基于有限块法的二维裂纹固体挠曲电断裂分析

《Engineering Fracture Mechanics》：Flexoelectric fracture analysis in 2D cracked solids by finite block method

　　

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  有限块方法被用于二维介电固体中的屈电断裂问题。
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  块界面通过拉格朗日乘子耦合；通过自动微分获得精确雅可比矩阵。
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  该方法与C1 Hermite有限元解进行了验证。
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  研究了裂纹尖端场随屈电系数和裂纹倾角的变化。

引言

微纳尺度系统推动机电组件进入经典压电效应无法以足够保真度捕捉所观测响应的区域。随着特征尺寸缩小，相同的变形模式被限制在更小的区域内，这增加了应变梯度并增强了由屈电耦合产生的极化[1]。由此产生的行为强烈依赖于长度尺度和材料微观结构，对超薄器件的设计和可靠性具有重要影响[1]、[2]。在孔隙、包体裂纹等缺陷附近，大梯度自然出现，因此屈电效应既改变电场和机械场，又能引导失效过程。在单晶体中的直接测量发现应变梯度可以诱导可观的极化[3]，而微观和纳米尺度测试则在裂纹尖端附近可视化了极强的屈电场及其在载荷下的演化[4]、[5]。这些现象使屈电效应成为评估小尺度结构完整性的关键角色。

理论和实验研究已经阐明屈电效应在本构方程中引入了本征材料长度尺度。除了对晶体介电体的基本发展[6]之外，全面的综述将该效应与广泛的应用联系起来，包括无铅驱动和传感、能量收集以及柔性或仿生系统[1]、[2]、[7]。在硅平台上的器件级演示表明，屈电效应可以在不使用含铅压电材料的情况下提供有用的机电转换[8]、[9]。相同的耦合也是纳米尺度压痕尺寸效应的根源，并可以在小尺寸下增韧断裂，通常相对于裂纹尖端极性呈现不对称方式[10]。这些进展共同指向一种稳健的尺寸依赖耦合，如果要以信心预测微型结构的性能或失效，必须在尖锐位移梯度附近解析。

将断裂力学扩展到屈电固体需要仔细考虑弹性梯度理论中的高阶应力、混合机械和电边界条件以及缺陷附近的多个奇异性贡献。梯度弹性及相关理论已被用于分析尖端附近场和构型积分，以及界面裂纹问题[11]、[12]、[13]、[14]。最近的解析工作[15]、[16]为屈电连续体中的空腔和包体等缺陷提供了闭式解，这些是有价值的基准并提供了对模式混合性和场放大的见解。实验观察现在追踪生长中的纳米裂纹处的纳米尺度屈电场，支持梯度理论模型考虑大应变梯度和裂纹面上的机电相互作用[4]、[5]。

数值模拟具有挑战性，因为线性屈电效应在某些方面带来了比经典弹性理论更困难的数学问题。控制方程在位移场中是四阶的，需要经典弹性之外的额外边界条件。通常需要C¹连续有限元、具有额外场变量的混合公式，或专门的富化技术来准确解析尖端附近奇异场。专为屈电效应定制的混合有限元缓解了这些问题，已成为二维和三维问题的有效计算工具[17]、[18]，但它们引入了额外的未知量和约束，增大并通常使线性系统条件不良。无网格公式提供了有吸引力的替代方案，因为形函数由离散节点构建，简化了演化边界处理并减少了网格划分开销。在高阶电弹性耦合的背景下，无单元Galerkin和本地Petrov-Galerkin族已被改编用于屈电问题，包括大变形设置和小尺度下突出的表面效应情况[19]、[20]、[21]、[22]。这些方法可以在相对粗糙的节点集上实现高精度，尽管仔细的稳定化和导数评估是必不可少的。

