（ALM）。• 开发一种用于动态燃料选择优化的智能预测-优化（SPO）框架。• 所提出的基于ALM的随机森林（RF）模型优于传统RF模型。

**1. 引言**

海上运输是全球供应链的支柱，承担约80%的国际贸易量（UNCTAD, 2024）。随着全球船队的持续扩张，频繁的海上活动所引发的环境问题值得高度重视。船舶排放的二氧化碳（CO2）约占全球CO2排放量的3%（UN, 2025）。航运业过多的CO2排放可能加剧全球变暖，进而引发诸多不利影响，如海平面上升、物种灭绝和增加健康风险等（Feng et al., 2024; Hu et al., 2021）。为保护环境并推动航运业的可持续发展，一系列限制船舶CO2排放的政策已出台（Cui et al., 2025）。

碳强度指标（CII）政策适用于5000总吨及以上的船舶，是减缓船舶CO2排放的全球性短期措施。CII政策由国际海事组织提出，并于2023年1月1日实施（DNV, 2023）。船舶每年根据其实际达到的CII（即船舶的实际CII）进行一次评级。CII评级分为A、B、C、D和E五个等级，分别代表船舶运营碳强度为大幅优于、略微优于、适中、略微劣于和劣于基准。船舶须达到C级或更高的CII评级，即A、B或C级（Clarksons, 2025）。若船舶连续三年被评为D级或一年被评为E级，航运公司须分析CII评级不佳的原因并制定整改计划。D级和E级CII评级可能导致船舶在后续年度期租费率下降，从而造成船东的收益损失。因此，为弥补船东可能面临的收益损失，承租方需额外支付一笔费用，即罚金成本。

CII政策等碳排放减排政策为船舶运营带来了新挑战。船舶的CO2排放主要源于燃料燃烧。传统燃料如重燃料油（HFO）价格便宜但排放大量CO2。使用液化天然气（LNG）等替代燃料为船舶提供动力是减少CO2排放的有效措施（Li et al., 2025; Wang et al., 2025）。然而，替代燃料通常比传统燃料更昂贵。随着双燃料发动机技术的成熟，各类船舶，如邮轮（Sagot et al., 2025）、集装箱船（Lloyd's Register, 2025）、油轮（Lloyd's Register, 2024）、散货船（Lloyd's List, 2023）和纯汽车和卡车运输船（S&B, 2025b），正在装备双燃料发动机。双燃料船舶可根据需要切换不同类型的燃料。由于燃料成本约占船舶运营成本的50%至60%（Yuan et al., 2023），合理利用不同类型的燃料对于平衡降低船舶运营成本和满足碳排放减排目标的需求至关重要。

本研究对一艘可同时使用HFO和LNG的双燃料邮轮的每一航段动态优化燃料选择，目标是最小化年度总成本，包括年度燃料成本和年度罚金成本。与LNG相比，HFO价格更便宜，但在释放相同能量时排放的CO2更多（S&B, 2025a）。因此，管理燃料成本与CO2排放之间的权衡至关重要。燃料选择决策在很大程度上取决于每一航段HFO和LNG的每小时消耗量，分别称为HFO和LNG的消耗率。然而，某一航段HFO和LNG的消耗率在船舶完成该航段的服务之前是未知的，因此需要进行预测。

对于此类具有未知参数的优化问题，预测-优化（PO）框架被广泛采用。PO框架包括两个阶段。在第一阶段，预测HFO和LNG的消耗率。在第二阶段，将预测的HFO和LNG消耗率代入燃料选择优化模型中求解，以确定每一航段应使用的燃料类型（Rong et al., 2025; Zhou et al., 2025）。实现高精度的预测至关重要。过高估计和过低估计均可能导致年度总成本增加。罚金成本通常远高于燃料成本。若燃料消耗率被高估，则预测的两种燃料消耗量和CO2排放量均高于实际值。在此条件下，倾向于使用LNG以减少CO2排放，避免罚金成本。因此，高估燃料消耗率可能导致较高的燃料成本。然而，若两种燃料的消耗率被低估，则燃料消耗量和CO2排放量也会被低估。在此条件下，倾向于使用HFO，这可能导致CO2排放过多。因此，低估两种燃料的消耗率可能导致意外的罚金成本。需要注意的是，高估和低估对年度总成本的增加程度不同，且低估相比高估更不可接受。然而，在PO框架中，燃料消耗率的高估和低估对下游问题决策质量的影响差异通常被忽视，因为在该框架中，第一阶段的预测模型通常最小化均方误差（MSE）或平均绝对误差（MAE），对高估和低估施加相同的惩罚。为克服这一挑战，我们提出了一种非对称损失度量（ALM），以量化决策者对低估的更大厌恶，并基于智能预测-优化（SPO）原则设计了三种方法来帮助识别近最优的燃料选择决策。

本研究的主要贡献如下：
• 我们设计了一种新的度量方法，考虑决策者对低估燃料消耗率的厌恶强于对高估的厌恶，旨在减少因低估燃料消耗率而产生的昂贵CII相关罚金成本。• 我们没有采用传统的PO框架，而是开发了三种基于随机森林（RF）的方法，即RF-1、RF-2和RF-3模型，将ALM融入RF以预测燃料消耗率。• 我们提出了一个滚动式燃料选择优化模型，根据已完成航段的实际燃料消耗率动态调整后续航段的燃料选择决策，从而减轻预测误差的不利影响。该优化模型针对使用HFO和LNG运营的邮轮设计，但可轻松扩展至各种双燃料船舶。• 我们使用真实世界数据进行实验，将所提出的三种RF方法与五种基准方法进行比较，即传统RF方法、阈值策略、基于平均燃料消耗率的PO方法、基于XGBoost的PO方法和多阶段随机规划（MSP）方法。实验结果验证了我们所提方法的有效性，尤其是RF-1和RF-2方法。

本文其余部分的组织结构如下：第2节回顾相关研究并指出研究空白；第3节构建动态燃料选择优化模型以最小化年度总成本；第4节基于决策者的特定风险偏好设计一种新的度量方法，并开发三种基于SPO的方法来预测燃料消耗率；第5节展示实际的案例研究以验证我们所提方法的有效性；第6节简要总结结论并提出未来研究方向。

**2. 文献综述**

在航行过程中为双燃料船舶选择燃料类型属于运营层面的决策问题。因此，我们首先在2.1节中回顾以航运脱碳为导向的船舶运营优化研究。此外，由于本研究与船舶燃料消耗预测研究存在交叉，我们在2.2节和2.3节分别回顾了船舶燃料消耗预测方法和航运领域的SPO方法研究。

**2.1 考虑航运脱碳的船舶运营优化**

近年来，各项政策对船舶CO2排放施加了越来越严格的限制（Zhang et al., 2024b）。优化船舶运营是一种切实的短期应对措施。大多数船舶运营优化研究旨在最小化运营成本或最大化航运公司的利润。感兴趣的读者可参阅Meng et al. (2014)、Zhen et al. (2019)和Yu et al. (2021)对船舶运营优化问题的全面综述。

碳排放减排政策的实施通常要求航运公司支付额外的合规成本以满足监管要求，这增加了航运公司的运营压力。一些研究通过优化船舶运营策略来帮助航运公司在满足碳排放减排要求的同时最大化收益。Wang和Chen (2017)研究了碳税政策下的集装箱船队部署、加注和航行速度优化问题。他们建立了混合整数非线性规划（MINLP）模型，旨在最小化加注、燃料储存、货物装卸、库存和碳排放成本之和。Yuan et al. (2023)致力于提高集装箱船队的运营效率，在满足CII政策的同时最大化年度利润。他们提出了一个考虑船舶特性、航线特性和船队运营约束的MINLP模型。Zhang et al. (2024b)优化集装箱船队的部署以符合现有船舶能效指数和CII政策，两者均旨在限制船舶的CO2排放。他们建立了最小化集装箱船队年度运营成本、随后转化为混合整数线性规划（MILP）模型的MINLP模型。Cheng et al. (2025)探讨了CII政策下的不定期船运营。他们将不定期船的特殊运营约束纳入模型，旨在降低总成本。

