一种用于偏微分方程的虚元方法增强型神经网络算法

《Finite Elements in Analysis and Design》：A virtual element method-enhanced neural network algorithm for partial differential equations

　　

• 提出了一种新颖的 VEM-NN 框架用于求解偏微分方程（PDEs）。
• VEM-NN 天然支持任意多边形网格。
• VEM-NN 结合了虚拟单元方法（VEM）的相容性与神经网络的全局灵活性。
• 在 Poisson 方程、对流扩散方程和波动方程问题上取得了高精度。

## 引言

偏微分方程（PDEs）作为描述自然和工程中系统动态行为的基本数学框架，具有坚实的理论基础，在流体力学 [1]、[2]、[3]、金融工程 [4]、[5]、[6]、生物医学 [7]、[8]、[9] 和电磁学 [10]、[11] 等各个科学和工程领域中发挥着不可或缺的作用。然而，偏微分方程的解析解往往难以获得或根本不存在，因此数值方法已成为求解它们必不可少的工具。

为应对偏微分方程的数值复杂度，人们发展了各种计算方法。有限元方法（FEM）长期以来被视为主流数值技术，但在处理复杂几何形状或多物理场耦合问题时存在一定局限性。为了克服这些困难，Beir?o da Veiga 等人受仿射有限差分法 [13]、[14] 原理的启发，于 2013 年提出了虚拟单元方法（VEM）[12]。通过构造虚拟函数空间，VEM 能够灵活处理任意多边形和多重多面体网格，同时保持良好的稳定性和收敛性。更详细的理论描述随后在文献 [15] 中给出。自那以后，VEM 在理论和应用方面均取得了快速进展。Brezzi、Falk 和 Marini 在文献 [16] 中将该方法推广到混合格式；de Dios、Lipnikov 和 Manzini 引入了非协调 VEM [17]，进一步扩大了其在椭圆问题上的适用范围。Wriggers、Hudobivnik 和 Aldakheel 在文献 [18] 中为任意形状单元开发了虚拟单元格式。在实际应用中，VEM 已成功扩展到固体力学 [19] 和磁流体力学 [20]。

受生物神经系统的启发，人工神经网络（ANNs）作为一类强大的机器学习模型，受到了广泛关注。万能逼近定理从理论上证明了其逼近任意非线性映射的能力 [21]、[22]。近年来，基于神经网络的数值技术的快速发展为偏微分方程的求解提供了新的视角，尤其是通过物理信息神经网络（PINNs）及其变体。Raissi 等人在文献 [23] 中引入了基础的 PINN 框架，随后被扩展为多种改进架构，如 W-PINNs [24]、XPINNs [25]、aPINNs [26] 和 PPINNs [27]。Meethal 等人在文献 [28] 中引入了一种由有限元方法增强的神经网络方法。在此背景下，将传统离散化技术与神经网络相结合的混合方法受到了越来越多的关注。例如，Berrone 等人在文献 [29] 中利用神经网络局部逼近虚拟单元基函数，而 Enabe 等人在文献 [30] 中将 VEM 与深度学习相结合来分析一维 Euler–Bernoulli 梁问题。

本工作提出的虚拟单元方法增强神经网络（VEM-NN）框架沿袭了这一研究方向。它利用 VEM 的投影和组装机制来确保离散化的数值稳定性和相容性，同时引入参数化神经网络作为试探解空间，通过非线性逼近来增强表达能力。特别地，该方法不直接逼近解，而是构造一个满足边界的试探函数，使得 Dirichlet 边界条件被精确满足。这是通过将解表示为边界延拓与基于神经网络的修正项的组合来实现的，从而将逼近空间限制在天然满足边界条件的函数上。因此，无需额外施加惩罚项或约束来强制满足边界条件，这提高了训练效率并保持了物理一致性。需要强调的是，尽管神经网络的训练是由 VEM 离散化产生的线性系统残差最小化驱动的，但所提方法的目的并非构建通用线性求解器。相反，VEM-NN 框架利用神经网络的非线性参数化能力，在计算域上提供解的连续表示，其中 VEM 特有的投影算子和稳定项被显式嵌入到损失函数中。在此意义上，优化是在连续函数空间中进行的，而非直接在离散代数空间中进行。此外，需要注意的是，所提方法并不旨在严格构造经典 VEM 逼近空间内的函数。相反，VEM 框架被用于定义物理相容的残差，而神经网络则将逼近空间扩展到了标准 VEM 函数之外。这样，就建立了一个融合数值结构与数据驱动表示的混合计算框架。该公式不仅适用于单个线性问题，还为扩展到参数化、非线性和时间相关问题提供了灵活的基座。

本工作的主要贡献总结如下：

• 与现有的有限元方法增强神经网络不同——在后者中，有限元离散化主要用于构造逼近空间或加速数值求解器——本工作开发了 VEM-NN 框架，将 VEM 的弱格式直接纳入神经网络训练过程。具体而言，由 VEM 生成的刚度矩阵、质量矩阵和载荷向量被嵌入到损失函数中，从而保持物理相容性并获得精确的数值解。

