随机激励下降低应力均方根值的动态至静态两阶段拓扑优化

《Engineering Structures》：Dynamic-to-static two-stage topology optimization for stress RMS reduction under random excitation

　　

# 随机激励下的拓扑优化

**摘要** 当设计目标为应力可靠性而非仅为位移或柔度时，随机激励下的拓扑优化极具挑战性，因为应力均方根值具有高度局部性和频率耦合性。本研究提出了一种面向承受平稳随机激励的线弹性结构的动-静两阶段拓扑优化框架，以降低其Von Mises应力的均方根值。在第一阶段中，通过伪激励法将随机载荷进行转换，利用模态加速度法评估频域响应，并在空间域和激励频带上对双重聚合的动态柔度目标进行最小化，从而获得具有动力学意义的载荷传递路径。在第二阶段中，以收敛后的动态拓扑作为初始设计，进行静态应力P范数优化，同时保留体积和一阶固有频率约束以维持主要振动特性。采用二维和三维算例对所提方法进行了验证。优化结果表明，通过动态载荷路径构建与后续静态应力重分布的结合，可以更稳健地实现随机激励下的应力均方根值降低。

**引言**

Bends?e和Kikuchi的开创性工作奠定了连续体结构拓扑优化的基础[1]。此后，众多研究集中于该领域，拓扑优化已发展成为概念结构设计的一种成熟方法，并在理论和应用方面持续拓展。根据材料分布的更新策略，逐渐形成了几种主要方法。SIMP方法仍然是最常用的基于密度的方法，因其简洁且与基于梯度的求解器兼容[2,3]。演化方法，如结构优化演化法（ESO）和双向演化法（BESO），直接移除或添加材料，在生成清晰的0/1布局方面具有优势[4,5]。边界追踪方法，包括水平集法（LSM）、可变形态组件法（MMC）和可变形态空洞法（MMV），演化结构边界并提供清晰的几何解释[6,7,8,9]。为获得更清晰的优化构型，Heaviside函数被用于将设计变量投影至0/1分布。该投影方案广泛用于拓扑优化问题中，特别是在迭代过程相对不稳定且灰色区域趋于残留的情况[10,11,12,13]。

除早期关于经典静态刚度设计的研究[14,15,16]外，拓扑优化已扩展到应力控制[17,18]、振动抑制[19]、声学性能[20]、流体相关问题[21]、多尺度结构[22]以及增材制造应用[23]。然而，与静态问题相比，动态拓扑优化要困难得多，因为设计同时影响结构的刚度、质量、阻尼相关响应和模态特性。近期研究从不同角度解决了这些困难。降低阶方法已被系统研究以改善动态拓扑优化的计算效率[24]，同时自适应数值格式也被开发用于由动态响应驱动的二维和三维拓扑优化[25]。基于动态可靠性的公式也已被提出，以考虑不确定的动态过程[26]。此外，任意动态载荷下的局部应力约束在不使用传统应力聚合的情况下也得到了处理[27]。

在工程实践中，许多工作环境更适合用随机激励而非少数确定性谐波载荷来描述，如湍流[28]和地震地面运动[29]。因此，随机激励下的拓扑优化引起了越来越多的关注。现有研究开发了若干具有代表性的公式，包括滤波白噪声模型[30]、状态空间公式[31]和伪激励法（PEM）[32]。对于承受具有指定输入功率谱密度（PSD）的随机激励的连续体结构，PEM通常用于将随机激励转换为等价的确定性伪激励载荷。然后，可以在频域中评估响应PSD和均方根值，如位移均方根或应力均方根。在这一研究路线中，常见的计算途径是将PEM与基于模态叠加的方法相结合，包括模态位移法（MDM）、模态加速度法（MAM）或完全法（FM）[33]，并以选定自由度或关键区域的PSD或均方根响应来构建优化目标，这些区域通常在激励点或响应控制位置附近[34,35,36,37,38,39]。除频域公式外，近期研究还探索了使用时域随机振动方法的随机拓扑优化。Angelucci等人考虑了全非平稳随机地震地面运动下多层建筑的拓扑优化，计及时变激励幅值和频率成分[40]。Xian和Su开发了在分形阻尼结构受非平稳随机激励下的基于可靠性的拓扑优化框架[41]。

然而，从关于局部位移响应的目标直接扩展到关于动态柔度的目标仍然困难。一个主要原因是反共振现象。当激励频率或激励频带的部分接近反共振频率时，优化器可能通过削弱载荷传递路径来降低目标值，而不是通过改善整体振动性能，这可能导致断开或不真实的拓扑[42]。另一个困难在于不同的激励频率可能导致不同的材料布局。因此，一旦考虑宽带随机激励，优化变得更加敏感于频带内各模态贡献之间的竞争。对于窄带情况，该问题可以通过将第一反共振频率约束在激励范围之外来部分缓解[43]。然而，对于宽带激励，由于反共振频率无法被移离任意宽频带，这种策略变得不太实际。增加阻尼也可以抑制高频响应并改善数值稳定性，但过大的阻尼值可能不再代表实际的材料或结构行为。其他研究引入了静态柔度项或约束，以及归一化策略，以改善结构连通性、稳定灵敏度场，并在频响抑制问题中获得更清晰的拓扑[42,44]。