为减少CO2排放，多燃料船舶的使用变得越来越普遍。多燃料船舶在平衡碳减排与成本效益方面比单燃料船舶具有更大的潜力，因为多燃料船舶可根据需要在传统燃料和替代燃料之间切换。一些研究探讨了多燃料船舶的燃料使用策略。Wu et al. (2023)设计了一个非线性数学模型，为定期船队选择适当的多燃料发动机并确定船舶使用的燃料。他们线性化非线性目标函数和约束条件，从而将非线性模型转化为可直接由商业求解器求解的线性模型。对于使用低硫燃料油和LNG的集装箱船，Wu et al. (2024)提出了一个MSP模型以优化逐段燃料选择，旨在最小化年度燃料成本和碳排放成本之和。他们的模型使用情景规模选择和矩匹配方法求解，并采用贪心启发式算法加速求解过程。Shangguan et al. (2025)建立了MINLP模型以帮助双燃料船舶找到最优燃料使用策略。他们设计了一种定制的离散化航行时间方法来提升模型的计算效率。

然而，上述研究将燃料消耗率视为预先确定的固定值。由于这些研究中的优化模型忽略了航段相关特征对船舶燃料消耗率的影响，它们往往产生次优的运营决策。

**2.2 船舶燃料消耗预测**

许多研究已探讨船舶燃料消耗预测方法。读者可参阅Yan et al. (2021)和Fan et al. (2022)获取概述。随着历史船舶航行数据日益可获得，数据驱动方法，包括统计模型和机器学习模型，正成为预测船舶燃料消耗的主要方法。统计模型使用统计回归技术分析历史航行数据，识别燃料消耗与各种影响因素之间的关系（Luo et al., 2025）。Wang和Meng (2012)修改了广泛接受的实证方程，该方程将日燃料消耗量视为船速立方成正比。基于全球定期航运公司的历史运营数据，他们使用传统线性回归方法校准日燃料消耗量与航行速度之间的幂律关系。

Meng等（2016）利用某航运公司的航海日志数据构建了两个回归模型，以量化集装箱船燃料消耗率与各种决定因素之间的关系。Bialystocki和Konovessis（2016）设计了一种统计方法，基于单艘船的418份正午报告精确绘制了燃料消耗与航速曲线。I??kl?等（2020）设计了一种预测船舶燃料消耗率的统计模型，该模型考虑了航速、转数、航行距离、吃水深度和货物载荷等多个因素的影响。在解决高维问题时，机器学习模型往往比统计模型表现更好，因为机器学习模型擅长从多维数据集中提取隐含信息（Long等，2025，Ma等，2025，Rowan等，2025，Zhang等，2024c）。因此，机器学习模型被广泛应用于船舶燃料消耗预测。Uyan?k等（2020）基于集装箱船的实际案例构建了多个机器学习模型来预测船舶燃料消耗。他们使用均方根误差、平均绝对误差和决定系数评估了每个机器学习模型的性能。Wang等（2023）开发了两种基于领域知识的船舶燃料消耗预测方法，在可解释性和准确性之间取得了平衡。第一种方法将基于物理的约束整合到神经网络模型中，第二种方法使用混合整数二次优化模型，该模型结合领域知识将不同形式的特征变量表达式相结合。Li等（2024）提出了一种遗传算法改进的长短期记忆网络方法来预测船舶燃料消耗。他们考虑了航行路线、航速和船舶纵倾等多个因素。Zhang等（2024a）设计了一种深度学习模型来预测船舶燃料消耗，并基于散货船的运行数据进行了实验以验证其模型。Luo等（2025）开发了一种基于人工神经网络的模型，采用三种迁移学习策略，利用有限的运行数据预测船舶燃料消耗率。实验结果表明，较小的目标数据集更有利于提高迁移学习的性能。

2.3 智能预测再优化方法

由于预测模型中存在未考虑的因素且其精度有限，预测几乎不可能达到完美（Liu等，2025，Yan和Wang，2022）。此外，当预测和优化问题被独立考虑时，使用具有优越预测性能的机器学习模型并不一定能提高决策性能（Elmachtoub和Grigas，2022）。为克服这些挑战，Elmachtoub和Grigas（2022）正式提出了SPO框架，该框架利用优化问题结构来设计更好的预测模型。

仅有少数研究将SPO方法应用于海事航运领域的实际问题。Yan等（2020b）设计了一种半SPO方法，其损失函数基于下游优化问题的结构，用于预测每艘船的缺陷数量，从而提高港口国监督（PSC）检查的效率。他们的方法使优化模型产生的决策尽可能接近理论最优决策。Tian等（2023）开发了一种SPO方法以优化具有针对性和成本效益的船舶维护计划，旨在降低船东的总体运营成本。Yan等（2023）研究了一种港口到港船舶选择方法，以提高PSC检查的总体效益。具体而言，他们开发了一个扩展的SPO框架，利用相似集合来指导预测模型的构建和超参数调整。Yang等（2024b）聚焦于PSC检查中的船舶选择问题，旨在识别高风险船舶，从而提高PSC检查的有效性。他们设计了一个SPO框架，其核心是基于机器学习模型预测的风险水平对所有船舶进行精确排序。

2.4 小结

为遵守日益严格的脱碳政策，船舶必须减少CO2排放。当前关于优化船舶运营以减少CO2排放的研究通常假设船舶燃料消耗率是已知且固定的，忽视了影响燃料消耗率的航段依赖因素，从而导致次优的运营决策。在本研究中，我们考虑了各种因素对燃料消耗率的影响，从而实现了更准确的预测。传统预测方法忽视了预测结果对下游优化问题中决策的影响。SPO方法被用于确保预测模型为优化模型提供更好的支持，并促成更好的决策。然而，将SPO方法应用于海事航运领域的研究主要集中在PSC检查问题上，这些研究中所采用的方法无法直接应用于本研究探讨的燃料选择优化问题。由于决策者更厌恶低估而非高估，提出了一种新颖的ALM。此外，开发了三种基于SPO的船舶燃料消耗率预测方法和一种确定每个航段所用燃料类型的优化模型。

3 燃料选择优化模型

在3.1节中，燃料选择优化问题被详细描述。然后在3.2节中建立了燃料选择决策优化的数学模型。

3.1 问题描述

一艘双燃料邮轮提供固定航线的服务。一年内航线上所有航段的集合记为I，以i为索引。注意，同一条航段的重复航行在I中被赋予不同的索引。航段i的航行距离用di（海里，nm）表示。假设船舶航速恒定，记为v（节），船舶的总吨位记为w。

船舶的双燃料发动机在航行过程中可以燃烧重油或液化天然气。重油的单价和从重油质量到CO2质量的转换系数分别记为pH（美元/吨）和rH（吨-CO2/吨-重油）。液化天然气的单价和从液化天然气质量到CO2质量的转换系数分别记为pL（美元/吨）和rL（吨-CO2/吨-液化天然气）。航段i上重油和液化天然气的实际消耗率分别用ai,H（吨/小时）和ai,L（吨/小时）表示，受多个因素影响。注意，在船舶航行于航段i之前，ai,H和ai,L是未知的。设ai,H（吨/小时）和ai,L（吨/小时）分别表示航段i上重油和液化天然气的预测消耗率。我们假设邮轮在港时由岸电供电。船舶连接到岸上电网获取电力，船舶的主机和辅机均可关闭。因此，船舶在港时不产生CO2排放。

我们的目标是优化每个航段的燃料选择决策，以最小化年度总成本，包括重油和液化天然气的燃料成本以及因碳强度指标（CII）评级为D或E而产生的罚金成本。设xi,H为二元变量，若航段i使用重油则等于1，否则等于0。类似地，设xi,L为二元变量，若航段i使用液化天然气则等于1，否则等于0。关于每个航段燃料类型的决策是异步的。具体而言，航段i使用的燃料类型在航段i-1完成后确定。然而，各航段使用的燃料类型高度相互依赖。因此，在确定航段i所用燃料时，需要根据后续航段的预测燃料消耗率来预判未来的燃料选择。一旦船舶完成航段i，航段i上的燃料消耗率和燃料选择决策均可获得。设xi,H和xi,L分别表示xi,H和xi,L的取值。然后，航段i+1消耗的气质需要重新确定。如图1所示，决策过程在每条航段完成后重复进行，直到船舶完成所有航段的服务。所有航段的燃料选择决策共同决定船舶的CO2排放量及其CII评级。设CIIatt为表示船舶达成CII的决策变量。设y为二元变量，若船舶一年内获得C级或更高的CII评级则等于1，否则等于0。设zD为二元变量，若船舶一年内被评为D级则等于1，否则等于0。设zE为二元变量，若船舶一年内被评为E级则等于1，否则等于0。

