广义振动电子耦合哈密顿量作为非对称量子Rabi模型：精确对应关系及关于可能物理联系的评述

《Annals of Physics》：A generalized vibronic Hamiltonian as asymmetric quantum Rabi model: Exact correspondence and remarks on possible physical connections

　　

# 摘要

本文研究了二维和谐振动电子模型在两种不同构型下的性质。在第一种构型中，对角元素包含和谐项和线性耦合项，而非对角元素是核坐标的线性函数。可以证明该构型可精确解耦为两个平移后的谐振子问题。在第二种构型中，非对角耦合取为常数，而对角元素保持相同的和谐与线性结构。研究证明，当线性耦合系数满足特定关系时，该系统可精确映射到量子Rabi模型；对于这些系数的任意取值，则可映射到平移的不对称（偏置）量子Rabi模型。虽然量子Rabi哈密顿量通常在精心设计的量子光学平台中实现，但本研究所建立的对应关系表明，类似的数学结构也可能在具有适当振动电子耦合的分子系统中自然出现。特别是，与不对称量子Rabi模型的关联表明，振动电子系统可以为研究不对称光-物质相互作用模型的某些特征提供互补视角。反之，在量子Rabi模型和不对称量子Rabi模型框架下发展起来的解析方法和物理洞见，也可能有助于解释相应振动电子系统的行为。因此，这种相互对应关系可能开辟探索分子振动电子动力学与量子Rabi物理之间联系的有趣可能性。然而，这些思想在实验上的实现和验证仍然非平凡，值得进一步研究。

# 引言

二能级系统在各领域中被广泛用于研究本质规律，其中最著名的当属当下的量子比特系统，它在物理、化学、数学以及多个工程领域的交叉界面中有着惊人的应用。特别是所谓的振动电子哈密顿量，其名称源于"振动"（vibrational）和"电子"（electronic）两个词的组合，包含自旋与核效应及其相互作用[1-6]，在量子科学与技术众多领域中有诸多应用[7-13]。该2×2哈密顿量在一维表述中被转化为包含原始哈密顿量对角和非对角元素的薛定谔方程对。

此类问题的解析解相当罕见。若相应耦合方程无法解耦，则需处理四阶微分方程，或寻找适当的积分变换以降低方程阶数——但对于许多相互作用项，这在解析方法上并不完全可知。据笔者所知，该问题已针对常数项、线性项和二次项的某些组合进行了研究[3-6,14]，作者们使用了极少的可行方法，包括积分变换、sl(2)-对称性和Bethe-ansatz技术。本文旨在指出与量子Rabi模型的一个非常有趣的关联。

本文的组织结构如下：首先用几行简要回顾一维振动电子模型，以便完全集中于主要目的。然后考虑非对角部分含线性项、对角部分含二次和线性项的哈密顿量，并证明由于该模型表现为两个解耦的薛定谔方程（描述平移谐振子问题），因此具有精确解。接下来讨论非对角项为常数的情况。该问题此前已通过代数方法和积分变换进行讨论，属于准精确可解类，本文对此重新考虑。随后证明该问题可转化为Rabi模型及其推广形式。最后给出结论，并附有两个附录以更好地阐述问题。

# 各节内容摘要

## 非对角含线性相互作用耦合的振动电子模型

Fulton和Gouterman[1]证明，分子中的振动电子耦合和二聚体的激子耦合可纳入核坐标下的2×2矩阵哈密顿量中。他们考虑的哈密顿量形式为：

$$\hat{H} = \hat{T}_n + \hat{T}_e + V(q, Q)$$

其中，如下标所暗示的，$\hat{T}_n$和$\hat{T}_e$分别代表核动能和电子动能，$V(q,Q)$表示势能。能量依赖于电子坐标和核坐标。

## 非对角含常数项的振动电子模型

现在考虑非对角项为常数的情况，其表达式为：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1}{dx^2} + \left(\frac{m\Omega^2}{2}x^2 - F_1 x\right)\psi_1 + V\psi_2 = E\psi_1$$

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_2}{dx^2} + \left(\frac{m\Omega^2}{2}x^2 - F_2 x\right)\psi_2 + V\psi_1 = E\psi_2$$

首先回顾一些基本概念和工具。众所周知，谐振子问题的湮灭和产生算符可定义为：

$$x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\Omega}}(a + a^\dagger), \quad p = i\sqrt{\frac{m\hbar\Omega}{2}}(a^\dagger - a)$$

由此哈密顿量可写为：

$$H_{ho} = \hbar\Omega\left(a^\dagger a + \frac{1}{2}\right)$$

从而直接得到以粒子数算符$N$表示的能量关系式。我们可以将(20)式写为……

# 结论

本文在一维振动电子哈密顿量的两种不同形式下进行了研究。第一种模型在非对角元中包含线性振动电子耦合，第二种模型则包含常数电子耦合。在两种情况下，对角势能均由包含二次项和线性项的平移谐振子描述。第一种模型中对角和非对角组件均存在线性项，由此产生一种特殊对称性，使得哈密顿量……

# 关于生成式AI及AI辅助技术在手稿撰写过程中使用的声明

在本工作的准备过程中，作者使用了ChatGPT（OpenAI）来协助制作一张示意图。

# 利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

# 致谢

谨向Daniel Braak致以感谢，他对本文主题提供了技术性意见。同时，衷心感谢审稿人提供的宝贵概念性意见和建议，这些建议帮助我澄清了结果的物理解释和研究动机。

S. Zarrinkamar