板结构的准脆性断裂：一种新的双视界非普通态基近场动力学建模方法

《Engineering Fracture Mechanics》：Quasi-brittle fracture of plates: A novel dual-horizon non-ordinary state-based peridynamic formulation

　　

•提出了一种新颖的非寻常态本构关系(peridynamic)公式，用于板的分析和准脆性断裂模拟。•通过弱形式直接施加边界条件，无需虚设的粒子层。•在由有限元网格生成的不规则粒子分布下表现稳健。•考虑了拉伸和压缩变形不对称性的新颖准则。•通过与其它断裂模型对比验证，能够准确预测裂纹轮廓和载荷-位移曲线。

引言

准确预测裂纹行为，包括裂纹萌生、扩展、汇合和分叉，对工程结构的耐久设计至关重要。针对这一难题，自1950年代以来已提出许多方法[1]、[2]、[3]，其中peridynamic理论[4]、[5]、[6]、[7]、[8]是近期涌现的候选方法。peridynamic理论最优雅之处在于其运动积分-微分方程，无论几何不连续性是否存在，这些方程都是定义良好的。从概念上讲，连续体中的一个物质粒子受到交互域中称为交互域的其他同类粒子的影响，而复杂的失效机制可以通过移除物质粒子之间的交互来直接模拟。

Peridynamic公式可分为两类，即基于键的[4]和基于态的[5]、[6]。在前一类中，两个物质粒子之间的相互作用力本质上是成对存在的，这意味着仅涉及两个相互作用粒子的变形。最早的公式在[4]中提出，对Poisson比取值有限制，例如三维情况下为1/4。尽管如此，该公式已被用于研究若干力学系统的断裂行为，例如杆[9]、[10]、复合材料[11]、[12]、膜和纤维[13]以及混凝土[14]。随后，关于Poisson比取值的限制被充分揭示[15]、[16]并通过允许交互中的旋转变形得到解决[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]。

基于键的公式推广为基于态的公式后，衍生出两个替代分支，分别称为寻常态和非寻常态peridynamic。与基于键的peridynamic不同，两个物质粒子之间的相互作用力现在是由交互域中所有配对粒子的集体变形构造的。这不仅消除了对固定Poisson比值的担忧，还便于使用更复杂的本构模型描述失效。在寻常态[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]和非寻常态[33]、[34]、[35]、[36]、[37]、[38]、[39]、[40]、[41]、[42]分支的框架下，已提出大量公式。

Kirchhoff-Love[43]、[44]和Reissner-Mindlin[45]、[46]、[47]、[48]、[49]、[50]、[51]、[52]板模型的运动学假设已被纳入寻常态基于态的peridynamic框架中，用于分析细长板结构。然而，仍存在若干需要解决的缺陷。在这些公式中，某些参数是通过比较peridynamic理论和经典连续介质力学所得的控制方程或应变能密度来标定的。不幸的是，以这种方式获得的参数仅对径向对称的交互域有效，而在实际应用中往往不可行。事实上，由于几何复杂性，物质粒子的离散化是不规则的，因此粒子的交互域是不对称的。此外，边界条件施加在虚设层上，这对计算成本和数值实现不利。

上述peridynamic板公式中的断裂模拟准则也值得讨论。众所周知，准脆性断裂由拉伸驱动，因此，应恰当地分离拉伸和压缩变形，以准确描述准脆性断裂。在[45]、[52]中，采用基于弯曲曲率和剪切角的准则，即当其弯曲曲率或剪切角超过各自的临界值时，交互即被移除。与此同时，在[48]、[50]中，如果键的能量高于临界能量水平，则终止该交互。这些准则在板的准脆性断裂中的失效是容易预测的。具体来说，对于处处受压的预应力板，板经历弯曲和剪切变形时，仍可能发生断裂，而[45]、[52]中的准则对此无能为力。另一方面，[48]、[50]中键的能量包括薄膜、弯曲和剪切分量。对于所考虑的算例，这些分量即使对于压缩变形也是正值，因此无法防止来自压缩的损伤。

本研究旨在解决上述寻常态基于态的peridynamic板公式的所有现有缺陷。更准确地说，引入了一种双视野非寻常态基于态的peridynamic板公式，其优点如下：•在非寻常态基于态的peridynamic框架中，参数标定不再必要，因此提出的公式缓解了所有相关问题。•构建平衡方程的弱形式，以允许直接施加边界条件而无需虚设的粒子层围绕域。•提出具有拉-压分解的能量准则，以恰当描述板的准脆性断裂。•通过不规则粒子离散化的准确和稳健性能进行验证。