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图1. 滚动时域规划示意图。

在驶向新航段i之前，船舶在航段i'（i'∈I，i'

约束条件（7）–（9）定义了决策变量。

注1：邮轮航线可分为两类，即往返航线和双向航线。往返航线从同一港口出发并最终返回该港口，而双向航线则从不同港口出发和结束。值得注意的是，所提出的燃料选择优化模型同时适用于往返航线和双向航线。

注2：若某些港口缺乏岸电设施，船舶在这些港口停泊期间可使用液化天然气（LNG）作为动力（Seatrade Cruise News, 2016）。船舶在港期间的LNG消耗量和CO?排放量取决于港口停靠时长和在港日均LNG消耗量。由于港口停靠时长和在港日均LNG消耗量均假设为固定值，因此船舶在港期间的LNG消耗量和CO?排放量可视为常数。所提出的模型通过调整参数即可应对此类场景，体现了我们模型的通用性。

4. 基于随机森林的燃油消耗率模型

船舶维持特定航速所需的功率是固定的，与燃料类型无关。换言之，在航段i上HFO每小时释放的能量——即HFO在航段i上的消耗率与HFO低位发热量的乘积——等于LNG在航段i上每小时释放的能量。因此，可通过$\hat{a}_{i,H}$与$\hat{a}_{i,L}$之间的比例关系生成航段i上LNG的预测消耗率。因此，在求解模型[M1i]之前，我们仅需预测航段i及其后续各航段的HFO消耗率。

本节重点关注航段上HFO消耗率的预测。通过输入各航段的各特征值，可使用相同的预测模型预测对应航段的HFO消耗率。因此，为便于表述，本节余下部分省略下标i。在各类机器学习技术中，随机森林（RF）方法通过聚合众多决策树（DT）的预测结果，有效地处理了各类回归问题（Tian et al., 2026）。第4.1节和第4.2节分别介绍经典决策树模型和经典随机森林模型的基本信息。随后，我们在第4.3节提出一种基于决策者特定风险偏好的新度量指标，并在第4.4节基于SPO（智能预测优化）原则设计了三种创新的随机森林模型。

4.1 决策树模型介绍

决策树（DT）方法是一种适用于分类和回归任务的有监督机器学习方法（Fletcher and Islam, 2019）。决策树以层次化结构组织，包含一系列节点，包括根节点（即最顶端节点）、多个叶节点（即终端节点）以及多个内部节点（即根节点与叶节点之间的节点）。误差平方和（SSE）是决策树回归模型中常用的分裂准则。

分类与回归树（CART）算法是构建决策树模型最广泛使用的算法之一，同时适用于分类和回归任务。CART算法通过递归地对节点进行二分分裂来构建决策树。如果构建过程持续进行，直到所有叶节点都包含具有相同目标值的样本，决策树可能产生过拟合。因此，需要设定停止准则来限制决策树的维度。本研究实施了两项停止准则：最大树深度（记为max_depth）和最小样本叶节点（记为min_sample_leaf）。最大树深度限制了决策树中任何叶节点的最大深度，即从根节点到任何叶节点的最大分裂次数。最小样本叶节点限制了一个叶节点中包含的最小样本数。决策树的构建在无法再进行分裂或触发停止准则时终止。有关CART构建过程的详细描述，请参阅James等人（2013）。

4.2 随机森林模型介绍

Breiman（2001）提出的随机森林（RF）方法是一种由多棵决策树组成的集成学习方法。通常，在回归问题中，随机森林模型的输出为各叶节点预测值的均值。与决策树模型相比，随机森林模型利用随机性来提升性能。具体而言，随机森林模型中的每棵决策树都是从原始数据集的自助采样构建的。此外，随机森林模型使用随机生成的候选特征子集来分裂决策树的节点。除了决策树模型中的最大树深度和最小样本叶节点超参数外，随机森林还有两个可调节的超参数：随机森林中决策树的数量（记为|T|）以及每次分裂时随机选取的特征数量（记为σ）。随机森林模型展现出卓越的预测性能、强大的抗过拟合能力以及出色的灵活性。然而，随机森林模型的直观性和可解释性不如决策树模型。

在本研究中，我们首先构建了一个使用经典CART算法生长决策树的随机森林回归模型，称为RF-t模型。RF-t模型的详细描述见算法1（Yan et al., 2020b）。训练集中所有样本的集合记为Γ。我们考虑一组特征J，样本γ的特征向量记为$\mathbf{\alpha}_\gamma = (\alpha_{\gamma,1}, \alpha_{\gamma,2}, \cdots, \alpha_{\gamma,|J|})$。输入数据集表示为$\Gamma = \{(\mathbf{\alpha}_1, a_{H,1}), (\mathbf{\alpha}_2, a_{H,2}), \cdots, (\mathbf{\alpha}_{|Γ|}, a_{H,|Γ|})\}$，其中$a_{H,\gamma}$为样本γ的HFO消耗率。令$J'_\theta$表示在分裂节点θ时所考虑的所有候选特征的集合，索引为j。节点θ上特征j的所有可能分裂值的集合表示为$S_{j,\theta}$，索引为$s_j$。令T表示随机森林中所有决策树的集合，索引为t。节点θ的输出，记为$q_\theta$，为该节点中所含样本的平均HFO消耗率。

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算法1. RF-t模型构建伪代码。

4.3 非对称损失度量指标介绍

通常，随机森林模型中的决策树使用SSE等常规度量指标来最小化每个节点的不纯度，对过高估计和过低估计赋予相同权重。然而，这些常规度量指标忽视了下游燃料选择优化问题的特征——在该问题中，过低估计比过高估计更具风险。因此，常规度量指标在直接应用于燃油消耗率预测时并不适用。

需要一种能将预测与优化相结合且考虑决策者风险偏好的新度量指标。由于决策者对燃油消耗率过低估计的厌恶程度高于对过高估计的厌恶程度，我们基于这种特定的风险偏好设计了一种损失度量指标，称为ALM（非对称损失度量）（Elmachtoub and Grigas, 2022）。ALM的原则是对过低估计赋予比过高估计更大的权重。设$b \in [0, 1]$为一个已知参数，根据决策者对过低估计的厌恶程度进行设定。b值越小，则对过低估计赋予的权重越大，反之亦然。令$\hat{a}_{H,\gamma}$表示特征向量$\alpha_\gamma$的预测HFO消耗率。样本γ的ALM可按下式计算：

(10) $ALM_\gamma = b(\hat{a}_{H,\gamma} - a_{H,\gamma})^+ + (a_{H,\gamma} - \hat{a}_{H,\gamma})^+$

其中$(\cdot)^+$表示$(\cdot)$的正部，即$\max\{0, (\cdot)\}$。

4.4 基于SPO的随机森林模型

基于ALM，我们提出三种创新的基于SPO的随机森林模型，即RF-1、RF-2和RF-3模型。这些模型考虑了预测燃油消耗率对下游决策的影响，并将决策者对过高估计和过低估计的不同厌恶程度部分纳入预测过程。RF-1、RF-2和RF-3模型分别在第4.4.1至4.4.3节中详细介绍。

4.4.1 RF-1模型

与RF-t模型类似，RF-1模型在训练过程中采用SSE作为损失函数。然而，在RF-1模型的超参数调优过程中，超参数的选择目标是最小化验证集中所有样本的预期ALM。令$\tilde{\Gamma}$表示验证集中所有样本的集合，索引为γ。令Λ表示超参数向量的集合，其中每个超参数向量λ包含max_depth、min_sample_leaf、|T|和σ。使用超参数向量λ的RF-1模型时，样本γ的预测HFO消耗率表示为$\hat{a}_{H,\gamma}(\boldsymbol{\lambda})$。基于λ的验证集中所有样本的预期ALM可按下式计算：

$$\sum_{\gamma \in \tilde{\Gamma}} \left[ b\left(\hat{a}_{H,\gamma}(\boldsymbol{\lambda}) - a_{H,\gamma}\right)^+ + \left(a_{H,\gamma} - \hat{a}_{H,\gamma}(\boldsymbol{\lambda})\right)^+ \right] / |\tilde{\Gamma}|$$

