RA-DualDRM：一种具有物理适应性和自适应网格积分特性的双网络深度里兹方法，用于相场裂纹扩展分析

《Engineering Fracture Mechanics》：RA-DualDRM: A physics-adapted dual-network Deep Ritz method with adaptive mesh integration for phase-field crack propagation analysis

　　

• 提出了物理适配的双网络深度Ritz方法用于相场断裂分析。
• 选择性傅里叶富集在保持位移平滑的同时解决损伤问题。
• 裂纹历史条件与损伤驱动的自适应积分相耦合。
• RA-DualDRM相比DRM基线最高可提速5.33倍，并降低GPU显存占用。

引言
断裂扩展仍然具有挑战性，因为位移不连续性与裂纹拓扑及非线性材料响应共同演化。Francfort和Marigo[1]提出的脆性断裂变分理论将Griffith断裂重新表述为能量最小化问题，并提供了一种无需预先规定裂纹路径的裂纹演化统一描述方法。基于这一变分观点，Bourdin等人[2]引入了一种正则化相场近似，用连续标量相场替代尖锐的裂纹表面。热力学一致的能量公式和稳健的有限元实现方案已使相场断裂成为复杂裂纹演化的一种通用框架[3]、[4]、[5]。

在计算断裂力学领域，近期的科学机器学习研究主要沿两个方向发展：数据驱动替代模型和力学约束神经网络求解器。数据驱动方法从裂纹构型、边界条件、材料参数和加载历史中学习至断裂响应的映射关系[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]，但其可靠性在未见过的裂纹拓扑或加载场景下可能会降低。力学约束方法则将控制方程、边界条件或变分原理嵌入训练目标函数[12]、[13]。

在这些方法中，基于能量的神经网络公式因其与变分原理的天然一致性而对相场断裂尤为吸引人。Goswami等人[14]、[15]提出了基于能量最小化的相场断裂神经网络求解器，并在加载步之间使用迁移学习；而Samaniego等人[16]将深度能量方法(DEM)系统化应用于计算力学。Ghaffari Motlagh等人[17]进一步比较了基于残差和基于能量的脆性断裂公式，展示了变分神经网络求解器的潜力。与强形式残差最小化相比，基于能量的公式降低了训练过程中所需的空间导数阶数，这对于涉及局部梯度和演化损伤区的断裂问题具有吸引力。然而，将其应用于演化断裂时，神经网络近似和能量积分必须在损伤通过重复非线性最小化局部化时保持可靠[18]、[19]。

深度Ritz方法(DRM)是该类方法中尤为直接的一种，因为它通过最小化变分能量本身来搜索神经网络试函数。Manav等人[20]最近证明DRM可以复现复杂的相场断裂过程。在他们的公式中，神经网络预测位移和相场的节点值，而进入能量泛函的梯度通过有限元形函数在高斯点上评估，而不是通过直接对神经输出求导。他们的研究提供了一个重要的概念验证和有用的神经网络变分断裂求解器基准。

同时，该基准也表明计算效率仍然是广泛DRM-based相场断裂模拟的关键障碍。所报告的二维算例使用了单个大型网络，包含八个隐藏层和每层400个神经元、稠密积分网格以及跨加载步的重复优化。这些选择对于建立方法能力是合理的，但它们也表明，如果DRM要成为相场断裂更实用的工具，进一步降低训练成本和内存使用量非常重要。

