加权重整化体积系数

《Differential Geometry and its Applications》：Weighted renormalized volume coefficients

　　摘要
我们定义了加权重整化体积系数，并证明它们是变分的。我们还证明了它们可以表示为加权扩展障碍张量、加权Schouten张量和加权Schouten标量的多项式。

引言
Viaclovsky在[21]中提出了?????(???1???)-Yamabe问题，该问题询问是否存在具有恒定????曲率的度量。注意，如果?? ≠??/2且?? ≤2或g是局部共形平坦的，那么?????(???1???)= ??就是泛函∫???????(???1???) ????????在共形变分下的Euler-Lagrange方程，同时满足Vol???(??)= 1的约束。然而，如果?? ≥3且g不是局部共形平坦的，那么Branson和Gover在[3]中证明了?????(???1???)= ??不是任何泛函的Euler-Lagrange方程。

重整化体积系数，记为????，最初出现在AdS/CFT对应关系的背景下[16]。对于形式为??+= ?????2+??????2的Poincaré-Einstein度量，它们被定义为(det?????det????)1/?～?+∞∑??=??????????，其中??= ?1/?3??2。在[12]中，Chang和Fang证明了对于?? ≠??/2，????是变分的，并且在????是变分的情况下，????= ????；在[4]、[11]中证明了????/2也是变分的。此外，????的共形变换律在共形因子上是二阶的[17]，并且Einstein度量是总泛函的“稳定”临界点[13]。

一个光滑的度量测度空间是一个五元组（????,??,??,??,??），其中（????,??）是一个黎曼流形，f是定义在M上的光滑函数，?? ∈?是一个维度参数，?? ∈?+是一个辅助曲率参数[7]、[9]。如果?? ∈?，一个光滑的度量测度空间可以被视为（???? ×????2(??),?? ⊕??2?）的扭曲积，其中（????2(??),?）是一个具有恒定曲率μ的m维单纯连通空间形式[9]。

光滑的度量测度空间以多种方式出现，包括作为黎曼流形序列的（可能折叠的）极限[14]，作为满足曲率-维度不等式的光滑流形[1]、[22]，作为研究定义分数拉普拉斯算子的Caffarelli–Silvestre扩展的几何框架[5]，以及在极限情况??= ∞时，作为实现Ricci流作为梯度流的几何框架[20]。我们注意到在本文中，我们假设??< ∞。对于??= ∞情况的重整化体积系数的构造已在[19]中完成。

设（????,??,??,??,??）是一个光滑的度量测度空间。当??> 0时，我们定义?? := ???3ln???，使得dvol??:=????2dvol??=?????dvol??。

在加权流形（????,??,??,??,??）上，一个加权共形类??关于等价关系（??,??）～(???,???）的等价类当且仅当（???,???）=(???2??,???1??)对于某些??∈??∞?(??;?+)。我们说??在??中是变分的，如果存在一个泛函?? :?? →?，使得对于所有?? ∈??∞?(??)和所有（??,??） ∈??，都有∑????∣??=0??2(???2????+????,???????+????)=∫??????dvol??。在[9]中，Case证明了对于?? ∈{1,2}或在加权局部共形平坦假设下，?????(???1???)的加权版本是变分的。自然地，人们会问是否可以类似地定义一个变分的????的加权版本。Case在??= ∞的情况下证明了这是成立的[8]。利用Case和作者在[6]中发展的加权环境空间和加权Poincaré空间，我们证明了这通常是成立的。

Bakry–émery Ricci曲率???????????和（????,??,??,??,??）的加权标量曲率?????定义为Ric???=Ric+?2???1??3?????????????，?????=??+2Δ?????1??3|???|2+??3(???1)??3??2??/??。等价地，使用??= ???3ln???，我们有Ric???=Ric?(??/??)?2??，?????=???2(??/??)Δ???????3(???1)(1/??2)|???|2???)。粗略地说，一个加权环境空间是在?? ×???? ×(???,??)上的度量测度结构（???,???），满足以下条件：（i）如果??3 ??不是偶数，那么?Ric???,???????= ??2(??∞)，其中ρ是（???,??）上的坐标，且???????:=???2?Δ????+(???1)|?????|2???）；（ii）如果??3 ??是偶数，那么?Ric???,???????= ??2(????+??2)，其中??,??表示M上的坐标。考虑形式如（参见[6]）的加权环境度量测度结构???=2??3????2+2????????2????2+??2????，???=????????，????=??+2??????3??+??2(??2)，????=??+????3??????3??+??2(??2)。

我们注意到在本文中，我们假设??< ∞。对于??= ∞情况的重整化体积系数的构造已经在[19]中完成。

设（????,??,??,??,??）是一个光滑的度量测度空间。当??> 0时，我们定义?? := ???3ln???，使得dvol??:=????2dvol??=?????dvol??。

在加权流形（????,??,??,??,??）上一个加权共形类??关于等价关系（??,??）～(???,???）的等价类当且仅当（???,???）=(???2??,???1??)对于某些??∈??∞?(??;?+)。我们说??在??中是变分的，如果存在一个泛函?? :?? →?，使得对于所有?? ∈??∞?(??)和所有（??,??） ∈??，都有∑????∣??=0???(???2????+????,???????+????)=∫??????dvol??。在[9]中，Case证明了对于?? ∈{1,2}或在加权局部共形平坦假设下，?????(???1???)的加权版本是变分的。自然地，人们会问是否可以类似地定义一个变分的????的加权版本。Case在??= ∞的情况下证明了这是成立的[8]。使用Case和作者在[6]中发展的加权环境空间和加权Poincaré空间，我们证明了这通常是成立的。