塞斯-希尔超弹性材料有限元分析的基准验证

《Finite Elements in Analysis and Design》：Benchmark verification in finite-element analysis of Seth-Hill’s hyperelastic materials

　　

•我们重点阐述了Seth参数对结构响应的影响。•我们提出了两个关于非线性超弹性的新基准测试。•我们分析了单轴Seth-Hill应力问题的解的可接受性与稳定性。

引言

Hill材料族属于各向同性超弹性材料的一个广泛类别，其中应变能函数相对于选定的应变张量为二次函数。在其有限变形理论的研究中，Hill [1] 提出将胡克定律从无穷小应变推广到有限应变范围，将其描述为胡克定律应用于做功共轭应力-应变对的自然推广，该推广在文献[2]中提出。该族中的每种材料都保留了胡克定律的形式结构，与无穷小理论中使用相同的弹性常数，但同时也允许通过所选的有限应变度量在大的变形下产生非线性效应。Hill应变张量族可以划分为若干组，包括最常见的单参数Seth或Doyle-Ericksen [3], [4]，双参数Curnier-Rakotomanana [5]，单参数Curnier-Zysset [6]，单参数Itskov [7]，以及双参数幂次 [8]和单参数及双参数指数型 [9] Darijani-Naghdabadi应变张量族。该领域的详尽文献综述见文献[10]。本文的分析仅限于所谓的Seth-Hill材料族，该族基于Seth/Doyle-Ericksen应变张量，包括Green-Lagrange、Biot、对数和Almansi应变张量等。因此，应变张量的选择直接决定了所使用的材料，例如对于上述应变张量，分别对应于Saint Venant-Kirchhoff、半线性、Hencky或Almansi材料，统称为Seth-Hill超弹性材料族。更多细节请参见文献[11], [12], [13], [14], [15], [16], [17]等。

本文提出了一种针对Seth-Hill超弹性材料族的详细几何非线性有限元实现方法，并在有解析解的情况下与解析解进行收敛性验证。超弹性的通用有限元实现策略已经得到确立（例如文献[10], [18], [19], [20], [21], [22], [23]等），本文针对一些鲜为人知但具有解析解的基准测试对其进行了评估。此外，本文呈现了实现细节，包括理论推导和相应的算法流程。所展示的基准测试涵盖从具有解析解的一维单轴加载和平面应变弯曲（例如文献[24], [25], [26]）到完整的三维问题——旨在测试非线性有限元格式的鲁棒性、准确性和收敛性。在此背景下，特别关注了Xiao等人[24]提供的解析解，这为验证非线性有限元格式提供了有价值的基准。

本文的结构如下。在定义Seth-Hill材料族的控制方程后，详细给出了非线性有限元方法所需的线性化过程。逐步概述了完整三维设置及其一维降阶的算法实现。所开发的有限元随后在一维单轴问题到完整三维行为的多种问题上进行了测试。所得到的数值解随后与可用的参考解进行比较，具体取决于所分析的问题。

超弹性材料的应变和应力张量

Seth（或Doyle-Ericksen）应变张量族定义为[3], [4]：

E_c = (1/c)(U^c - I), c ∈ ?,

其中E_0 = lim_{c→0} (1/c)(U^c - I) = ln U, U = F^T F的(1/2)，作为右伸长张量，F = GRAD_x，作为变形梯度，其中x = X + u ∈ ?3表示材料点的当前位置，微分算子GRAD_x = x ? ?_X，其中?_X是相对于其材料位置X各分量的偏导数向量。Seth族内存在无穷多个应变张量，但它们都满足

非线性有限元求解过程

我们从内力（V_i）和外力（V_e）的虚功平衡出发：

V_i - V_e = ∫_V E?_c : S_c dV - ∫_V ū · P_V dV - ∫_S ū · P_S dS = 0,

其中E?_c表示虚拟Seth应变张量，ū表示虚拟位移场，P_V和P_S分别表示单位未变形体积/面积上的体积力和面力载荷。利用公式(5)，我们将双收缩积改写为：

E?_c : S_c = E?_2 : S_c U^{c-2},

其中E?_2是虚拟Green-Lagrange应变张量，由E_2 = (1/2)(F^T F - I)得出：

E?_2 = (1/2)(F?^T F + F^T F?) =

Seth-Hill超弹性材料族单元内力的线性化

为了解决这个非线性问题，需要对节点内力向量进行线性化：

Δ(q_i^{int,e}) = ∫_V ΔF U^{c-2} S_c (?_X N_i) dV
= ∫_V [ΔF U^{c-2} S_c (?_X N_i) + F Δ(U^{c-2}) S_c (?_X N_i) + F U^{c-2} Δ(S_c) (?_X N_i)] dV

分别展开以保持清晰。线性化变形梯度，ΔF = GRAD(Δu) = Δu ? ?_X，得到：

ΔF U^{c-2} S_c (?_X N_i) = Δu ? ?_X U^{c-2} S_c (?_X N_i) = ∑_{j=1}^{8} (?_X N_i)^T S_c U^{c-2} ?_X N_j Δu_j

公式(21)中第三项中的应力张量S_c的线性化可表示为右伸长张量变化的函数：

ΔS_c = Λ tr(ΔE_c) I + 2μ ΔE_c = (Λ I ? I + 2μ I) ΔE

数值算例

新提出的基于Seth-Hill材料族的三维几何非线性有限元，以及其一阶一维表示，已实现在有限元分析程序FEAP [32]中。我们将称一阶和二阶三维单元分别为Hex8SH和Hex27SH，称一维单元为T1SH。首先，对推导的一阶单元在单轴应力问题上进行测试，并将所得结果与解析解进行比较。

结论

本文提出了一种超弹性Seth-Hill材料的有限元实现方法。详细给出了右伸长张量升至任意实数的完整线性化过程。在FEAP框架中实现了几何非线性三维有限元及其一维表示，并通过一系列基准问题进行了系统评估。对于单轴应力测试，其解析解、可接受性条件和材料

CRediT作者贡献声明

Sara Grb?i? Erdelj：论文撰写——初稿，可视化，验证，软件，方法学，调查研究，形式分析，数据整理。

Laura Grbac：论文撰写——初稿，可视化，验证，软件，调查研究，数据整理。

Gordan Jeleni?：论文撰写——审阅与编辑，监督，资源，项目管理，方法学，调查研究，经费获取，形式分析，概念化。

利益冲突声明

作者声明不存在已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文所述工作。

致谢

本研究由克罗地亚科学基金会研究项目"各向同性Cosserat材料参数的分析、数值和实验方法识别（ANEMIC PM）"（HRZZ-IP-2024-05-9904）提供资金支持。

Sara Grb?i? Erdelj | Laura Grbac | Gordan Jeleni?