一种新颖的均衡有效前沿用于评估具有共享不良固定和产出的网络决策单元

《European Journal of Operational Research》：A novel equilibrium efficient frontier for evaluating network decision-making units with shared undesirable fixed-sum outputs

　　

•提出了一种针对固定总和输出的两阶段系统的评估框架。•引入了一种权重选择机制来构建EEF。•该框架在集中式和分布式场景下进行了开发。•基于局部支持的极端有效DMU集评估原始DMU。•提供了中国能源系统的案例研究。引言数据包络分析（DEA）是一种非参数方法，用于评估利用多种投入生产多种产出的决策单元（DMU）的相对效率（Charnes et al., 1978）。传统的DEA模型，如CCR和BCC模型，依赖于DMU之间完全独立的假设（Banker et al., 1984），即一个DMU的效率不受其他DMU投入-产出调整的影响。然而，由于固定总和变量的存在，这一假设在现实经济系统中经常被违反。正如Dyson等（2001）和Lins等（2003）所指出的，在固定总和产出约束下，调整一个DMU的产出不可避免地会引发其他DMU的补偿性变化。例如，在碳排放配额分配中，区域总排放上限是由国家排放目标确定的固定总和约束，各省之间的配额分配受到刚性限制。因此，一个省份排放配额的增加会减少其他地区的可用配额。这种资源配置中"一得必有所失"的特征从根本上与传统DEA模型所依赖的独立假设相矛盾。认识到传统DEA模型在评估具有固定总和约束的DMU方面的局限性，各种固定总和DEA（FSDEA）模型已被提出。根据Lozano（2023）总结的分类，该主题现有的方法主要分为两类。一类是基于Lins等（2003）提出的零和收益DEA（ZSG-DEA）模型。ZSG-DEA模型基于包络形式DEA模型，其基本原理认为，在评估特定（DMU）的效率时，其任何产出的增加必须由其他DMU产出的相应减少来匹配。Gomes和Lins（2008）将ZSG-DEA应用于具有非期望产出的碳排放配额分配。Fonseca等（2010）通过纳入非径向投影和锥比权重限制对ZSG-DEA模型进行了扩展，并开发了一种迭代近似算法进行求解。Pang等（2015）进一步将ZSG-DEA模型应用于国家间的碳排放配额分配，证明了竞争和合作场景的等价性，并指出配额调整与效率变化相关联。Miao等（2016）结合了非期望产出的弱可处置假设，提出了CO2排放配额分配机制。ZSG-DEA模型涉及非线性约束，导致其计算复杂度显著高于传统DEA模型。此外，Yang等（2011）指出，ZSG-DEA模型中为低效率DMU提出的等比例减少和等量减少策略可能产生次优结果。因此，他们基于最小化调整量的策略提出了固定总和产出DEA（FSODEA）模型。然而，在FSODEA模型下，每个DMU基于不同的效率前沿进行评估，这损害了DMU之间效率得分的可比性，从而降低了相对效率评估的可靠性。正是由于这些局限性，另一类方法，即均衡有效前沿DEA（EEFDEA）方法应运而生。Yang等（2014）开创了均衡有效前沿（EEF）的概念，为该领域的后续研究奠定了基础。该方法旨在构建EEF，作为评估所有DMU效率的统一且公平的基准平台。尽管该方法有效地解决了因基准不一致而导致的效率不可比问题，但EEFDEA模型需要预先确定评估顺序。评估顺序的变化可能显著影响效率评估的最终结果。此外，当评估大量DMU时，模型的计算复杂度显著增加。Yang等（2015）认识到这些限制，提出了广义均衡有效前沿数据包络分析（GEEFDEA）方法。该方法允许通过单一计算步骤获得所需的EEF。具体来说，该模型要求所有DMU采用统一的权重集来达到EEF。继Yang等（2014）和Yang等（2015）的研究之后，越来越多的关注被投向EEF概念。Zhu等（2020）定义了一个量化满意度指标，并基于最大化所有DMU最小满意度的优化策略构建了EEF。Amirteimoori等（2020）成功地在多类型投入/产出变量的情况下建立了EEF，并将其应用于省级天然气分配效率的评估。Zhu等（2021）从投入角度出发，通过最小化所有DMU对之间的调整值差异构建了EEF。然而，上述一些方法并不能保证所产生的EEF的唯一性。为了解决EEF的非唯一性问题，Fang（2016）提出了一个结合权重限制并最小化每个固定总和产出最大相对偏差的模型，从而确保了唯一的均衡有效前沿。此外，Zhu等（2017）通过反例证明Fang的次优目标方法可能无法实现唯一的EEF，并提出了一种算法来保证其唯一性。Chen等（2021）系统地考虑了所有可能的EEF，从而为应对非唯一性挑战提供了更全面的评估方法。Yu等（2023）提出了一种新的基于谈判的选择方法来处理多个可行EEF，将DMU视为博弈参与者以生成唯一且帕累托最优的EEF。Feng等（2024）提出了一种共同均衡有效前沿DEA（CEEFDEA）方法，同时解决最优性和公平性目标。为解决非唯一性问题，他们开发了一个派生的二次规划（QP）模型。