使用基于球谐函数的子模型边界位移分解方法确定三维嵌入式裂纹的应力强度因子

《Engineering Fracture Mechanics》：Determination of stress intensity factors for 3D embedded cracks using a spherical harmonic-based submodel boundary displacement decomposition method

　　

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  提出了基于球谐函数的子模型边界位移分解方法，用于三维嵌入式裂纹的应力强度因子确定。
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  确定了最小所需子模型尺寸，并确定了最高阶基函数。
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  预计算了基函数的应力强度因子，并进行了数值比较。

引言

航空发动机结构的关键部件，如涡轮盘和叶片，由于长期暴露在高温和高负载条件下，容易发生疲劳裂纹扩展，最终可能导致结构失效 [1], [2], [3], [4], [5]。预测疲劳裂纹扩展对于确保结构安全至关重要。在关键的断裂力学参数中，应力强度因子在疲劳裂纹生长的分析和计算中起着至关重要的作用。

为了准确确定应力强度因子，通常采用解析方法，各种裂纹类型的闭式解已有报道，包括角裂纹 [6], [7], [8]、穿透裂纹 [9], [10] 和表面裂纹 [11], [12], [13]。另一种半解析方法是由Bueckner [14] 和Rice [15] 提出的权函数法，已被广泛应用于各种几何形状的应力强度因子评估，包括V型缺口裂纹 [16]、表面裂纹 [17], [18]、孔边裂纹 [19], [20] 和嵌入式裂纹 [21], [22]。然而，解析方法仅适用于典型几何形状，不适用于复杂几何形状和加载条件。

对于三维裂纹，数值方法被广泛应用于应力强度因子的计算。Movahedi等人 [23] 提出了一种基于虚拟网格的应力恢复和交互能积分方法，用于在不规则网格上准确计算三维应力强度因子。Kyaw等人 [24] 开发了一种基于影响函数法的新颖且高效的技术，用于准确计算半无限体中在任意应力场下的倾斜表面裂纹的混合模式应力强度因子。Wen等人 [25] 提出了一种边界积分方程方法，用于确定三维静态和动态问题中周期性平面裂纹的应力强度因子和弹性T应力。Moslemi和Khoei [26] 采用自适应三维有限元方案传播非平面曲率裂纹，在裂纹前端附近获得了明显的精度提升。

为了克服传统有限元分析中裂纹生长模拟中计算成本高昂的重网格划分过程的局限性，引入了扩展有限元方法用于应力强度因子的确定 [27], [28]。Wen等人 [29] 开发了一种使用基于水平集的模板切割方法的增强型扩展有限元方法，用于多裂纹。Hectors和De Waele [30] 提出了一种基于扩展有限元的迭代框架，用于三维裂纹传播模拟，利用B样条曲线和曲面进行几何表示。González-Albuixech等人 [31] 研究了基于扩展有限元的应力强度因子计算中域积分方法的振荡行为来源，重点关注使用粗网格的曲率和非平面裂纹，并强调了拓扑关系对精度、稳定性和收敛性的影响。Song等人 [32] 采用高阶扩展有限元方法，在三角形网格中使用Irwin积分计算应力强度因子。Zhang等人 [33] 使用数字体积相关方法结合基于扩展有限元的分析，研究了核石墨中的三维裂纹传播。Deng等人 [34] 提出了一种增强型扩展有限元方案，通过使用全局坐标系中的两个权函数来消除裂纹尖端增强，从而实现三维曲面界面裂纹的准确建模。

对于三维嵌入式裂纹，已经进行了一些研究来确定应力强度因子。Alegre等人 [35] 开发了嵌入式椭圆裂纹在拉伸载荷下的数据驱动应力强度因子解，使用有限元分析准确预测裂纹传播路径和疲劳寿命。Xiang等人 [36] 将分层求积单元方法与虚拟裂纹闭合技术相结合，计算三维裂纹的应力强度因子，采用正交高阶网格和通用裂纹闭合积分。Qian等人 [37] 应用扩展有限元方法评估嵌入式裂纹和焊接残余应力对承受压热冲击的反应堆压力容器组合效应的影响。Livieri和Segala [38] 利用广义权函数法确定焊趾处嵌入式椭圆裂纹的I型应力强度因子。He等人 [39] 采用高阶光滑边界元方法模拟硬币形裂纹问题。