因此，基于ALM的最佳超参数向量，记为$\boldsymbol{\lambda}_{ALM}^*$，可通过公式（11）生成：

(11) $\boldsymbol{\lambda}_{ALM}^* = \arg\min_{\boldsymbol{\lambda} \in \Lambda} \sum_{\gamma \in \tilde{\Gamma}} \frac{1}{|\tilde{\Gamma}|} \left[ b\left(\hat{a}_{H,\gamma}(\boldsymbol{\lambda}) - a_{H,\gamma}\right)^+ + \left(a_{H,\gamma} - \hat{a}_{H,\gamma}(\boldsymbol{\lambda})\right)^+ \right]$

4.4.2 RF-2模型

RF-2模型采用SSE作为节点分裂准则和超参数调优的评估准则，这与RF-t模型一致。然而，在构建RF结构之后，叶节点的输出不再分配为该节点中所有训练样本的平均HFO消耗率，而是分配为该节点中某个训练样本的HFO消耗率，使得该输出能最小化该节点中训练样本的预期ALM。RF-2模型中叶节点θ的输出，记为$q_{ALM,\theta}^*$，可基于公式（12）生成：

(12) $q_{ALM,\theta}^* = \arg\min_{q_\theta \in \{a_{H,\gamma} \mid \gamma \in \Gamma_\theta\}} \sum_{\gamma \in \Gamma_\theta} \frac{1}{|\Gamma_\theta|} \left[ b(q_\theta - a_{H,\gamma})^+ + (a_{H,\gamma} - q_\theta)^+ \right]$

4.4.3 RF-3模型

在RF-3模型中，超参数调优和确定每个叶节点输出的规则遵循RF-t模型的规则。然而，在RF-3模型中，我们设计了一种基于ALM的新型损失函数，而非使用SSE作为损失函数。分裂节点θ生成的左子节点和右子节点分别表示为θ?和θ?。令$\Gamma_{\theta_1}(j, s_j) = \{\gamma \in \Gamma_\theta \mid \alpha_{\gamma,j} \leq s_j\}$表示节点θ?中所含的训练样本，令$\Gamma_{\theta_2}(j, s_j) = \{\gamma \in \Gamma_\theta \mid \alpha_{\gamma,j} > s_j\}$表示节点θ?中所含的训练样本。子节点θ?和θ?中所含样本的平均HFO消耗率分别表示为$q_{\theta_1}$和$q_{\theta_2}$。节点θ的最佳分裂对$(j_{ALM}^*, s_{j_{ALM}^*}^*)$基于ALM损失函数确定，可按下式计算：

(13) $(j_{ALM}^*, s_{j_{ALM}^*}^*) \in \arg\min_{j \in J'_\theta, \, s_j \in S_{j,\theta}} \sum_{\gamma \in \Gamma_{\theta_1}(j, s_j)} \frac{1}{|\Gamma_{\theta_1}(j, s_j)|} \left[ b(q_{\theta_1} - a_{H,\gamma})^+ + (a_{H,\gamma} - q_{\theta_1})^+ \right] + \sum_{\gamma \in \Gamma_{\theta_2}(j, s_j)} \frac{1}{|\Gamma_{\theta_2}(j, s_j)|} \left[ b(q_{\theta_2} - a_{H,\gamma})^+ + (a_{H,\gamma} - q_{\theta_2})^+ \right]$

5. 计算实验

我们在计算机（Apple M4 Pro-24 GB）上进行计算实验。我们使用自建的Python类实现了RF-t、RF-1、RF-2和RF-3模型。燃料选择优化模型使用Python调用CPLEX 22.1.1.0进行编程实现。

5.1 实验设置

首先，第5.1.1节介绍了用于构建预测模型的数据。随后，第5.1.2节描述了燃料选择优化模型的参数值。

5.1.1 预测模型数据描述

本研究使用了Viga等人（2025）介绍的公开数据集中的真实世界数据，其中包括邮轮CPS Poseidon一整年的运营数据，该邮轮总吨位为70,000吨。该邮轮以HFO为动力。数据采集过程的采样间隔为五分钟。在每个采样间隔采集两类数据：（i）邮轮运行数据，如地速、水速、航向、燃料消耗和螺旋桨轴功率；以及（ii）环境数据，如海底深度、气温、风速、风向、日照时长、波高、洋流方向和洋流速度。表1列出了本研究使用的变量及其定义。前10个变量用作随机森林模型的输入特征，因为它们与邮轮HFO消耗率高度相关（Viga et al., 2025）。最后一个变量为预测输出。

表1. 随机森林模型中的变量。

| 变量 | 说明 | 单位 |
|------|------|------|
| 船舶地速 | 船舶相对于地球表面的速度 | m/s |
| 海底深度 | 海图深度 | m |
| 气温 | 离地2米处的气温 | 摄氏度 |
| 风速 | 离地10米处的风速 | m/s |
| 风向 | 离地10米处的风向 | 度 |
| 波向 | 有效波的均值方向 | 度 |
| 波高 | 有效波的均值高度 | m |
| 波周期 | 连续有效波之间的时间间隔 | s |
| 洋流方向 | 洋流流动的方向 | 度 |
| 洋流速度 | 洋流的速度 | m/s |
| 瞬时燃料消耗 | 每秒总燃料消耗量 | kg/s |

邮轮的初始数据集包含105,422个样本。在移除因测量误差或近海地区天气数据缺失而含缺失值的样本后，我们获得102,508个完整样本。

此外，由于本研究聚焦于正常航行运营期间的能耗预测，我们排除了船速低于五节（kn）的示例（Yan et al., 2020a），这些示例主要对应于船舶在港口附近的运营，其能耗模式与常规巡航条件存在显著差异。因此，保留了60,699个符合条件的示例。接下来，我们将风、浪和洋流的绝对地理方向转换为邮轮的局部坐标系，使随机森林（RF）模型能够更容易地学习环境条件与重油（HFO）消耗率之间的关系。如图2所示，风向的这一关键转换是通过用风的方向（相对于正北的角度）减去船的航向来实现的。然后，如果所得差值为负数，我们加上360度以在0到360度的范围内获得最终的相对方向。浪和洋流从绝对方向到相对方向的转换遵循相同的规则。此外，对所有输入特征进行Z分数标准化，以确保随机森林模型能够公平地评估每个输入特征的影响。上述预处理步骤生成了包含60,699个示例的预处理数据集。随后，我们从预处理数据集中随机选取3,000个示例用于预测性能评估实验。我们随机将70%（即2,100个示例）和15%（即450个示例）的示例分别分配给构建随机森林模型时使用的训练集和验证集。剩余的15%（即450个示例）作为测试集用于评估随机森林模型的预测性能。在超参数方面，我们将|T|固定为200（Tian et al., 2023）。另外三个超参数——max_depth、min_sample_leaf和σ需要调优。这三个超参数的搜索值见表2。此外，在计算实验中，b设为0.5。

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图2. 相对方向转换。

表2. 超参数搜索值。

| 超参数 | 搜索值 |
|---|---|
| max_depth | {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} |
| min_sample_leaf | {2, 3, 4, 5, 6, 7} |
| σ | {4, 5, 6, 7, 8, 9} |

**5.1.2 燃料选择优化模型的参数设置**

我们考虑一艘在热门地中海航线运营的邮轮。该船在一年内完成5次、15次或25次往返航行。各挂靠港口（Goldjoy Holidays, 2025）和各航段的航行距离（Sea-distances, 2025）汇总见表3。船舶以20节的速度航行（MSN, 2025）。根据IMO (2021, 2022b, 2022c)，我们将2029年该邮轮C级和D级评级的实现CII上限分别设为1.06×(1?23%)×930×70,000^(?0.383)≈10.58和1.16×(1?23%)×930×70,000^(?0.383)≈11.58。CII法规未明确2026年之后的减排因子，因此本研究假设2026年后减排因子每年增加4%。基于这一假设，2029年的减排因子为23%。D级和E级评级的年度罚款成本分别设为800,000美元和1,500,000美元。