• 传统 PINN 通常需要大量的配点点和惩罚项来强制满足边界条件。相比之下，所提框架将 VEM 离散化与满足边界的神经网络表示相结合，通过这种方式可以精确满足边界条件。此外，所提方法仅需要与网格节点相关联的自由度，避免了对大量采样点的依赖。

• 传统 VEM 方法通常提供定义在网格自由度上的离散解，而所提的 VEM-NN 框架提供了解的连续神经网络表示。通过保留继承自 VEM 格式的数值稳定性，所提框架进一步将逼近能力扩展到了传统多项式虚拟单元空间之外。

本文其余部分结构如下。第 2 节介绍 VEM，第 3 节介绍神经网络方法，第 4 节详述所提的 VEM-NN。第 5 节给出了 Poisson 方程、对流扩散方程和波动方程的数值对比实验。最后，第 6 节总结结论并讨论未来可能的研究方向。

## 虚拟单元方法

考虑计算域 Ω??2，将其离散化为不重叠的多边形单元的集合，记为 ???={E}。用 hE=diam(E) 表示每个单元的直径，令全局网格尺寸为 h=maxE∈??? hE。为确保数值稳定性和收敛性，假设网格满足某些正则性条件 [12]。

本文采用最低阶虚拟单元方法，对应多项式阶数 k=1，其中 k 表示虚拟单元空间 ??k(E) 的最高多项式次数。虚拟单元空间定义为：

??k(E)=??k(?2|E)∩{v∈H1(E): v|F∈??k(F), ?F??E}

其中 ??k(?2|E) 表示 ?2 中次数不超过 k 的多项式限制在 E 上的子空间，??k(F) 表示定义在边界边 F 上次数不超过 k 的多项式空间。

由于 ??k(E) 不是显式多项式空间，虚拟单元基函数无法直接计算。VEM 通过引入虚拟基函数和稳定化机制来处理这一困难。对于任意 v∈??k(E)，定义其投影 vπ 为关于 ?k 空间（次数不超过 k 的多项式空间）的 L2 投影：

(v, w)_E = (vπ, w)_E, ?w∈?k(E)

此外，定义稳定化算子 S_E(v, w) 以保证离散刚度矩阵的正定性：

S_E(v, w) = k_E Σ_{α,β=1}^{Ndof} M_αβ vα wβ

其中 M_αβ 为质量矩阵，k_E 为稳定化参数，Ndof 为单元的自由度数，vα 和 wβ 分别为 v 和 w 在虚拟单元自由度处的值。

虚拟单元离散化后的刚度矩阵为：

a_h(v, w) = Σ_{E∈???} (?vπ, ?wπ)_E + S_E(?v, ?w)

对于单元自由度的计算，当 k=1 时，自由度数等于单元边界上的节点数，即多边形的顶点数。

## 神经网络方法

神经网络本质上可视为一族高维参数化函数。以本工作使用的馈送神经网络（FNN）为例，它由输入层、若干隐藏层和输出层组成（如图 1 所示）。输入层接收原始数据 ??∈??，在 PDE 问题中，这些通常代表空间或时空坐标，如 ??=(x, y) 或 ??=(x, y, t)。输入层本身不进行任何计算，仅将数据传递给第一隐藏层。每个隐藏层包含若干神经元，每个神经元接收来自前一层的输入并进行加权求和，然后通过非线性激活函数（如 ReLU 或 tanh）输出。输出层接收来自最后一个隐藏层的输入并产生最终输出。

设 FNN 共有 L 个隐藏层，第 l 层的权重矩阵为 W^l，偏置向量为 b^l，激活函数为 σ，则 FNN 可表示为：

N_θ(x) = W^L σ(·) ° W^(L-1) σ(·) ° ... ° W^1 σ(·) (x)

其中 θ = {W^l, b^l} 为所有可训练参数的集合。在 VEM-NN 框架中，FNN 被用作试探解空间的参数化表示，通过最小化由 VEM 弱格式定义的残差来训练网络参数。

## 虚拟单元方法增强神经网络

在文献 [28] 中，由 FEM 构造的弱格式残差被用作神经网络的损失函数，并成功进行了若干数值实验以证明基于 FEM 弱格式训练神经网络的可行性。由于 VEM 可视为弱格式框架下 FEM 的推广，这也为将 VEM 弱格式纳入神经网络训练过程提供了理论动机。

与文献 [28] 的方法不同，VEM-NN 框架直接在损失函数中嵌入 VEM 的离散化算子。具体来说，VEM-NN 的损失函数由以下几部分组成：

1. **VEM 残差项**：该项衡量 VEM 离散线性系统的残差，确保解满足 PDE 的弱格式。
2. **稳定项**：该项对应于 VEM 的稳定化算子，保证数值解的正定性。
3. **边界条件项**：通过满足边界的构造策略，该项通常可被消除或大幅简化。

在 VEM-NN 框架中，神经网络 N_θ(x) 作为试探解空间中的函数，其梯度 ?N_θ(x) 和值 N_θ(x) 被代入 VEM 的刚度矩阵、质量矩阵和载荷向量的离散表达式中。损失函数可写为：