FBM，最初由Wen等人[23]、[24]提出，解决了功能梯度材料中的弹性问题，通过确保块间应力连续性提供高精度。FBM有效地使用少量块解决大规模尺寸问题，并且可以扩展处理各种偏微分方程，包括非线性问题[25]、[26]、[27]。在本文中，FBM被扩展到二维各向同性固体中包含斜裂纹的屈电耦合断裂问题。基于具有映射块的Galerkin公式，该方法直接在块边上施加机械和电条件，并促进块间传输应力的连续性，这对于捕获裂纹尖端场而不显式富化是有益的。

本工作的新颖性澄清如下。首先，Galerkin有限块方法被扩展到由高阶机电方程控制的屈电断裂问题，作为使用C¹连续有限元正确处理场变量二阶导数需求的替代方案。其次，裂纹域由少量映射高阶块表示，位移、电势和法向位移梯度在人工块界面上的连续性通过拉格朗日乘子弱强制。这避免了构建全局C¹连续有限元网格，并且不需要显式裂纹尖端富化。第三，局部残差和一致切矩阵通过自动微分获得，为耦合高阶问题提供了紧凑的实现。作为使用C¹有限元、混合公式、无网格方法和富化断裂公式的替代方案，本提出的FBM作为一种紧凑的高阶基于块的框架被提出，可以在适度的离散化和直接界面兼容性强制下解析屈电裂纹尖端场。

本文其余部分组织如下。第2节提出了线性屈电的控制方程。对于数值分析，方便地将它们重写为非无量纲形式。第3节给出了本工作中用于FBM的弱形式。第4节描述了有限块方法和相关映射，包括切比雪夫多项式插值、二维块构建和专门的屈电公式。第5节提出数值算例：用于验证的屈电弯曲悬臂梁，随后是对包含斜裂纹的介电固体中屈电效应的分析：倾斜边裂纹（第5.2节）和倾斜中心裂纹（第5.3节）。此处仅考虑直接屈电效应。除非另有说明，本文使用表1中的材料参数。弹性与介电

章节片段

控制方程

本节提出了介电体的控制方程。它们包括应变梯度效应、压电效应和屈电效应，并以张量形式表达[28]。控制方程还包括逆屈电效应，通过显式考虑高阶电势来考虑超越偶极极化的效应，例如四极贡献。物理上无量纲形式仅关注直接屈电效应，形式如下

直接屈电问题的弱形式

为了便于数值求解，例如通过有限块方法或有限元方法，第2.2节提出的无量纲控制方程通过虚功原理被替换为弱（变分）形式。这降低了控制方程中出现的导数阶数。这一变换对于处理复杂几何形状、确保数值稳定性和自然纳入边界条件至关重要。弱形式缓解了

带映射技术的有限块方法

本节采用有限块方法离散化第3节推导的无量纲弱形式。该方法将域离散化为块，每个块映射到参考域以实现高效积分和形函数应用。该方法确保了块界面之间的高阶连续性，这对于准确捕获应变梯度和屈电效应至关重要。

数值算例

本节在简单悬臂梁算例上验证了本FBM用于屈电边界值问题的精度。此外，通过FBM，我们分析了包含斜裂纹的介电固体中的屈电效应：倾斜边裂纹（第5.2节）和倾斜中心裂纹（第5.3节）。此处仅考虑直接屈电效应。除非另有说明，本研究中使用的材料参数见表1。弹性和介电

结论

我们提出了用于二维含裂纹固体中屈电耦合断裂的有限块方法。该公式从一般和简化的无量纲强形式推导，并在映射块上重写为弱形式。每个块以变分形式求解耦合方程，局部残差被组装成全局系统。块界面之间的连续性使用拉格朗日乘子施加，对位移、电势施加连续性条件

CRediT作者贡献声明

W. Huang：撰写——初稿、调查。S.M. Liu：数据管理。P.H. Wen：撰写——审阅与编辑、方法论。J. Sladek：撰写——审阅与编辑、方法论。V. Sladek：撰写——审阅与编辑、方法论。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本文所述的工作。

致谢

感谢斯洛伐克研究局通过VEGA-2/0007/26资助提供的财务支持。

W. Huang|S.M. Liu|P.H. Wen|J. Sladek|V. Sladek