神经网络相场断裂求解器的根本困难已日益得到认识。Hamdi和Lejeune[21]指出局部裂纹梯度、频谱偏差和计算成本是重要障碍，而其他近期研究探索了基于能量最小化的应变局部化[22]、有限元-神经网络混合求解器[23]以及基于图的神经网络表示[24]。对于DRM-based相场断裂，三个紧密耦合的问题尤为相关。首先，位移场和相场具有不同的空间规律性：前者描述了主要为平滑的整体弹性响应，而后者发展出受正则化长度控制的狭窄、陡峭梯度裂纹带。标准多层感知机倾向于优先学习平滑和低频分量[25]；因此，统一神经网络表示必须协调两种不同的逼近要求，而单纯增大其规模会增加训练成本而无法解决这种不匹配。其次，裂纹演化是不可逆和路径依赖的：每个加载增量下的容许相场取决于先前形成的裂纹，这必须在新的损伤发展时保留。当裂纹相互作用、合并或分叉时，这一要求变得更加苛刻。第三，局部弹性和断裂能贡献必须在演化的过程区内以足够分辨率进行积分。在全批量DRM公式中，全局细化会增加运行时间和GPU显存使用，而局部分辨率不足会损害相场梯度和断裂能的评估。这些耦合要求推动了神经网络表示、裂纹历史条件和能量积分的联合设计。

RA-DualDRM针对这些断裂特异性要求定制了深度Ritz近似。残差网络表示主要为平滑的位移响应，而傅里叶特征富集了局部相场。前一步相场及其缩放梯度幅值向相场分支提供当前裂纹几何信息，预测的损伤确定积分网格细化的位置。支持性表示测试和耦合消融实验确立这些选择的作用。断裂基准随后评估所得裂纹路径、能量历史和计算成本。效率与复现的单网络DRM基线相比较，并报告交错FEM计时作为计算参考。

本文其余部分组织如下。第2节介绍相场公式和深度Ritz泛函，第3节提出RA-DualDRM，第4节报告数值评估。第5节总结研究发现。

变分相场模型用于脆性断裂
设Ω??2表示脆性弹性体的参考构型，边界为?Ω=Γ_D∪Γ_N。位移场记为??:Ω→?2，裂纹用标量相场变量??:Ω→[0,1]表示。本文中约定??=0表示完整材料，??=1表示完全破坏材料。在小变形假设下，无穷小应变张量为?(??)=?(???+????)。

相场模型可视为变分理论的脆性断裂的正则化近似

设计原理
增量相场断裂泛函耦合了两个具有不同逼近要求的场。位移场承载整体弹性响应，必须在全体上提供力学上有意义的应变。远离裂纹面时它相对平滑，即使在裂纹附近，其不连续特性也应被视为叠加在全局弹性场上的局部运动学特征。相比之下，相场表示受正则化长度控制的狭窄损伤带

实现设置
所有计算均在第2.3节描述的非量纲框架下进行，因此弹性模量E和断裂韧性G_c被吸收进标度关系中，只需指定泊松比ν和非量纲长度尺度l?。DRM计算在单精度下使用单个具有32GB设备内存的NVIDIA RTX 5090 GPU进行，不进行分布式训练。能量以全批量评估，重新划分网格在主机上进行。报告的墙钟时间

结论
RA-DualDRM将深度Ritz公式适应于耦合断裂场的不同空间结构。选择性傅里叶富集改善了局部相场的表示，而残差位移分支避免了当相同富集应用于弹性响应时观察到的振荡。前一步裂纹信息引导演化相场近似，预测的损伤将积分分辨率集中在断裂过程区周围。

CRediT作者贡献声明
王志强：原创手稿撰写、软件、调查研究、概念化。
盛茂：形式分析。
李培超：形式分析。
王昌基：概念化。
陆德堂：手稿审阅与编辑。

写作过程中生成式AI使用声明
在准备本工作期间，作者使用ChatGPT解决语法相关问题并改善措辞。使用此工具/服务后，作者根据需要审阅和编辑了内容，并对出版物内容负全部责任。

利益冲突声明
作者声明他们不知道任何可能影响本文所报告工作的竞争财务利益或个人关系。

致谢
作者感谢两位匿名审稿人提出的建设性意见，这些意见帮助改善了手稿的清晰度和质量。作者也感谢中北大学科研启动基金的支持。

王志强|盛茂|李培超|王昌基|陆德堂