Wang等（2025）通过引入一种激进的交叉效率机制，进一步解决了群组效率评估中EEF的非唯一性问题，而Wei等（2025）和Yu等（2026）则考虑了所有可行EEF，而不是依赖于单个选定的前沿。在上述固定总和DEA研究中，每个DMU的内部结构通常被视为"黑箱"，效率基于初始投入和最终产出进行评估（F?re et al., 1996），忽视了内部生产过程（Ang et al., 2019）。因此，网络DEA模型被开发出来以解开这个"黑箱"，近期研究开始将固定总和约束纳入网络DEA框架。网络结构主要可分为串联和并联系统。对于串联系统，特别是具有两阶段结构的系统，常见的方法是在全局最优性视角下的集中式模型，它将两个阶段整合起来。例如，在Li等（2021）提出的模型中，首先构建系统效率前沿，然后将奥运会赛程分为备战和比赛阶段，从而实现对参赛国家效率的评估和阶段效率的分解。Li等（2022）通过扩展GEEFDEA模型为整体能源系统确定了共同的EEF，并基于所得到的EEF评估了中国火电行业的能源效率。Chen等（2023）开发了以优化整体系统效率为目标的两阶段聚合DEA模型，然后从内部和外部视角评估了52所大学的表现。Chen等（2024）考虑了中间产出的外部交易，提出了一个模型以从全局视角寻找系统的竞争均衡。在这些串联系统的模型中，首先计算整体系统效率，然后按照特定原则对各阶段进行分解。关键在于，即使在Zhang等（2024）提出的非合作DEA模型中，也是在计算阶段效率之前为整个系统构建了共同的EEF，且阶段优先级存在不确定性。对于并联系统，Ding等（2023）通过考虑并联系统中的共享固定总和投入开发了一种新的GEEFDEA模型，并运用该方法评估了中国研究型大学的绩效。An等（2025）通过为不同场景开发相应模型扩展了GEEFDEA，并将该方法应用于评估中国区域产业效率。除了串联和并联系统之外，一些学者也将目光投向更复杂的混合结构（Ma et al., 2017; Zhang et al., 2023）。通过对现有文献的系统回顾，我们观察到，当前关于网络结构固定总和DEA模型的研究（An et al., 2025; Chen et al., 2024; Li et al., 2023; Zhang et al., 2023）主要集中在Yang等（2015）提出的GEEFDEA模型的扩展上。然而值得注意的是，Yang等（2015）提出的模型在生成EEF的过程中对所有DMU施加了统一权重。这种方法不仅违背了传统DEA模型中的差异化加权原则（Wu et al., 2019），而且导致生成的EEF由单一超平面构成（Chu et al., 2024; Wang et al., 2025），不足以捕捉现实生产系统的特征，尤其是在可变规模报酬（VRS）假设下。关于统一权重问题，Wu等（2019）尝试通过对个别DMU分配不同的乘数来构建EEF。然而，在其模型中，与固定总和产出相关的乘数在不同DMU之间仍然相同，这在应用于复杂生产过程时会降低前沿的准确性。在这方面，Chu等（2024）允许DMU独立选择其所有投入和产出的偏好权重，以提高有效前沿的灵活性。Wang等（2025）则提出了一种新的EEFDEA模型，采用比例前沿平移策略重新定义有效前沿。该方法有效地缓解了DMU之间的不公平调整，同时保证了EEF的唯一性。综上所述，仍有若干研究空白未被解决。首先，许多固定总和DEA研究使用共同权重集构建EEF，对网络系统的关注有限。虽然Chu等（2024）有效地解决了单阶段设置中的统一权重问题，但其方法不能直接应用于复杂网络系统。其次，大多数现有的固定总和约束下串联网络系统的DEA模型倾向于从全局优化视角构建整体系统的前沿。阶段优先级通常在效率分解中体现，而对将阶段级别优先级纳入EEF构建的关注有限。第三，现有的EEFDEA研究主要集中在通过调整固定总和产出获得EEF，而对调整后的DMU获取后如何评估原始DMU关注较少。为弥补这些空白，本研究提出了一种基于EEF的网络DMU评估方法，适用于具有共享非期望固定总和输出的网络DMU。所提出的方法允许DMU独立选择其偏好权重，并在集中式和分布式场景下通过构建EEF获得调整后的DMU。在集中式场景下，调整从系统层面视角确定；而在分布式场景下，调整则根据各阶段优先级获得。基于调整后的DMU，调整后的极端有效DMU以及被评估DMU的调整状态，定义了用于评估原始DMU的局部支持极端有效DMU集（LSEEDS）。本文的主要贡献如下：首先，本研究将GEEFDEA模型中统一权重假设的放松扩展到了具有共享非期望固定总和输出的两阶段网络系统。其次，我们的模型在构建EEF时考虑了两阶段网络系统不同程度的集中化，使前沿能够反映系统层面的协调或阶段层面的优先级。第三，我们定义了局部支持极端有效DMU集（LSEEDS），该集由调整后的极端有效DMU和被评估DMU的调整状态确定，用于评估原始DMU。最后，我们讨论了EEF模型可能需要进行哪些潜在改变以考虑到完全有效的前沿。本文其余部分结构如下：第2节展示了现有扩展GEEFDEA方法对具有共享非期望固定总和输出的两阶段网络结构的适应；第3节介绍了一种新的网络效率评估方法，该方法同时适用于集中式和分布式场景；第4节通过数值示例和实证应用展示了所提出方法的实际应用有效性。