静态载荷下的基于应力的拓扑优化已经是一个经典但具有挑战性的问题。其主要困难包括应力奇异性、大量局部应力约束以及局部应力与设计变量之间的强非线性[45,46,47]。在随机激励下，这些困难进一步与频域积分以及应力分布对微小拓扑变化的高度敏感性耦合在一起。若干研究考虑了随机载荷下的动态应力响应或与疲劳相关的准则[48,49]，表明面向应力的随机拓扑优化在原理上是可行的。然而，这些研究中所考虑的激励条件通常是在有限的频率设置内预先给定的，所得到的基于应力的拓扑并不总是与静态载荷下获得的拓扑有显著差异。与基于位移或柔度的公式相比，随机激励下的直接应力优化因此仍然在数值上更加脆弱。

进一步的障碍在于应力均方根值的评估。Von Mises应力是正应力和剪切应力分量的非线性组合；因此，等价应力的均方根值通常不能通过直接组合各应力分量的均方根值来获得。其准确评估需要激励频带上各应力分量的协方差或互谱信息[50,51]。此外，由于应力来源于位移场的空间梯度，应力均方根值比基于位移的量对频率离散化、模态表示和局部数值不规则性更加敏感。在拓扑优化循环中，这种敏感性进一步被中间密度单元和快速变化的局部应力集中所放大。因此，直接将应力均方根值嵌入目标或约束中可能引起目标函数和灵敏度场的严重波动。因此，主要困难在于当设计由高度局部且频率耦合的响应驱动时，如何维持稳定的结构演化。

为解决这一问题，本研究提出了一种面向平稳随机激励下降低应力均方根值的动-静两阶段拓扑优化框架。在第一阶段中，动态柔度目标在空间域和频域上进行聚合，从而使优化器由主要局部响应贡献和高响应频率点引导，而非简单的平均响应。伪激励法和模态加速度法用于高效评估随机频域响应，相应的灵敏度通过伴随公式获得。在第二阶段中，第一阶段拓扑被用作静态应力P范数优化的初始设计。在应力重分布过程中保留一阶固有频率约束，以防止优化后的结构失去动态阶段建立的振动特性。

本文组织如下。第2节介绍了随机响应评估，包括伪激励法、模态加速度、动态柔度和应力均方根值的计算。第3节公式化了两个优化阶段并推导了相应的灵敏度。第4节总结了完整的优化流程。第5节利用二维和三维数值算例验证了所提框架，并讨论了两阶段策略何时比单阶段静态应力优化更具优势。

## 第2节 随机结构动力学与响应评估

本节建立了随机振动分析的基本公式。引入伪激励法将随机激励转换为频域中的确定性谐波载荷。然后使用完全法、模态位移法和模态加速度法求解位移响应。基于所得频域响应，评估动态柔度、位移均方根和应力均方根值。

## 第3节 两阶段优化公式与灵敏度分析

基于第2节中的随机动态响应分析，本节提出了两阶段拓扑优化公式及相应的灵敏度分析。第一阶段在随机激励下最小化聚合的动态柔度目标。该目标通过双重聚合单元动态柔度密度在空间域和激励频带上的分布来构建。第二阶段使用第一阶段优化得到的拓扑作为初始设计并

## 第4节 拓扑优化流程

整个优化过程概述于图1中。尽管两个阶段使用不同的目标函数，但它们共享相同的有限元模型、设计变量、体积约束和边界条件。主要差异在于用于引导结构演化的响应量。在第一阶段，拓扑由随机动态响应驱动。在第二阶段，收敛的动态拓扑通过静态应力重分布进一步细化。

设计域为

## 第5节 数值算例

数值算例用于评估所提框架。第5.1节使用悬臂梁基准验证动态柔度优化中的双重聚合方法。第5.2节考察动态预设计能否在静态应力重分布后降低Von Mises应力的均方根值，使用L形梁基准。第5.3节将验证扩展至两个三维结构，考察相同的设计逻辑在更复杂几何和模态条件下是否仍然有效。

## 第6节 结论

本文提出了一种面向平稳随机激励下降低Von Mises应力均方根值的动-静两阶段拓扑优化框架。在第一阶段，通过最小化空间上和频谱上聚合的动态柔度目标来构建具有动力学意义的载荷传递路径。在第二阶段，通过静态应力P范数优化实现局部应力重分布，同时保留体积和一阶固有频率约束。数值算例表明

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周诗安：撰写—原稿、可视化、验证、方法论、调查、形式分析、数据整理、概念化。姚松：撰写—审阅与编辑、监督、软件、资源、项目管理。

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作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

周诗安 | 姚松
中国 中南大学