表3. 各航段航行距离。

| 出发地 | 目的地 | 航行距离（海里） |
|---|---|---|
| 西班牙巴塞罗那 | 西班牙马略卡岛帕尔马 | 133 |
| 西班牙马略卡岛帕尔马 | 法国马赛 | 289 |
| 法国马赛 | 意大利拉斯佩齐亚 | 228 |
| 意大利拉斯佩齐亚 | 意大利奇维塔韦基亚 | 154 |
| 意大利奇维塔韦基亚 | 意大利那不勒斯 | 147 |
| 意大利那不勒斯 | 西班牙巴塞罗那 | 555 |

从2024年11月1日至2025年10月30日，鹿特丹港重油（HFO）的平均价格为436.5美元/吨（S&B, 2025c）。因此，重油单价设为436.5美元/吨。同样，液化天然气（LNG）单价设为791美元/吨，与2024年11月1日至2025年10月30日鹿特丹港LNG的平均价格一致（S&B, 2025c）。从HFO质量到CO?质量的转换因子设为3.114吨CO?/吨HFO，从LNG质量到CO?质量的转换因子设为2.750吨CO?/吨LNG（IMO, 2018）。根据IMO (2018)，HFO和LNG的低位热值分别为40,200 kJ/kg和48,000 kJ/kg。因此，a_{i,L}可基于a_{i,H}通过公式a_{i,L}=40,200×a_{i,H}/48,000推导得出。类似地，a_{i,L}可基于a_{i,H}通过公式a_{i,L}=40,200×a_{i,H}/48,000推导得出。

**5.2 预测性能**

本节使用邮轮的历史运营和环境数据评估四个随机森林模型（即RF-t、RF-1、RF-2和RF-3模型）的预测性能。首先，根据5.1.1节中给出的超参数搜索值，我们在训练集上依次训练预测模型。如4.4节所述，通过最小化SSE或期望ALM来确定每个随机森林模型的最佳超参数组合。具体而言，RF-t、RF-2和RF-3模型的超参数选择标准采用验证集的SSE，而RF-1模型的超参数选择标准采用验证集中所有示例的期望ALM。不同随机森林模型的最佳超参数组合见表4。可以看出，四个随机森林模型中max_depth和|T|的最佳值相同，而min_sample_leaf和σ（即每个叶节点中考虑的特征数）的最佳值不同。

表4. RF-t、RF-1、RF-2和RF-3模型的最佳超参数组合。

| 模型 | max_depth | min_sample_leaf | |T| | σ |
|---|---|---|---|---|
| RF-t | 8 | 2 | 200 | 7 |
| RF-1 | 8 | 2 | 200 | 8 |
| RF-2 | 8 | 2 | 200 | 7 |
| RF-3 | 8 | 7 | 200 | 7 |

在以下实验中，我们将训练集和验证集合并为一个新集合，称为合并集。使用合并集，我们根据相应的最佳超参数组合重新训练RF-t、RF-1、RF-2和RF-3模型。表5展示了四个随机森林模型在合并集和测试集上的预测性能。CPU时间表示在找到最佳超参数后使用合并集重建随机森林模型所需的计算时间。在CPU时间方面，RF-3模型最快（67.95秒），而RF-1模型最慢（121.49秒），比RF-3模型多消耗约1.8倍的CPU时间。ALM之和表示对应集合中每个示例γ的ALM_γ的总和。对于合并集，RF-1、RF-2和RF-t模型具有相同的MSE（0.00）和MAE（0.03）。RF-2模型的ALM之和最低（59.54）。RF-3模型在所有指标上均表现出最大的预测误差，MSE、MAE和ALM之和分别达到0.01、0.06和115.30。对于测试集，RF-2模型的ALM之和（14.89）略低于RF-1模型（14.97），且两个模型的ALM之和均低于RF-t模型（15.09）。RF-1、RF-2、RF-3和RF-t模型的MSE相同（0.01）。RF-1、RF-2和RF-t模型的MAE相同（0.04）。然而，RF-3模型在MAE（0.07）和ALM之和（22.14）上产生了最大值。因此，RF-1和RF-2模型展现出最佳的预测性能，其次是RF-t模型。RF-3模型的预测性能低于其他模型，因为RF-3模型采用了最小化ALM型损失函数的分割准则，这是一种贪心分割策略，导致输出目标值中出现相对较大的预测误差。

表5. 四个随机森林模型使用真实数据集的预测性能。

| | RF-t | RF-1 | RF-2 | RF-3 |
|---|---|---|---|---|
| CPU时间（秒） | 106.56 | 121.49 | 108.05 | 67.95 |
| **合并集** | | | | |
| MSE | 0.00 | 0.00 | 0.00 | 0.01 |
| MAE | 0.03 | 0.03 | 0.03 | 0.06 |
| ALM之和 | 60.44 | 59.78 | 59.54 | 115.30 |
| **测试集** | | | | |
| MSE | 0.01 | 0.01 | 0.01 | 0.01 |
| MAE | 0.04 | 0.04 | 0.04 | 0.07 |
| ALM之和 | 15.09 | 14.97 | 14.89 | 22.14 |

**5.3 决策性能**

为验证RF-t、RF-1、RF-2和RF-3模型的决策性能，我们进行了5次、15次和25次往返航行的实验，分别对应30个、90个和150个航段。回顾一下，船舶的航行速度为20节。因此，利用预处理数据集中原始船速在19.9至20.1节范围内的所有示例，我们为每种规模随机生成了10个实例。通过将预测的燃料消耗率输入燃料选择优化模型，我们获得了每个航段的燃料选择决策。表6展示了基于四个随机森林模型预测的燃料选择决策所产生的实际年度总成本及其相对差异。