最后，第5节总结了主要发现并概述了未来研究的潜在方向。

**各节摘要**

**预备知识**

本节将现有的扩展GEEFDEA方法适配到本研究所考虑的两阶段网络结构（包含共享的不利固定总和输出），从而为所提出的方法提供方法论基础。GEEFDEA方法通常涉及两个阶段：构建共同EEF，然后基于所构建的EEF对原始DMU进行评估。本节关注第一阶段。考虑n个同质DMU，每个都具有如图X所示的两阶段网络结构。

**针对两阶段网络DMU提出的新EEF方法**

本节我们开发了一种基于EEF的方法，用于评估具有共享固定总和输出的两阶段网络DMU。该方法首先通过EEF构建获得调整后的DMU，然后基于相应的LSEEDS对原始DMU进行评估。

**数值算例与应用**

本节通过数值算例和经验应用验证了所提出的方法。我们使用数值算例验证了该方法，并将其与第2节中的扩展GEEFDEA模型进行了比较。该方法在中国30个省级区域能源生产-利用系统中的应用展示了其实用性。

**结论**

本文提出了一种新的评估具有共享不利固定总和输出的两阶段网络DMU的方法。为解决现有扩展GEEFDEA模型中的统一权重限制，我们允许每个DMU根据自身输入输出偏好确定其最优权重。基于此机制，我们在集中式和分散式场景下开发了EEF构建模型。在集中式场景下，共享的固定总和输出从系统层面进行调整。

**致谢**

本研究由以下项目资助：国家自然科学基金（批准号：72188101, 72271080），"双一流"学科建设（批准号：PA2024GDGP0032），中央高校基本科研业务费专项资金（批准号：JZ2025HGTG0286, JZ2025HGTG0285），安徽省哲学社会科学规划项目（批准号：JS2025AHZS0010），以及教育部哲学社会科学实验室数据相关项目。

**作者贡献声明**

陶丁：写作——审阅与编辑，方法论，调查研究，资金获取，概念设计。

张京芳：写作——初稿，软件，方法论，数据整理，概念设计。

王平：写作——审阅与编辑，验证，指导，方法论，概念设计。

安清先：写作——审阅与编辑，验证，指导。

陶丁 | 张京芳 | 王平 | 安清先