用于热力学断裂的带有段间接触的自适应扩展等几何分析

《Engineering Fracture Mechanics》：Adaptive extended isogeometric analysis with segment-to-segment contact for thermo-mechanical fracture

　　

•提出了统一的XIGA框架，用于处理带裂纹面接触的热-力学断裂问题。•基于罚函数的面元对裂纹面接触算法提供了精确的接触约束施加。•改进的交互积分能够捕捉热效应和接触效应对应力强度因子（SIFs）的影响。•基于误差恢复的自适应网格细化在不损失精度的前提下提升了计算效率。

引言

热-力学断裂是许多在极端环境和载荷条件下运行的工程系统中关键的失效机制。温度场与机械载荷之间的耦合通过温度相关的材料属性、热致应力以及复杂的裂纹尖端场影响断裂行为。这些效应可显著改变裂纹萌生和扩展特性，使得可靠的断裂预测成为一项具有挑战性的计算任务。典型应用包括混凝土重力坝[1]、核反应堆压力容器[2]以及航空发动机部件[3]，其中结构失效可能导致严重的经济和安全后果。因此，开发稳健且精确的热-力学断裂分析数值方法仍然是计算力学中的一个重要课题。

计算断裂力学中采用的数值方法大致可分为连续方法和非连续方法。连续方法源于连续损伤力学，通过在材料点处累积损伤来近似裂纹，同时保持场的连续性。其早期与有限元方法（FEM）的结合往往表现出网格依赖性，后来通过非局部损伤模型[4]和相场方法[5]等方法克服了这一问题。这些方法将尖锐裂纹正则化为弥散裂纹带，通常需要在裂纹区域使用极细的网格来捕捉变量场的高梯度，导致较高的计算成本。另一方面，非连续方法将裂纹视为尖锐的几何形状，直接通过场的不连续性来表示，这与线弹性断裂力学[6]和内聚力区模型[7]的思想更为一致。此类型的早期方法包括单元边界分离法[8]和网格重划法[9]。前者限制了裂纹路径的自由度并影响精度，而后者则面临复杂的重划程序和物理场的重复映射问题。为解决这些问题，新型方法在单元内部构造裂纹[10][11]。扩展有限元方法（XFEM）[12]是其中的里程碑。XFEM基于统一分解的概念，对常规有限元离散化添加适当的富集函数，使裂纹的表示独立于背景网格，同时仍能捕捉场的不连续性。

非连续方法不会引入过多的额外计算成本来表示裂纹，这使得对于少量平面裂纹的情形，其效率相对连续方法更高。基于这一特性，XFEM已被广泛应用于热-力学断裂分析。Duflot[13]首次在热弹性断裂中用分别针对温度场和位移场的独立富集函数对绝热和等温裂纹进行建模。此后，大量研究在各种材料和载荷条件下验证并扩展了这一方法[14]。Chadaram和Yadav[15]对压电材料中 penny 形裂纹进行了三维热断裂分析。Kumar等人[16]研究了多孔功能梯度（FG）裂纹板的热-力学断裂，考察了孔隙分布对断裂行为的影响。提出了一种热-力学扩展分层方法来模拟层合复合板中的分层和裂纹扩展，并利用XFEM对横向裂纹进行建模[17]。基于改进的交互积分和XFEM，Guo等人[18]揭示了双材料在热-力学载荷下界面裂纹的扩展行为。Bayat和Nazari[19]研究了热冲击下的动态裂纹扩展，并为移动裂纹提出了新的尖端富集函数。Choudhury等人[20]将XFEM与直接循环分析相结合，研究锅炉水冷壁中由焊接缺陷引起的低周疲劳裂纹。

尽管XFEM在断裂分析中取得了显著成功，但它仍然继承了有限元范式的关键缺点，包括几何近似误差、构建高光滑近似空间的困难以及计算机辅助设计（CAD）与分析模型之间的脱节，导致昂贵且耗时的预处理流程。等几何分析（IGA）[21]的出现克服了这些缺点，它利用描述CAD几何的基函数作为分析的形函数。这自然地在离散层面实现了精确的几何表示，提供了高阶连续性，并消除了网格划分和模型转换步骤。将XFEM的思想与IGA相结合，产生了扩展等几何分析（XIGA）[22]，它继承了XFEM在断裂模拟方面的优势，同时克服了其局限性。与XFEM相比，XIGA在热-力学断裂模拟中的应用仍然相当有限。大多数现有研究集中于FG板断裂分析，其计算框架由Bayesteh等人[23]首次建立。从使用XIGA进行线弹性材料的热-力学断裂分析开始[24]，Yadav等人系统地将其工作扩展到CNT增强复合材料，从基本FG结构逐步发展到具有多个不连续性的复杂构型[25][26]。Kumar等人[27]分析了具有绝热中心裂纹的多孔FG结构的热致断裂，揭示了孔隙分布模式对断裂行为的影响。值得注意的是，前述研究中所考虑的几何构型大多局限于矩形板，这可能无法完全捕捉实际工程结构的复杂性。这一局限性推动了IGA内更灵活建模技术的发展。

