采用混合有限元/多调和样条径向基函数-有限差分方法离散化的层合板Carrera统一理论公式

《Finite Elements in Analysis and Design》：A Carrera Unified Formulation for laminated plates discretised by a hybrid finite-element/polyharmonic-spline RBF-FD method

　　

• 三角函数CUF-ESL板模型与元素模板PHS-RBF-FD微分相结合。
• 混合Q4格式保留了双线性几何、高斯积分和稀疏有限元组装。
• 为静态弯曲和自由振动验证推导了独立的CUF–Navier基准解。

引言

层合复合板和夹层板的分析需要能够再现强烈依赖于层的横向剪切和法向应力场，同时在计算上保持可承受性的板模型。经典层合理论完全忽略了横向剪切，而Whitney和Pagano的的一阶剪切变形理论（FSDT）[1]需要依赖问题的剪切修正系数。高阶剪切变形理论克服了这些局限性：Reddy的三阶理论[2]、[3]通过三次面内场强制上下表面为无牵引，而Touratier的正弦模型[4]采用三角函数厚度函数，产生非线性的、物理上真实的横向剪切应变分布，并作为本文所采用的运动学基础。Polit及其合作者[5]证明了此类正弦运动学在有限元框架下的精度。

Carrera统一格式（CUF）[6]、[7]、[8]提供了一种紧凑且系统的方式，用于生成一系列板模型。通过将位移场写为厚度函数Fτ(z)和未知的二维场的乘积，控制有限元数组可通过与假设展开阶数和类型无关的不变基本核来表达，从而等效单层或分层、多项式或三角函数模型均可从单一实现中获得[9]。

与此同时，基于径向基函数（RBF）的无网格方法已成为板问题中有限元方法的有力替代方案。继Hardy的多重二次型[10]和Kansa的配点方案[11]之后，全局RBF方法被Ferreira及其合作者[12]、[13]、[14]应用于层合板，理论基础见[15]、[16]。然而，全局RBF配点法导致稠密的、病态矩阵。RBF生成有限差分（RBF-FD）思想[17]、[18]通过在小局部模板上计算微分权重来恢复稀疏性。近期工作[19]、[20]、[21]、[22]确立了通过多项式增强的调和样条（PHS）消除了无穷光滑RBF的形状参数调优和停滞误差，给出了鲁棒的、高阶的、收敛的模板。Roque等人[23]将局部RBF-FD技术应用于复合板。

相关的混合和无网格弱格式方法遵循了几条路线。无单元Galerkin和再生核方法消除了单元插值，但需要背景积分单元、对本质边界条件的特殊处理以及对节点或缩减积分的仔细稳定化[24]、[25]。RBF有限元方法则在弱格式中构建单元级RBF试探函数，并已被用于层合板和一般固体力学[26]、[27]；这些方法通常在使用较大局部点集时改进了灵活性，但其精度取决于所选的径向基、支撑、模板大小和映射。同时，用于Reissner–Mindlin板和壳的标准有限元已发展出成熟的锁定控制策略，包括选择性/缩减积分、假定应变和MITC型投影[28]、[29]。因此，本文的贡献应在此背景下理解：它不是一种新的板运动学，也不是成熟高阶或混合板单元的替代品。它检验的是不变的CUF有限元核能否与局部PHS-RBF-FD值和导数权重组装在一起，同时保留通常的稀疏有限元组装。

本文工作以最紧凑的设置将这两条线索结合起来。我们保留有限元骨架——单元连接、高斯积分、等参Jacobian和标准组装——但将Lagrange值和导数数组替换为基于元素自身节点模板构建的PHS-RBF-FD权重。仅用四个节点和一阶多项式再现，提出的元素预期在规则矩形网格上与双线性Q4单元相当。其主要优势是架构性的：相同的CUF核将来可以接受畸变的、非张量积的、自适应的或较大的局部模板，而无需更改厚度方向公式，并且当模板被丰富时可以提高多项式阶数。因此，下面的数值算例强调一致性、锁定行为、连续性检查和与同模型Navier基准的吻合，而不是声称在精度上相比经典Q4插值有大幅提升。运动学采用三角函数CUF-ESL模型。

片段小节

三角函数CUF运动学

设(x, y)为面内坐标，z∈[-h/2, h/2]为厚度坐标。在统一格式中，位移分量写为[6]、[7]、[8]：

ui(x, y, z) = Fτ(z)uiτ(x, y)，τ = 1, …, N+1，i = x, y, z

对重复指标τ隐含求和。在(1)中，项数N+1和厚度函数Fτ均为通用CUF选择。在等效单层（ESL）模型中，相同的广义二维未知量uiτ(x, y)描述整个层合板及层间特性。

FEM–PHS-RBF-FD离散化

板中面用四节点四边形（Q4）单元进行网格划分。在单元e内，节点坐标为{xa}（a=1,2,3,4），任意未知场g及其在点ξ处的一阶导数近似为：

g(ξ) ≈ Σ(a=1到4) wa0(ξ) ga，
?g/?x(ξ) ≈ Σ(a=1到4) wax(ξ) ga，
?g/?y(ξ) ≈ Σ(a=1到4) way(ξ) ga，

其中权重向量w0、wx、wy取代了Lagrange形函数及其导数。它们由元素模板上的PHS-RBF-FD生成，如图1所示。

数值算例

除非另有说明，板为正方形（a=b），简支，承受双向正弦横向压力q = q0 sin(πx/a) sin(πy/b)。各层等厚，采用标准复合材料，E1/E2 = 25，G12 = G13 = 0.5E2，G23 = 0.2E2，ν12 = 0.25。中心横向挠度以无量纲形式报告[2]、[3]：

w? = w(a/2, b/2) E2 h3 / (q0 a?) × 102

结论

本文对层合板采用了一种三角函数Carrera统一格式，并用混合有限元/调和样条RBF-FD方法进行离散化。其中，Q4单元的Lagrange形函数被替换为由元素自身节点模板生成的RBF-FD权重，同时保留等参几何和高斯积分。由于三角函数CUF应变仅需要一阶面内导数，单元节点模板即已足够，该方法能够组装一个……

利益冲突声明

作者声明没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些可能影响本文报告的工作。

A.J.M. Ferreira