携带单极子或偶极子的一般结点的费米弧

《Annals of Physics》：Fermi arcs for generic nodal points hosting monopoles or dipoles

　　

# 摘要

以费米弧形式出现的表面局域态出现在三维拓扑半金属与其周围真空之间的界面处，作为动量空间拓扑的主要特征信号，可被现代光谱方法所探测。这些费米弧通过其几何特性编码了拓扑奇点——即多个能带汇聚的节点——的信息。具体而言，费米弧在费米面投影的边缘以切线方式终止，界定了表面模式转变为体扩展态的位置。每个节点处费米弧的重数直接对应于底层的拓扑荷（贝里曲率单极子的量级），从而为通过角分辨光电子能谱实验探究动量空间不变量提供了一个窗口。本研究建立了一套系统的计算框架，用于求解适用于任意节点简并度和能带色散的表面态构型，具体包括：(1) 具有二重至多重量能带重数的节点；(2) 展现多样动量依赖模式的能带，包括线性、非线性、各向同性和各向异性情形。我们额外考察了拓扑上不同的节点类型，其中单极子荷为零但出现偶极型贝里曲率分布，阐明了此类非传统场景下表面态的全貌。

# 引言

布里渊区（BZ）中包含简并点的三维（3d）半金属——即(2?+1)条能带汇聚的点——为观测凝聚态系统中嵌入的拓扑概念提供了试验平台[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10]。在节点附近，有效低能带结构遵循d(k)?S的形式，其中d(k)={dx(k),dy(k),dz(k)}。这里k={kx,ky,kz}表示三维布里渊区中的动量坐标，S是分量{Sx,Sy,Sz}充当角动量算符的矢量算符。能带本征值范围从??到?，作为赝旋量子数，有别于电子的内禀自旋。外尔半金属（WSMs）[1], [3], [5]中的各向同性外尔节点是?=1/2的最简单情形。人们已发现并表征了高赝旋类比：三重节点半金属（?=1）和拉瑞塔-施温格-外尔（RSW）节点（?=3/2）[7], [9], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18]。拓扑特征源于贝里相位效应：闭合环路几何相位的积累在动量空间中产生矢量场，包括贝里曲率（BC）和轨道磁矩。节点作为BC场的拓扑缺陷——源和汇——发挥着作用[参见图1(b)]。BC奇点的强度通过包围节点的任何二维曲面上的陈数（C）来量化。理论进展现已超越简单单极子构型，揭示节点可展现出高阶多极子特征[19], [20], [21], [22]（如偶极子和四极子），呼应经典静电学中的多极子层级。

动量空间拓扑表现在许多可通过当代技术测量的实验可测量性质中。输运测量揭示了一系列具有坚实理论基础的拓扑响应谱[6], [10], [16], [17], [23], [24], [25], [26], [27], [28]。这些包括反常霍尔电导率[29], [30], [31]、平面霍尔效应[10], [16], [17], [23], [24], [25], [26], [27], [32], [33], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], [44], [45]、马格努斯力[46], [47], [48]、光学二向性[49], [50]以及光电流产生[51], [52], [53], [54]。然而，在这些特征中，费米弧代表最直接的拓扑可观测量[55], [56], [57], [58], [59], [60], [61], [62]，可通过角分辨光电子能谱（ARPES）清晰地可视化。费米弧是二维（2d）表面布里渊区（SBZ）中的表面局域态，几何上被约束终止于体费米面投影的边界处，在那里与体扩展态融合。

当考虑表面法向量为n?的拓扑半金属半无限平板时，会出现表面局域费米弧。这些态源自于在二维动量切片中存在拓扑保护的边缘模式，当施加开放边界条件时这些模式即出现[1], [2], [4]。虽然平行于表面法向量的动量分量变得不确定的，但在平板极限下，垂直于n?的面内分量k∥仍保持其作为良好量子数的特性。因此，单一界面定义了一个由k∥分量张成的SBZ，费米弧即驻留在其中。对于外尔半金属，解析表面态解已有成熟的理论框架[63], [64], [65], [66]。然而，在具有多重简并或非线性色散的更复杂系统中，推导仍然基本是逐例进行的[63], [67], [68], [69], [70], [71]，缺乏在不同色散景观和能带构型中系统性适用性。本研究发展了一套统一的计算方案，用于推导跨越任意节点几何的费米弧构型，建立了这些表面态如何通过体态-边界对应关系编码底层二维动量切片的陈数[1], [2], [4]。

本文组织如下：在第2节中，我们阐述边界条件的表述，从而导出一般节点半金属的表面态解。第3节致力于将我们的方法应用于多种系统，涵盖从二重到多重的节点，从动量线性到动量二次和三次色散，以及从各向同性到各向异性的情形。此外，我们还将考察两种节点代表理想贝里曲率偶极子而非单极子的情况。最后在第四节总结与展望。

# 公式片段

## 边界条件的表述

设取单一表面x=0，使得x<0区域代表一个半无限半金属，具有体哈密顿量H(k)，其中k≡{kx,ky,kz}，k=√(kx2+ky2+kz2)。沿x轴的平移对称性被破缺，我们使用哈密顿量Hx=H(kx→?i?x,ky,kz)。

要求Hx在区域x∈[0,∞)中是厄米的，我们得到物理条件：

∫?^∞ dx ψ?(x)Hx?(x) = ∫?^∞ dx [Hxψ(x)]??(x)

这里考虑两个真正的边界态ψ和?。电流密度算符定义为jx≡?/?kx。

## 具体示例

在本节中，我们将考虑一些涵盖非线性色散和多重能带交叉等一般特征的具体系统。在此过程中，我们还将观察涌现的费米弧如何反映相关节点底层的陈数（或等效地，单极子荷）。此外，我们解决了费米弧是否可以在具有理想贝里曲率偶极子的节点中出现的疑问。

在处理各个系统之前，有一些评论是必要的。对于非相互作用体系……

# 总结、讨论与展望

从我们的分析中，我们观察到以下几点：虽然N?（以及因此C）是控制节点本身稳定性的拓扑不变量，但相关费米弧的存在性和重数更直接地由陈数C(kz)控制，这些陈数来源于在某一平行于表面的动量分量（如kz）取固定值时对布里渊区切片得到的一系列二维哈密顿量。对于理想贝里曲率偶极子节点，N?=0，而单个切片在延伸范围内保持C(kz)=±1。

# 利益冲突声明

作者声明她没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些可能会影响本文报告的工作。

# 致谢

本研究获得了科学与技术委员会（CST），北方邦（U.P.）的资助，Ipsita Mandal。