作为非连续方法，XFEM和XIGA都需要引入接触算法以防止在模拟压载荷下裂纹闭合时产生相互穿透。已在XFEM和XIGA框架内开发了几种处理接触约束的算法，以下讨论其中一些最常用的方法。罚函数法[28]通过在接触力和穿透之间建立线性关系来防止相互穿透。尽管该方法易于实现且不引入额外自由度（DOFs），但罚参数的选择对于获得物理正确的结果是至关重要的。拉格朗日乘子法[29]通过引入拉格朗日乘子作为额外自由度来施加非穿透约束，它精确满足接触条件但增加了求解规模。增广拉格朗日乘子法[30]在拉格朗日乘子场中添加罚项以结合两种方法的优势。该方法对罚参数不敏感且精确施加约束，但计算成本较高。Nitsche方法[31]通过在变分形式中引入稳定化项来弱施加接触约束。它不引入额外自由度且精确满足接触条件，但稳定化参数的选择仍需一定经验。线性互补方法[32]将摩擦接触问题表述为线性互补问题，无需迭代但比其他方法更难实现。关于施加接触约束的方法，节点对节点法和面元对面元法是两种典型方案[33][34]。前者仅在离散节点对上施加接触约束，使节点间的区域可能无法满足条件。相比之下，后者在整个裂纹面上精确施加接触条件并有效防止解的振荡。

本文开发了一种自适应XIGA框架，用于复杂几何中热-力学断裂问题的精确高效模拟，特别强调对裂纹面接触相互作用的稳健处理。具体贡献如下：
?在XIGA中引入了基于罚函数法的面元对裂纹面接触算法，以精确施加裂纹面上的摩擦接触条件，从而将XIGA的能力扩展到涉及裂纹闭合的热-力学断裂问题。
?建立了改进的交互积分，考虑了热力和接触力对应力强度因子（SIFs）的贡献，确保在带裂纹面接触的联合热-力学载荷下实现准确的断裂表征。
?基于应变恢复的误差估计器驱动自适应过程，结合基于TH-NURBS的局部网格细化，实现机械场和热场中高梯度区域的自动识别和细化，从而提高模拟效率。
?基于Nitsche耦合公式的多面片技术克服了XIGA固有的建模局限性，增强了模拟任意工程结构的建模灵活性。

本文的组织结构如下：第2节建立涉及接触的热-力学断裂问题的多面片控制方程。第3节详述自适应XIGA的计算实现，包括TH-NURBS构造、XIGA离散化、接触算法、积分方案、SIFs评估和自适应策略。第4节通过多个数值模拟演示所提框架的性能。第5节总结全文并提出未来研究方向。

问题表述

考虑一个占据????2的热弹性固体，其中包含裂纹????。整个域由一组不重叠的面片????（??=1,2,…,???????????????）描述，使得??=??????????????????=1????，????∩????=0?（??≠??）。

为简化起见，以下多面片公式描述使用两个面片，耦合示意图见图1(a)。推广到任意数量面片是直接的，省略所有界面耦合项即可恢复常规的单面片

自适应XIGA内的计算实现

本节详细阐述所提出的自适应XIGA方案针对热-力学断裂耦合问题的计算实现。温度和位移场的XIGA离散化被建立用于建模热-力学裂纹。在XIGA中引入基于罚函数的面元对裂纹面接触处理来解决裂纹面接触问题。采用应变恢复方法进行误差估计，驱动基于TH-NURBS的自适应细化。简要

数值模拟

给出了五个基准算例和一个工程应用来评估所提出的自适应XIGA框架。前两个算例验证了在裂纹面接触情况下SIFs和裂纹扩展路径的正确性，第三、第四和第五个算例用于热-力学验证。最后一个算例模拟了在热-力学载荷下带摩擦接触作用的混凝土重力坝，展示了所提框架在实际工程应用中的能力。

结论与展望

本文开发了一种自适应多面片XIGA框架，用于精确高效模拟带裂纹面接触的热-力学断裂问题。该框架结合了基于罚函数法的面元对裂纹面接触算法用于建模Coulomb摩擦接触，基于Nitsche方法弱施加面片间连续性，以及基于应变恢复的误差估计器与基于TH-NURBS的局部细化相结合的自适应分析方法。所形成的方法论

CRediT作者贡献声明

Lin Wang：写作–审阅与编辑、可视化、验证、软件、方法论、形式分析、数据整理。Huan Li：写作–审阅与编辑、验证、方法论、调查、概念化。Sundararajan Natarajan：写作–审阅与编辑、验证、监督、方法论、形式分析。Jun Zhang：写作–审阅与编辑、验证、调查、形式分析。Jin Yuan：写作–审阅与编辑、验证、形式分析。You Mou：写作–审阅

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的与本文所报告工作可能产生影响的竞争财务利益或个人关系。

致谢

本研究得到中国江苏省研究生研究与实践创新计划（项目编号：26CXJH1379）、国家自然科学基金（项目编号：12272124）以及国家水资源高效利用与工程安全工程技术研究中心开放研究基金（项目编号：1525020011）的资助。在此表示衷心感谢。

Lin Wang | Huan Li | Sundararajan Natarajan | Jun Zhang | Jin Yuan | You Mou | Tiantang Yu