在此值得一提的是，[53]中已开发了一种基于Kirchhoff-Love板模型的非寻常态基于态的peridynamic板公式。然而，该公式未详细阐述在复杂场景中的应用，包括不规则粒子离散化分析。在本研究中，通过考虑双视野peridynamic的概念[54]、[55]处理了这一问题。

本文其余部分的安排如下。第2节概述了Reissner-Mindlin板模型的运动学假设以及虚拟功原理必要组成部分的推导。第3节讨论了所提公式的关键细节，即通过peridynamic微分算子[56]、[57]构建广义应变量度与合力-力矩分量的非局部表达式、力与力矩密度的推导以及平衡方程的建立。第4节提出了基于应变张量谱分解和应变能密度的能量准则与拉-压分解。第5节对数值实现进行了说明，第6节展示了一系列精心设计的算例以证明所提公式的所有优点。第7节得出结论，附录B给出了所提公式弱形式的推导。

各节节选

Reissner-Mindlin板模型的运动学关系与虚拟功原理

本节采用Reissner-Mindlin板模型的假设对板进行运动学描述。详细阐述了基本应变和应力分量与运动学未知量之间的关系，并表达虚拟功原理作为开发用于板断裂模拟的非寻常态基于态peridynamic公式的出发点。

图1a可视化了一个三维连续体和相关的笛卡尔坐标系。

用于板的双视野非寻常态基于态peridynamic公式

本节首先讨论粒子的族和双族。然后，利用peridynamic微分算子的概念，开发了一种用于板模拟的双视野非寻常态基于态的peridynamic公式。

具有拉-压分解的新型能量准则

在peridynamic公式中，可以通过破坏粒子之间的交互来模拟裂纹的萌生和扩展。这通过在内部力和力矩密度中引入状态参数来实现，平衡方程被重写为：

$$\sum_{i=1}^{N_P} \mu_{k}^{H_{ki}} F_{k}^{H_{ki}} A_{H_{ki}} - \sum_{j=1}^{N_{\sim P}} \mu_{H_{\sim kj}}^{k} F_{H_{\sim kj}}^{k} A_{k} + f_{k} = 0$$

$$\sum_{i=1}^{N_P} \mu_{k}^{H_{ki}} M_x^{k} \cdot H_{ki} \cdot A_{H_{ki}} - \sum_{j=1}^{N_{\sim P}} \mu_{H_{\sim kj}}^{k} M_x^{H_{\sim kj}} \cdot A_{k} + m_x^k = 0$$

$$\sum_{i=1}^{N_P} \mu_{k}^{H_{ki}} M_y^{k} \cdot H_{ki} \cdot A_{H_{ki}} - \sum_{j=1}^{N_{\sim P}} \mu_{H_{\sim kj}}^{k} M_y^{H_{\sim kj}} \cdot A_{k} + m_y^k = 0$$

其中，$\mu_k^{H_{ki}}$ 表示粒子 $k$ 与……之间的交互状态。

关于所提双视野非寻常态基于态peridynamic公式数值实现的若干说明

本节传达了关于所提公式数值实现的若干说明。由于几何的任意性，粒子的规则分布往往不可能。在下一节阐述的所有算例中，有限元网格被用作粒子生成的背景。如图2a所示，一个代表域通过四边形单元的有限元网格进行离散化。有限元网格中的节点……

算例

本节通过一系列算例阐述了所提公式在数值性能方面的准确性和稳健性。前三个算例侧重于通过与文献中广泛接受的方法（如相场断裂模型和屈服线理论）进行对比来验证所提公式的准确性。随后，检验不同准则对板断裂模拟的影响，并评估具有能量准则的适用性……

结论

本研究成功开发了一种用于板准脆性断裂的新颖非寻常态基于态peridynamic公式。所提公式采用Reissner-Mindlin板模型的假设进行运动学关系描述、应力和应变分量的确定以及虚拟功原理的建立。利用peridynamic微分算子构建上述所有量的非局部表达式，并推导出内部力和力矩密度。随后，……

CRediT作者贡献声明

Duy Vo：原创草稿撰写、验证、软件、方法学、调查研究。
Zwe Yan Aung：审阅与编辑、可视化、软件、调查研究。
Pana Suttakul：审阅与编辑、方法学。
Elena Atroshchenko：审阅与编辑、方法学、概念构思。
Tosporn Prasertsri：审阅与编辑、方法学。
Jaroon Rungamornrat：审阅与编辑、监督、方法学、资金获取、概念构思。

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的与本文所报道的工作相冲突的财务利益或个人关系。

致谢

本研究由泰国科学与创新基金朱拉隆功大学（项目编号：IND_FF_69_162_2100_028）资助，并得到朱拉隆功大学第二世纪基金（C2F）的支持。

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