在之前的工作中 [40]，我们引入了一种基于子模型技术的边界位移分解方法，用于二维裂纹的应力强度因子计算。该方法使用圆调和函数作为基函数来分解子模型边界上的位移。应力强度因子计算通过将其表示为预计算的圆调和函数基函数的无量纲应力强度因子值和子模型边界上位移分解系数的线性组合来简化。与扩展有限元方法相比，边界位移分解方法无需裂纹尖端和裂纹面增强函数。此外，通过边界位移分解方法计算裂纹生长的应力强度因子仅是预计算的基函数应力强度因子的后处理线性组合，实现了与解析解相当的精度和接近解析解的计算效率。而且，边界位移分解方法完全基于传统有限元分析的标准位移场运行，使得在商业软件中实现简单。与局限于典型几何形状和加载条件的解析或权函数方法不同，由于其子模型框架，边界位移分解方法适用于复杂几何形状和任意加载条件。数值方法（例如基于有限元分析的商业软件FRANC3D [41]）在裂纹生长模拟过程中需要耗时进行裂纹网格构建。提出的方法预先计算各种裂纹尺寸的无量纲应力强度因子，然后采用简单的叠加技术，在模拟过程中避免裂纹重网格划分，实现了解析级别的效率。

为了将这一概念扩展到三维裂纹问题，本研究采用了球谐函数。圆调和函数和球谐函数都是傅里叶级数展开在不同坐标系中的特殊情况：圆调和函数构成单位圆上的完整正交基，而球谐函数构成单位球上的完整正交基。从圆调和函数到球谐函数的转变代表了同一傅里叶分析框架内的自然维度扩展。球谐函数定义在球面上，广泛应用于形状建模 [42], [43] 和表面描述 [44], [45]。因此，本文提出了一种基于子模型边界位移分解的三维嵌入式裂纹应力强度因子确定方法，利用球谐函数作为基函数来分解三维子模型边界上的边界位移。与二维裂纹相比，三维裂纹子模型涉及球形边界，需要使用球谐函数作为基函数。此外，裂纹几何形状为椭圆形，引入了裂纹尺寸表征的额外维度，需要考虑不同纵横比下的应力强度因子。然后，通过将这些系数与预计算的基函数无量纲应力强度因子叠加来确定应力强度因子。具体而言，确定了最小子模型半径以确保准确的应力强度因子预测。随后，确定了与该子模型尺寸兼容的最高阶球谐函数基函数。最后，评估了对应每个阶次基函数的无量纲应力强度因子。

部分摘要

三维嵌入式裂纹的应力强度因子确定

如图1(a)所示，结构中的三维嵌入式裂纹可以视为无裂纹全局模型（图1(b)）和半径为$R_{\mathrm{c}}$的球形子模型（图1(c)）的分解，裂纹位于其中心。子模型上的边界条件从全局模型插值得到。

裂纹被建模为椭圆形，长半轴为$a$，短半轴为$c$，如图1(d)所示。椭圆上的任意一点通过角度$\beta$参数化，该

数值算例

为了验证提出的方法，研究了数值算例，包括圆棒中的嵌入式裂纹、涡轮发动机盘、骨关节结构和涡轮叶片。使用基于有限元分析的FRANC3D [41]应力强度因子结果进行比较。

局限性和假设

提出的方法的局限性和假设总结如下：

• (1)
  子模型适用性。该方法目前使用球形子模型演示了嵌入式椭圆裂纹。对于具有复杂外部边界的结构，如果推荐尺寸的球形子模型可能与自由表面或另一个几何边界相交，则不完整的子模型边界会在位移分解中引入误差，从而影响应力强度因子计算精度。扩展

结论

在本研究中，提出了一种基于子模型边界位移分解的三维嵌入式椭圆裂纹应力强度因子确定方法，并引入了球谐函数作为基函数。应力强度因子通过线性叠加位移分解系数和预计算的球谐函数基函数的无量纲应力强度因子来计算。这种方法将应力强度因子计算问题从复杂且耗时的裂纹网格生成计算转变为后处理任务

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本文报告的工作。

致谢

作者衷心感谢国家自然科学基金（52371284, 52501345）、上海市自然科学基金（25ZR1402210）的支持。

庄善绍|陈秀华|张俊峰|冯兆林