L(θ) = Σ_{E∈???} [a_h(N_θ, N_θ) - (f, N_θ)_E + b(E; N_θ)]

其中 f 为源项，b(E; N_θ) 包含单元 E 上的稳定化贡献。通过最小化该损失函数来优化网络参数 θ，使得 N_θ 逼近 PDE 的数值解。

## 边界条件处理

在传统的 PINN 方法中，边界条件通常通过添加惩罚项来强制满足，这需要精心选择惩罚系数并可能导致训练困难。VEM-NN 框架采用了一种不同的策略：通过构造满足边界条件的试探函数来精确满足 Dirichlet 边界条件。

具体地，将解表示为：

u(x) = g(x) + φ(x) N_θ(x)

其中 g(x) 为边界条件的延拓函数，φ(x) 为满足 φ=0 on ?Ω_D 的辅助函数（?Ω_D 为 Dirichlet 边界），N_θ(x) 为神经网络。这样，在 Dirichlet 边界上，u 自动满足 g(x) 指定的边界条件，无需额外惩罚。

对于 Neumann 边界条件，VEM 框架自然支持自然边界条件的处理，因为 VEM 的弱格式将 Neumann 条件作为自然边界条件处理，它们已隐含在变分问题中。

## 比较分析

VEM-NN 框架与现有方法相比具有以下优势：

1. **网格灵活性**：与 FEM-NN 方法不同，VEM-NN 天然支持任意多边形网格，包括非凸网格和高度不规则网格，无需网格映射或重构。

2. **边界条件处理**：无需像传统 PINN 方法那样使用惩罚项来强制满足边界条件，避免了惩罚系数选择的敏感性。

3. **解的连续性**：提供解的连续神经网络表示，而非仅在网格节点上定义的离散值，便于后处理和可视化。

4. **物理相容性**：VEM 的投影和稳定化机制确保了数值解的物理合理性，而神经网络的表达能力增强了解的逼近精度。

## 数值算例

所有数值实验均在一台配备 NVIDIA RTX A2000 Laptop GPU（8 GB）的工作站上完成。实现基于 Python 3.9.23，使用 PyTorch 2.2.2 框架，采用 CUDA 11.8 和 cuDNN 8.7.0 进行 GPU 加速。所有实验均采用三层隐藏层、每层 128 个神经元的馈送神经网络。

### 算例 1：Poisson 方程

考虑以下 Poisson 方程：

-?2u = f, x ∈ Ω
u = g, x ∈ ?Ω_D
?u/?n = h, x ∈ ?Ω_N

其中 Ω 为计算域，?Ω_D 和 ?Ω_N 分别为 Dirichlet 和 Neumann 边界。选取解析解 u(x,y) = x(π-x)y(π-y)，则 f = 2π2xy。采用 L2 范数和最大范数评估解的精度，并与传统 FEM 和 PINN 方法进行比较。

### 算例 2：对流扩散方程

考虑以下对流扩散方程：

-εΔu + b·?u = f, x ∈ Ω
u = g, x ∈ ?Ω_D

其中 ε 为扩散系数，b=(b?, b?) 为对流方向。通过调整 ε 的值来研究不同 Péclet 数下的解的行为。

### 算例 3：波动方程

考虑以下二维波动方程：

ρu_tt = ?·(C?u) + f, x ∈ Ω, t ∈ (0, T]
u(x, 0) = u?(x), u_t(x, 0) = v?(x)

其中 ρ 为密度，C 为弹性模量。通过空间网格离散化和时间步进方案进行求解，VEM-NN 框架在每个时间步提供空间解的连续表示。

## 结论与展望

本文提出了一种 VEM-NN 用于求解 PDEs，并对三种代表性类型的方程进行了数值实验。得益于灵活的网格划分，该方法支持非凸和任意多边形网格。通过将 VEM 的弱格式与神经网络的表达能力相结合，所提方法降低了解对光滑性的要求并构造了新颖的神经网络框架。

数值结果表明，VEM-NN 框架在 Poisson 方程、对流扩散方程和波动方程上均取得了高精度，且与网格类型无关。该方法特别适用于复杂几何域上的问题，因为 VEM 无需网格映射或单元变换即可处理任意多边形网格。

未来的研究方向包括：
1. 将该框架扩展到更高维度的计算域（三维问题）；
2. 结合自适应网格加密策略以提升效率和精度；
3. 将方法推广到非线性 PDE 和时间相关问题；
4. 探索与不确定性量化方法结合的可能性；
5. 研究参数化问题中 VEM-NN 在降阶模型中的应用。

## CRediT 作者贡献声明

Zehan Zhang：撰写——原稿、软件、方法论、形式分析、数据整理。Hong Li：撰写——审阅与编辑、验证、方法论、资金获取、数据整理。

## 利益冲突声明

作者声明不存在已知的竞争性经济利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。

## 致谢

本工作受国家自然科学基金（12561068）、内蒙古自治区自然科学基金重大项目（2025ZD036）、内蒙古自治区科技计划项目（2025KYPT0098）资助。

Zehan Zhang | Hong Li