基于效用函数的短缺风险投资组合优化的交替方向乘子法

《European Journal of Operational Research》：An alternating direction method of multipliers for utility-based shortfall risk portfolio optimization

　　

- 我们在SAA框架下研究基于效用函数的 shortfall 风险优化。
- 一种ADMM方案利用了问题的块可分结构。
- 半光滑牛顿法用于求解ADMM投影子问题。
- 该方法能够处理带有一般线性约束的高维投资组合。
- 实验表明，在合成数据和真实数据上，该方法相比MOSEK和SCS具有大幅度的速度提升。

**引言**

准确评估和量化金融资产相关风险在量化金融和金融风险管理中具有根本重要性。在学术研究及行业实践中最广泛采用的风险指标之一是风险价值（VaR），其在置信水平??下对应损失分布的(1???)分位数，可解释为确保亏损概率不超过??所需的最小资本（Duffie & Pan, 1997）。尽管VaR广受欢迎，但它忽略了超过阈值的损失幅度，在投资组合权重上不满足凸性，并且在某些设置下还会带来计算挑战。为克服这些不足，一致性风险度量的公理化框架被提出（Artzner等, 1999），要求次可加性、平移不变性、正齐次性和单调性。一个突出的例子是条件风险价值（CVaR），定义为在超过置信水平??的VaR条件下损失的期望值，它提供了更全面的尾部风险描述，满足所有一致性公理，从而在投资组合权重上产生凸函数（Pflug, 2000, Rockafellar和Uryasev, 2000, Rockafellar和Uryasev, 2002, Uryasev, 2000）。

基于效用的Shortfall风险（UBSR），作为VaR的替代方案被提出，近年来日益受到关注，并被表述为一种凸风险度量（F?llmer & Schied, 2002）。与一致性风险度量不同，UBSR不要求正齐次性和次可加性，同时保持了凸性和经济可解释性。给定一个损失函数和一个阈值，金融头寸的UBSR可解释为确保期望损失保持在阈值以下所需补充的最小资本金额。从这个角度来看，VaR和UBSR都可以被视为资本充足性要求。

特别是，UBSR相比传统风险指标VaR和CVaR具有几个优势。最显著的是，它在实际应用中提供了更大的灵活性，因为损失函数的选择可以反映投资经理对金融风险的不同态度。与VaR不同，UBSR是一种对尾部损失严重程度敏感的凸风险度量。与CVaR相比，UBSR在随机化下保持不变，如Dunkel和Weber（2010, 注记2.2(4)）中所讨论的。关于UBSR的全面论述可参见Giesecke等（2008）以及Dunkel和Weber（2010）。

尽管UBSR的理论性质已被广泛研究，但UBSR计算方法的开发仍相对探索不足。现有文献（Dunkel和Weber, 2010; Hu和Zhang, 2018）主要关注通过将UBSR重新表述为非线性函数的求根问题来估计UBSR，而非解决带约束的UBSR最小化问题。具体来说，Dunkel和Weber（2010）采用Robbins–Monro算法（Robbins & Monro, 1951）来求解相关的随机求根问题，而Hu和Zhang（2018）在样本平均近似（SAA）框架内利用基于Monte Carlo的求根方法。Gupte等（2024）在光滑参数化条件下推导了UBSR梯度的表达式，并设计了随机投影梯度下降算法用于UBSR估计和随机逼近（SA）框架下的带约束UBSR最小化。类似地，Hegde等（2024）提出了随机梯度下降方法并将问题扩展到在线设置。

尽管现有随机梯度方法具有计算效率，但在处理带有一般约束的高维投资组合优化问题（如最小期望收益要求）时，由于投影步骤代价高昂而面临挑战。此外，随机梯度估计需要强正则性假设，且该算法专门为在线学习环境设计，因此不适合直接在SAA框架中应用（Kim等, 2014; Pagnoncelli等, 2009; Shapiro等, 2021）。SAA视角还受到实际投资组合实施的动力驱动。在许多应用中，问题以滚动窗口的方式反复求解。当市场条件发生结构性变化时，这一点尤为相关，因为较早的观察值可能迅速变得信息量不足。因此，计算目标是在当前数据窗口内高效准确地求解有限样本问题。

在本文中，我们提出了一种基于交替方向乘子法（ADMM）的高效算法，用于在SAA框架下求解UBSR投资组合优化问题——这是该类风险度量的一种实用且可计算设置的设置。投资组合选择问题（Black和Litterman, 1992; Chen等, 2023; Cui等, 2018）是量化金融中的经典主题，其理论根源可追溯到Markowitz关于投资组合理论的开创性工作（Markowitz, 1952）。

我们将基于UBSR的SAA问题重新表述为等价的块可分结构，并开发了基于ADMM的求解策略。ADMM算法以其收敛保证和可扩展性而闻名，在机器学习和大规模决策等领域得到了广泛应用（Deng等, 2025; Xiao等, 2023）；综合综述另见Boyd等（2010）和Lin等（2022）。