表6. 四个随机森林模型的决策性能。

| 航段数 | 编号 | RF-t成本（美元） | | RF-1成本（美元） | 差距1（%） | | RF-2成本（美元） | 差距2（%） | | RF-3成本（美元） | 差距3（%） |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 30 | 1 | 1,037,011 | | 1,035,413 | ?0.15 | | 1,802,250 | 73.79 | | 1,789,885 | 72.60 |
| | 2 | 1,057,600 | | 1,057,056 | ?0.05 | | 1,057,083 | ?0.05 | | 1,044,336 | ?1.25 |
| | 3 | 969,401 | | 971,330 | 0.20 | | 967,567 | ?0.19 | | 969,104 | ?0.03 |
| | 4 | 1,014,246 | | 1,012,011 | ?0.22 | | 1,015,999 | 0.17 | | 1,004,249 | ?0.99 |
| | 5 | 1,873,248 | | 1,152,000 | ?38.50 | | 1,150,011 | ?38.61 | | 1,923,130 | 2.66 |
| | 6 | 1,010,631 | | 1,004,880 | ?0.57 | | 1,006,381 | ?0.42 | | 1,792,696 | 77.38 |
| | 7 | 1,034,090 | | 1,034,553 | 0.04 | | 1,035,248 | 0.11 | | 1,058,455 | 2.36 |
| | 8 | 1,833,102 | | 1,161,619 | ?36.63 | | 1,158,905 | ?36.78 | | 1,923,974 | 4.96 |
| | 9 | 1,832,356 | | 1,832,182 | ?0.01 | | 1,068,489 | ?41.69 | | 1,823,816 | ?0.47 |
| | 10 | 1,846,100 | | 1,048,922 | ?43.18 | | 1,049,575 | ?43.15 | | 1,772,758 | ?3.97 |
| | 平均 | 1,350,779 | | 1,130,997 | ?16.27 | | 1,131,151 | ?16.26 | | 1,510,240 | 11.81 |
| 90 | 1 | 3,968,275 | | 3,915,376 | ?1.33 | | 3,971,124 | 0.07 | | 3,876,631 | ?2.31 |
| | 2 | 4,015,055 | | 4,015,045 | 0.00 | | 4,020,595 | 0.14 | | 3,915,629 | ?2.48 |
| | 3 | 3,056,453 | | 3,055,016 | ?0.05 | | 3,056,574 | 0.00 | | 3,852,792 | 26.05 |
| | 4 | 3,948,820 | | 3,153,612 | ?20.14 | | 3,155,138 | ?20.10 | | 3,762,493 | ?4.72 |
| | 5 | 3,796,481 | | 3,890,591 | 2.48 | | 3,127,046 | ?17.63 | | 3,924,693 | 3.38 |
| | 6 | 4,016,214 | | 3,250,526 | ?19.06 | | 3,248,320 | ?19.12 | | 4,014,164 | ?0.05 |
| | 7 | 3,955,853 | | 3,223,680 | ?18.51 | | 3,209,992 | ?18.85 | | 3,943,722 | ?0.31 |
| | 8 | 3,862,341 | | 3,829,350 | ?0.85 | | 3,862,069 | ?0.01 | | 3,088,654 | ?20.03 |
| | 9 | 3,125,887 | | 3,919,649 | 25.39 | | 3,123,472 | ?0.08 | | 3,869,048 | 23.77 |
| | 10 | 3,874,761 | | 3,076,145 | ?20.61 | | 3,873,757 | ?0.03 | | 3,089,907 | ?20.26 |
| | 平均 | 3,762,014 | | 3,532,899 | ?6.09 | | 3,464,809 | ?7.90 | | 3,733,773 | ?0.75 |
| 150 | 1 | 5,361,152 | | 5,979,911 | 11.54 | | 6,114,079 | 14.04 | | 5,357,031 | ?0.08 |
| | 2 | 5,719,130 | | 5,825,134 | 1.85 | | 5,082,189 | ?11.14 | | 5,077,296 | ?11.22 |
| | 3 | 6,003,427 | | 5,322,660 | ?11.34 | | 6,004,603 | 0.02 | | 6,088,699 | 1.42 |
| | 4 | 5,352,231 | | 5,351,449 | ?0.01 | | 5,355,146 | 0.05 | | 5,965,823 | 11.46 |
| | 5 | 5,006,979 | | 4,990,874 | ?0.32 | | 4,996,598 | ?0.21 | | 4,999,207 | ?0.16 |
| | 6 | 5,112,481 | | 5,842,699 | 14.28 | | 5,114,412 | 0.04 | | 5,832,606 | 14.09 |
| | 7 | 6,080,396 | | 5,280,798 | ?13.15 | | 6,080,462 | 0.00 | | 5,284,412 | ?13.09 |
| | 8 | 6,155,332 | | 5,401,227 | ?12.25 | | 5,400,691 | ?12.26 | | 6,047,021 | ?1.76 |
| | 9 | 6,167,368 | | 6,168,468 | 0.02 | | 6,097,976 | ?1.13 | | 5,917,701 | ?4.05 |
| | 10 | 5,652,933 | | 4,950,190 | ?12.43 | | 4,945,654 | ?12.51 | | 4,938,515 | ?12.64 |
| | 平均 | 5,661,143 | | 5,511,341 | ?2.65 | | 5,519,181 | ?2.51 | | 5,550,831 | ?1.95 |

注：(i) "RF-t成本"、"RF-1成本"、"RF-2成本"和"RF-3成本"分别表示基于RF-t、RF-1、RF-2和RF-3模型预测的燃料消耗率计算得出的船舶年度总成本；(ii) 差距1=(RF-1成本?RF-t成本)/RF-t成本×100，差距2=(RF-2成本?RF-t成本)/RF-t成本×100，差距3=(RF-3成本?RF-t成本)/RF-t成本×100。

对于30航段实例，基于RF-3模型预测的燃料消耗率得出的平均年度总成本比基于RF-t模型的成本高出11.81%。这主要是由于RF-3模型的预测精度较低。然而，随着航段数的增加，RF-3模型相对于RF-t模型的优势逐渐显现。与RF-t模型相比，由于RF-3模型的ALM型损失函数与长期滚动决策机制协同作用的效益，RF-3模型在90航段实例和150航段实例中分别实现了平均年度总成本0.75%和1.95%的降低。具体而言，RF-3模型采用了ALM型损失函数，导致较低的罚款成本。虽然RF-3模型的预测精度较低，但滚动决策机制提供了更大的灵活性，使运营商能够在较长的航程中根据已完成航段的实际燃料消耗率持续调整后续航段的燃料选择，从而有效抵消了RF-3模型预测误差的不利影响。此外，使用RF-1和RF-2模型获得的平均年度总成本均低于使用RF-t模型获得的平均年度总成本，突显了RF-1和RF-2模型相对于RF-t模型的稳健优势。这是因为RF-1模型基于ALM选择最佳超参数向量，而RF-2模型在节点中输出最小化期望ALM的值，实现了较高的预测精度，并且在出现预测误差时表现出倾向于高估的趋势。具体而言，RF-1模型对应的平均年度总成本在30航段、90航段和150航段实例中分别比RF-t模型低16.27%、6.09%和2.65%。RF-2模型对应的平均年度总成本在30航段、90航段和150航段实例中分别比RF-t模型低16.26%、7.90%和2.51%。总体而言，推荐使用RF-2模型作为首选方法。尽管RF-1模型在30航段和150航段实例中的表现优于RF-2模型，但差异微乎其微。相比之下，RF-2模型在90航段实例中实现了大幅度的成本降低。

**5.4 与其他基准方法的比较**

在本小节中，基于90航段的10个实例，我们与四个额外的基准方法进行了对比实验，以评估所提出的RF-1、RF-2和RF-3模型的有效性。在这四个额外的基准方法中，航段i上的LNG消耗率可以通过线性变换从航段i上的HFO消耗率获得，这与随机森林模型类似。

**5.4.1 与阈值策略的比较**

为了与当前行业中采用的实践进行对比，我们引入了一种实用的阈值策略作为基准方法。我们将阈值定义为船舶评级为C或更高时允许的最大CO?排放量80%，即0.8·g_C·w·∑_{i∈I} d_i。阈值策略规定，船舶从航段1开始使用HFO驱动。一旦已完成航段的累积CO?排放量首次超过阈值，则所有后续航段均切换为使用LNG。

表7展示了阈值策略、RF-1模型、RF-2模型和RF-3模型的对比结果。结果表明，所提出的RF-1、RF-2和RF-3模型实现的平均年度总成本分别比阈值策略低6.49%、8.29%和1.17%，展示了所提出的随机森林模型在降低航运公司成本方面的优势。虽然阈值策略易于实施，但它在利用历史数据中嵌入的燃料消耗信息方面存在不足。

表7。

所提出模型与阈值策略的比较。

ID | 阈值策略 | RF-1 | RF-2 | RF-3
---|---|---|---|---
Costthre (USD) | | CostRF-1 (USD) | Gap1 (%) | CostRF-2 (USD) | Gap2 (%) | CostRF-3 (USD) | Gap3 (%)
1 | 3,791,600 | 3,915,376 | 3.26 | 3,971,124 | 4.73 | 3,876,631 | 2.24
2 | 3,805,342 | 4,015,045 | 5.51 | 4,020,595 | 5.66 | 3,915,629 | 2.90
3 | 3,735,806 | 3,055,016 | ?18.22 | 3,056,574 | ?18.18 | 3,852,792 | 3.13
4 | 3,790,812 | 3,153,612 | ?16.81 | 3,155,138 | ?16.77 | 3,762,493 | ?0.75
5 | 3,764,362 | 3,890,591 | 3.35 | 3,127,046 | ?16.93 | 3,924,693 | 4.26
6 | 3,838,451 | 3,250,526 | ?15.32 | 3,248,320 | ?15.37 | 4,014,164 | 4.58
7 | 3,822,872 | 3,223,680 | ?15.67 | 3,209,992 | ?16.03 | 3,943,722 | 3.16
8 | 3,726,918 | 3,829,350 | 2.75 | 3,862,069 | 3.63 | 3,088,654 | ?17.13
9 | 3,765,716 | 3,919,649 | 4.09 | 3,123,472 | ?17.06 | 3,869,048 | 2.74
10 | 3,739,404 | 3,076,145 | ?17.74 | 3,873,757 | 3.59 | 3,089,907 | ?17.37
Avg. | 3,778,128 | 3,532,899 | ?6.49 | 3,464,809 | ?8.29 | 3,733,773 | ?1.17

注：(i)“Costthre”表示通过阈值策略获得的船舶年度总成本。“CostRF-1”、“CostRF-2”和“CostRF-3”分别表示基于RF-1、RF-2和RF-3模型预测的燃油消耗率计算的船舶年度总成本；(ii) Gap1=(CostRF-1?Costthre)/Costthre×100，Gap2=(CostRF-2?Costthre)/Costthre×100，Gap3=(CostRF-3?Costthre)/Costthre×100。