据我们所知，我们的算法是专门为利用SAA框架下基于UBSR的投资组合优化问题结构而设计的，并附有严格的收敛保证。所提算法将原问题分解为两个子问题。具体而言，第一个子问题归结为一个凸二次规划，可以高效求解。第二个子问题是关于一个由复杂非线性约束刻画的凸集的投影，这构成了基于UBSR优化中的主要挑战。为解决此问题，我们开发了一种半光滑牛顿法，通过半光滑隐函数定理求解一元方程。我们在温和假设下建立了所提（G-）半光滑牛顿法求解投影子问题的局部和全局收敛性。我们提供了所提算法的高效实现，在合成数据集和真实数据集上相比最先进的求解器实现了显著的速度提升，尤其是在高维设置中。

为了提供 clearer 的视角，表1总结了关于UBSR的现有计算研究，并突出显示了我们工作旨在填补的空白。如图所示，先前的研究主要集中在评估UBSR或在简单投影友好设置下使用随机梯度方法。相比之下，我们提出的方法明确地以大规模解决带约束的SAA优化问题。

本文其余部分组织如下。第2节介绍理论 preliminaries，包括半光滑隐函数理论，这构成了我们算法设计的理论基础。第3节提出了基于UBSR的投资组合优化的ADMM框架，详细说明了SAA表述以及问题分解为可处理子问题。第4节解决了具有挑战性的UBSR约束投影问题，将其重新表述为带约束的投影问题，并开发了高效的半光滑牛顿法进行求解。第5节提供了在合成数据集和真实数据集上的数值结果，包括UBSR投影和投资组合优化任务，证明了所提方法的有效性和鲁棒性。

**记号**

本文中，粗体小写字母如 ?? 表示向量，而常规小写字母如 ?? 表示标量或向量的分量。粗体大写字母如 ?? 和 ?? 表示向量值函数，常规大写字母如 ?? 和 ?? 表示标量值函数。对于 ??∈???，‖??‖=√(?????)。设 0?? 和 1?? 分别表示??维全零向量和全一向量，设 ???? 表示??维单位矩阵。当维度从上下文中明确时，可省略维度下标。对于标量 ??∈?，记 ??+=max{??,0} 和 ???=max{???,0}。对于正整数 ??，使用 [??] 表示集合 {1,2,…,??}。设 ??(?):?→? 表示一元损失函数。对于向量 ??∈???，记 ??(??)=∑_{??=1}^{??} ??(????) 为逐分量损失之和。若 ??(?) 可微，设 ???(??) 表示其梯度，即 ???(??)=[??′(??1),??′(??2),…,??′(????)]?，其中 ??′(?) 表示损失函数 ??(?) 的导数。算子 ?? 表示正交投影；例如，????(??)=arg min_{??∈??} ‖?????‖。

**章节摘要**

**初步知识**

在本节中，我们首先介绍基于效用的Shortfall风险（UBSR）作为VaR的替代风险度量，其动机在于VaR无法捕捉尾部风险且不满足凸风险度量的性质。然后我们呈现G-半光滑性的概念以及半光滑函数的隐函数定理。这些基础概念和假设构成了分析应用于投资组合优化的ADMM算法的理论基础。

**基于UBSR的ADMM**

在本节中，我们基于第2.2节提出一种ADMM算法来求解基于UBSR的投资组合优化问题。特别地，我们首先使用SAA技术重新表述原始风险最小化模型。该重新表述导致一个具有块可分结构的问题，可被ADMM框架有效利用。然后我们详细说明所得的子问题，并讨论每个子问题的高效求解策略。本节突出了ADMM如何在…

**投影到集合 ??**

在本节中，我们关注涉及ADMM更新中出现的非线性约束（6）的投影到集合 ?? 的问题。我们首先从公式化投影问题的Karush-Kuhn–Tucker（KKT）条件开始（Beck, 2017, 定理3.78）。一个自然的解决此子问题的高效方法是直接将KKT系统视为非线性系统并应用半光滑牛顿法。然而，这种方法缺乏全局收敛性保证。因此，我们探索…

**数值实验**

在本节中，我们在配备256 GB RAM和96核AMD EPYC 7402 CPU（运行频率2.8 GHz）的Linux服务器上进行实验。如果损失函数是二阶连续可微的，问题（7）可以使用经典的原始-对偶内点法求解。然而，由于问题的稀疏性，迭代过程中生成的矩阵大部分为对角矩阵，这可能导致在使用标准内点法求解器时出现冗余计算。为此，我们…

**结论**

本文解决了基于效用的Shortfall风险（UBSR）优化的计算挑战，UBSR是一种对尾部损失敏感的凸风险度量。我们提出了一种基于交替方向乘子法（ADMM）的新方法。一个关键贡献是开发了用于ADMM投影步骤的两种半光滑牛顿法。在理论上，我们证明了ADMM及其子问题求解器的收敛性保证。数值实验证明了该算法的实用性…

**作者贡献声明**

肖如峰：写作 – 审阅与编辑，写作 – 初稿，可视化，验证，软件，方法论。李至平：写作 – 审阅与编辑，写作 – 初稿，可视化，验证，软件，方法论。蒋如君：写作 – 审阅与编辑，写作 – 初稿，监督，方法论。

**利益冲突声明**

作者声明不存在已知的可能影响本文所报告工作的竞争经济利益或个人关系。

**致谢**

本工作部分得到中国国家重点研发计划（资助号2023YFA1009300）、国家自然科学基金（资助号12171100）以及国家自然科学基金重大项目（资助号72394360, 72394364）的支持。

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