5.4.2. 与两种传统预测-优化方法的比较

接下来，我们将所提出的RF-1、RF-2和RF-3模型与两种传统预测-优化（PO）方法进行比较。第一种PO方法是以船速v下的历史平均重油（HFO）消耗率作为各航段的预测HFO消耗率，并基于平均燃油消耗率建立燃油选择优化模型[M2]，详见附录A。由于船舶航行速度为20节，历史平均HFO消耗率由预处理数据集中原始船速在19.9至20.1节之间的样本得出。表8的比较结果显示，相对于基于平均燃油消耗率的PO方法，RF-1和RF-2模型的年度总成本平均节约分别为0.42%和2.34%，而RF-3模型的年度总成本平均高出5.24%。基于平均燃油消耗率的PO方法忽略了由船舶不同环境因素和运营因素引起的燃油消耗率变化，因此表现不佳。相比之下，RF-1和RF-2模型考虑了变化的环境和运营因素，能够更好捕捉航程中的变异性。因此，RF-1和RF-2模型均实现了年度总成本的降低。虽然RF-3模型也考虑了环境和运营因素，但其预测误差削弱了其决策质量，导致年度总成本高于基于平均燃油消耗率的PO方法。

表8. 所提出模型与基于平均燃油消耗率的PO方法的比较。

ID | 平均消耗率 | RF-1 | RF-2 | RF-3
---|---|---|---|---
Costave (USD) | | CostRF-1 (USD) | Gap1 (%) | CostRF-2 (USD) | Gap2 (%) | CostRF-3 (USD) | Gap3 (%)
1 | 3,962,919 | 3,915,376 | ?1.20 | 3,971,124 | 0.21 | 3,876,631 | ?2.18
2 | 3,986,463 | 4,015,045 | 0.72 | 4,020,595 | 0.86 | 3,915,629 | ?1.78
3 | 3,105,857 | 3,055,016 | ?1.64 | 3,056,574 | ?1.59 | 3,852,792 | 24.05
4 | 3,948,303 | 3,153,612 | ?20.13 | 3,155,138 | ?20.09 | 3,762,493 | ?4.71
5 | 3,133,764 | 3,890,591 | 24.15 | 3,127,046 | ?0.21 | 3,924,693 | 25.24
6 | 3,995,467 | 3,250,526 | ?18.64 | 3,248,320 | ?18.70 | 4,014,164 | 0.47
7 | 3,990,260 | 3,223,680 | ?19.21 | 3,209,992 | ?19.55 | 3,943,722 | ?1.17
8 | 3,096,637 | 3,829,350 | 23.66 | 3,862,069 | 24.72 | 3,088,654 | ?0.26
9 | 3,140,088 | 3,919,649 | 24.83 | 3,123,472 | ?0.53 | 3,869,048 | 23.21
10 | 3,119,384 | 3,076,145 | ?1.39 | 3,873,757 | 24.18 | 3,089,907 | ?0.94
Avg. | 3,547,914 | 3,532,899 | ?0.42 | 3,464,809 | ?2.34 | 3,733,773 | 5.24

注：(i)“Costave”表示通过基于平均燃油消耗率的PO方法获得的船舶年度总成本。“CostRF-1”、“CostRF-2”和“CostRF-3”分别表示基于RF-1、RF-2和RF-3模型预测的燃油消耗率计算的船舶年度总成本；(ii) Gap1=(CostRF-1?Costave)/Costave×100，Gap2=(CostRF-2?Costave)/Costave×100，Gap3=(CostRF-3?Costave)/Costave×100。

第二种PO方法基于XGBoost算法和滚动燃油选择优化模型[M1i]。使用XGBoost算法预测HFO消耗率，然后通过依次求解模型[M1i]（i∈I）确定每个航段所使用的燃油。将10个实例的年度总成本取平均值。如表9所示，与XGBoost算法相比，RF-1和RF-2模型的年度总成本分别降低了2.12%和4.00%，而RF-3模型的年度总成本高出3.45%。这是因为RF-1和RF-2模型考虑了下游燃油选择优化问题的特性，并将决策者对低估误差的更强厌恶纳入预测过程。虽然RF-3模型也考虑了对高估误差和低估误差的非对称厌恶，但其预测误差大于RF-1和RF-2模型，因此导致年度总成本更高。

表9. 所提出模型与基于XGBoost的PO方法的比较。

ID | XGBoost | RF-1 | RF-2 | RF-3
---|---|---|---|---
CostXGBoost (USD) | | CostRF-1 (USD) | Gap1 (%) | CostRF-2 (USD) | Gap2 (%) | CostRF-3 (USD) | Gap3 (%)
1 | 3,960,852 | 3,915,376 | ?1.15 | 3,971,124 | 0.26 | 3,876,631 | ?2.13
2 | 3,969,502 | 4,015,045 | 1.15 | 4,020,595 | 1.29 | 3,915,629 | ?1.36
3 | 3,056,817 | 3,055,016 | ?0.06 | 3,056,574 | ?0.01 | 3,852,792 | 26.04
4 | 3,944,117 | 3,153,612 | ?20.04 | 3,155,138 | ?20.00 | 3,762,493 | ?4.60
5 | 3,893,254 | 3,890,591 | ?0.07 | 3,127,046 | ?19.68 | 3,924,693 | 0.81
6 | 4,043,633 | 3,250,526 | ?19.61 | 3,248,320 | ?19.67 | 4,014,164 | ?0.73
7 | 3,214,851 | 3,223,680 | 0.27 | 3,209,992 | ?0.15 | 3,943,722 | 22.67
8 | 3,064,885 | 3,829,350 | 24.94 | 3,862,069 | 26.01 | 3,088,654 | 0.78
9 | 3,123,772 | 3,919,649 | 25.48 | 3,123,472 | ?0.01 | 3,869,048 | 23.86
10 | 3,821,106 | 3,076,145 | ?19.50 | 3,873,757 | 1.38 | 3,089,907 | ?19.14
Avg. | 3,609,279 | 3,532,899 | ?2.12 | 3,464,809 | ?4.00 | 3,733,773 | 3.45

注：(i)“CostXGBoost”表示通过基于XGBoost的PO方法获得的船舶年度总成本。“CostRF-1”、“CostRF-2”和“CostRF-3”分别表示基于RF-1、RF-2和RF-3模型预测的燃油消耗率计算的船舶年度总成本；(ii) Gap1=(CostRF-1?CostXGBoost)/CostXGBoost×100，Gap2=(CostRF-2?CostXGBoost)/CostXGBoost×100，Gap3=(CostRF-3?CostXGBoost)/CostXGBoost×100。

5.4.3. 与多阶段随机规划模型的比较

我们将所提出的RF-1、RF-2和RF-3模型与MSP方法进行*'，详见附录B。首先将预处理数据集中原始船速在19.9至20.1节之间的样本的历史HFO消耗率聚类为三组。每个聚类的概率通过其在历史数据中的相对频率估计。每个聚类的代表性HFO消耗率由聚类均值给出。假设不同航段的HFO消耗率相互独立。为避免枚举所有可能的情景，采用样本均值近似方法。我们随机生成500个情景，用于近似MSP模型中的预期年度总成本。每个采样情景通过根据聚类概率为每个航段抽取一个聚类来构建。表10显示，所提出的RF-1、RF-2和RF-3模型产生的年度总成本分别比MSP模型低7.44%、9.22%和2.17%。所提出的RF模型优于MSP模型，因为所提出的RF模型利用了与燃油消耗率相关的环境和运营因素，如温度、风向、波向和对地船速。

表10. 所提出模型与MSP模型的比较。

ID | MSP | RF-1 | RF-2 | RF-3
---|---|---|---|---
CostMSP (USD) | | CostRF-1 (USD) | Gap1 (%) | CostRF-2 (USD) | Gap2 (%) | CostRF-3 (USD) | Gap3 (%)
1 | 3,931,401 | 3,915,376 | ?0.41 | 3,971,124 | 1.01 | 3,876,631 | ?1.39
2 | 3,896,220 | 4,015,045 | 3.05 | 4,020,595 | 3.19 | 3,915,629 | 0.50
3 | 3,853,464 | 3,055,016 | ?20.72 | 3,056,574 | ?20.68 | 3,852,792 | ?0.02
4 | 3,945,324 | 3,153,612 | ?20.07 | 3,155,138 | ?20.03 | 3,762,493 | ?4.63
5 | 3,861,533 | 3,890,591 | 0.75 | 3,127,046 | ?19.02 | 3,924,693 | 1.64
6 | 3,961,109 | 3,250,526 | ?17.94 | 3,248,320 | ?17.99 | 4,014,164 | 1.34
7 | 3,966,481 | 3,223,680 | ?18.73 | 3,209,992 | ?19.07 | 3,943,722 | ?0.57
8 | 3,108,276 | 3,829,350 | 23.20 | 3,862,069 | 24.25 | 3,088,654 | ?0.63
9 | 3,875,078 | 3,919,649 | 1.15 | 3,123,472 | ?19.40 | 3,869,048 | ?0.16
10 | 3,768,992 | 3,076,145 | ?18.38 | 3,873,757 | 2.78 | 3,089,907 | ?18.02
Avg. | 3,816,788 | 3,532,899 | ?7.44 | 3,464,809 | ?9.22 | 3,733,773 | ?2.17

注：(i)“CostMSP”表示通过MSP模型获得的船舶年度总成本。“CostRF-1”、“CostRF-2”和“CostRF-3”分别表示基于RF-1、RF-2和RF-3模型预测的燃油消耗率计算的船舶年度总成本；(ii) Gap1=(CostRF-1?CostMSP)/CostMSP×100，Gap2=(CostRF-2?CostMSP)/CostMSP×100，Gap3=(CostRF-3?CostMSP)/CostMSP×100。

5.5. 敏感性分析

参数b反映了决策者对高估误差和低估误差的非对称厌恶程度。为了分析b的影响，我们在敏感性分析中将b从0.1变化到0.9。我们使用不同的b值训练RF-1、RF-2和RF-3模型并调整超参数。结果显示，对于每个RF模型，当b变化时，最佳超参数组合保持不变。使用各自最佳超参数组合，基于合并数据集重新训练不同b值下的RF-1、RF-2和RF-3模型。表11展示了不同b值下RF-1、RF-2和RF-3模型在合并数据集和测试数据集上的预测性能。可以观察到，在所提出的三种RF模型中，MSE、MAE和ALM总和均表现出一致的**势。具体而言，随着b的增加，MSE和MAE保持不变，而ALM总和增加。

表11. 不同b值下所提出RF模型的预测性能。

模型 | b | CPU时间(s) | 合并数据集（MSE | MAE | ALM总和） | 测试数据集（MSE | MAE | ALM总和）
---|---|---|---|---|---|---|---|---
RF-1 | 0.1 | 124.56 | 0.00 | 0.03 | 43.61 | 0.01 | 0.04 | 10.90
RF-1 | 0.3 | 121.33 | 0.00 | 0.03 | 51.70 | 0.01 | 0.04 | 12.93
RF-1 | 0.5 | 121.49 | 0.00 | 0.03 | 59.78 | 0.01 | 0.04 | 14.97
RF-1 | 0.7 | 125.19 | 0.00 | 0.03 | 67.87 | 0.01 | 0.04 | 17.00
RF-1 | 0.9 | 121.88 | 0.00 | 0.03 | 75.95 | 0.01 | 0.04 | 19.04
RF-2 | 0.1 | 108.32 | 0.00 | 0.03 | 43.04 | 0.01 | 0.04 | 10.75
RF-2 | 0.3 | 108.38 | 0.00 | 0.03 | 51.29 | 0.01 | 0.04 | 12.82
RF-2 | 0.5 | 108.05 | 0.00 | 0.03 | 59.54 | 0.01 | 0.04 | 14.89
RF-2 | 0.7 | 109.54 | 0.00 | 0.03 | 67.79 | 0.01 | 0.04 | 16.95
RF-2 | 0.9 | 108.60 | 0.00 | 0.03 | 76.05 | 0.01 | 0.04 | 19.02
RF-3 | 0.1 | 66.68 | 0.01 | 0.06 | 84.45 | 0.01 | 0.07 | 16.04
RF-3 | 0.3 | 67.16 | 0.01 | 0.06 | 99.85 | 0.01 | 0.07 | 19.10
RF-3 | 0.5 | 67.95 | 0.01 | 0.06 | 115.30 | 0.01 | 0.07 | 22.14
RF-3 | 0.7 | 68.01 | 0.01 | 0.06 | 130.68 | 0.01 | 0.07 | 25.19
RF-3 | 0.9 | 66.45 | 0.01 | 0.06 | 146.02 | 0.01 | 0.07 | 28.21

然后，基于90航段实例（标记为ID 4），比较不同b值下RF-1、RF-2和RF-3模型产生的船舶年度总成本。如图3所示，所提出的RF-1、RF-2和RF-3模型在不同b值下表现出极大的稳定性。具体而言，增加b不影响RF-1和RF-2模型相关的船舶年度总成本，并仅导致RF-3模型相关的船舶年度总成本出现轻微变化。这是因为虽然b的变化会修改分配给高估误差和低估误差的相对惩罚，并可能影响预测的燃油消耗率，但下游燃油选择优化模型对预测燃油消耗率的扰动在某一范围内具有较强的鲁棒性。

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图3. 不同b值下基于RF-1、RF-2和RF-3模型预测的燃油消耗率计算的年度总成本比较。

6. 结论

本研究探讨了双燃料船舶的燃油选择问题，旨在最小化年度总成本，该成本由重油（HFO）和液化天然气（LNG）的燃油成本以及因不遵守CII政策而产生的惩罚成本组成。HFO和LNG均可作为船舶动力燃料，但单价和产生的CO2排放量各不相同。通常HFO更便宜，但LNG更环保，燃烧时排放的CO2更少。因此，平衡燃油成本与船舶CO2排放之间的取舍至关重要。

当前关于优化船舶运营以减少CO2排放的研究通常将燃油消耗率视为已知且固定的，忽略了不同航段间燃油消耗率的变化。因此，这些研究中获得的运营决策不一定是最优的。在本研究中，船舶燃油消耗率基于多种运营和环境特征进行预测，如对地船速、风速和风向、波高和波向等。在传统PO框架中，第一阶段的主要目标是最小化预测误差，而不考虑预测结果如何在下游优化问题中应用。预测结果中的误差不可避免地传递到后续优化问题中，可能导致第二阶段决策不满意（Yan和Wang, 2022）。为了使预测的燃油消耗率更好地服务于下游燃油选择优化模型，我们提出了一种新的ALM，该ALM考虑了决策者对高估误差和低估误差的非对称厌恶，并开发了三种不同程度融合ALM的基于SPO的方法。基于预测的燃油消耗率，燃油选择优化模型采用滚动时域方法求解，动态调整后续航段的决策并减少预测误差的不利影响。使用真实世界数据进行了实验。所提出的三种RF方法针对五种基准方法进行了评估，即传统RF方法、阈值策略、基于平均燃油消耗率的PO方法、基于XGBoost的PO方法和MSP方法，结果验证了所提出的RF-1、RF-2和RF-3方法的有效性。我们进一步分析了表征决策者对高估误差和低估误差的非对称厌恶程度的参数b的影响。敏感性分析表明，所提出的三种RF模型在不同b值下具有极大的稳定性。

本研究可在几个方向上扩展。首先，除了使用RF的基于SPO的方法外，未来研究可以将基于SPO的方法与其他机器学习方法相结合，如深度学习方法（Yang等，2024a）。此外，在优化燃油选择计划的同时，可以考虑额外因素（如加油港的限制（Wu等，2024）和油箱容量（Tian等，2025））来改进燃油加注策略，为航运公司提供更具实际意义的决策支持。

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张宏宇：审稿与编辑、初稿撰写、可视化、验证、软件、资源、方法论、调查研究、形式分析、数据整理、概念化。
杨英：审稿与编辑、初稿撰写、监督指导、方法论、调查研究、数据整理、概念化。
王帅安：审稿与编辑、初稿撰写、监督指导、项目管理、调查研究、经费获取、概念化。

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