热弹性结构的多材料等几何拓扑优化

《Finite Elements in Analysis and Design》：Multimaterial isogeometric topology optimization for thermoelastic structures

　　

•两个 NURBS 控制点场实现了多材料热弹性拓扑设计。
•完整的伴随灵敏度包含了依赖于设计的温度和热载荷。
•在预定的热应力精度下，IGA 所需的自由度减少了 73.86%。
•仅在温度限制范围内引入 2.5% 的刚性相即可将柔度降低 11.059%。
•多材料设计扩展了可达到的刚度和温度范围。

引言
拓扑优化（TO）是一种确立的方法，用于在预定的域内分配材料，以在给定的约束下实现改进的结构性能。多年来，已经开发了几种 TO 框架，包括实体各向同性材料惩罚法（SIMP）[1]、水平集方法（LSM）[2,3]、进化结构优化（ESO）方法 [4,5] 等。TO 已从单材料和单物理场设置进一步发展到了多材料 [6] 和多物理场 [7] 问题。这一发展紧密相关于航空航天 [8,9]、能源 [[10], [11], [12]] 和先进制造 [13,14] 领域对轻量化高性能结构需求的增加。在许多此类应用中，结构响应不仅受机械载荷影响，还受热效应和材料选择影响。因此，拓扑优化已逐渐从纯刚度驱动设计转向更普遍的耦合问题。

在这些发展之中，热弹性拓扑优化受到了持续关注。对于在组合热和机械载荷下运行的结构，温度变化可能引起热膨胀、变形和应力，这会显著影响最佳材料布局。Rodrigues 和 Fernandes [15] 的早期工作开发了热弹性结构的材料分布拓扑优化模型，并表明热载荷会影响产生的拓扑结构。最近的研究进一步将这一研究方向扩展到瞬态热弹性问题 [16]、热应力奇点问题 [17] 和双尺度热弹性优化 [18]。这些工作表明，热弹性 TO 已从初始的柔度设置演变到涉及瞬态响应、强度考虑和多尺度效应的更广泛公式。

上述回顾的大多数热弹性拓扑优化研究关注单材料设置。然而，在热弹性设计中，结构响应受多个材料性能的影响，如刚度、热导率和热膨胀。这使得从单材料布局扩展到多材料或功能梯度材料（FGMs）设计尤为值得关注。在此背景下，Silva 等人 [19] 使用基于能量和应力的公式研究了单材料和功能梯度材料的热弹性拓扑优化，并报告了 FGMs 解的应力峰值更低。结果表明，扩大材料设计空间对热弹性结构设计有益。

从更广阔的角度来看，多材料拓扑优化（MMTO）近年来已被广泛研究。Zuo 和 Saitou [20] 提出了用于 MMTO 的有序 SIMP 插值方案，无需引入额外设计变量。Park 和 Sutradhar [21] 开发了用于 3D MMTO 的多分辨率方法，并表明可高效获得高分辨率设计。Chandrasekhar 和 Suresh [22] 进一步提出了基于神经网络的 MMTO 框架，其中材料场以网格无关方式表示。这些研究为 MMTO 的发展提供了有用的方法论基础。

基于这些发展，MMTO 扩展到热弹性问题也开始出现。Gao 等人 [23] 研究了质量约束下多材料热弹性结构的拓扑优化，并引入了一般热应力系数将热应力载荷与设计变量联系起来。最近，Nguyen 等人 [24] 提出了用于多材料热弹性拓扑优化的有序 SIMP 相场模型，其中热导率和热应力系数均纳入了插值框架。这些研究表明，多材料热弹性拓扑优化是可行的，并逐渐成为可识别的研究方向。

还应注意，上述讨论的热弹性和多材料研究主要在有限元设置中开发。目前，经典拓扑优化中的结构响应和灵敏度分析仍主要依赖有限元分析（FEA）。尽管 FEA 在该领域取得了巨大成功，但它仍然存在几个局限性。首先，几何模型和分析模型通常不以统一方式表示，设计域必须通过网格离散化进行近似 [25,26]。其次，提高几何近似和分析精度通常需要网格细化或高阶单元，这增加了网格划分及后续分析的计算成本 [3]。第三，标准有限元逼近的连续性相对较低，这限制了数值场的光滑度和精度 [27,28]。

与此同时，等几何拓扑优化（ITO）已应用于一系列问题，包括传热 [[29], [30], [31]]、非线性结构 [[32], [33], [34]]、流体 [35]、声学和结构声学问题 [36,37]、电磁学 [38]，以及多尺度设计 [39]。例如，Chen 等人 [37] 开发了用于 3D 结构声学交互系统宽带拓扑优化的降阶等几何 FEM/BEM 框架。这表明等几何分析（IGA）已为几类超越常规线性结构设计的拓扑优化问题提供了可行的分析框架。尽管如此，将多材料热弹性结构 MMTO 置于等几何框架的直接研究仍然稀少。一项密切相关的最近研究 [40] 考虑了多材料热弹性超材料的 ITO，其中将 IGA 与数值均匀化和多材料插值相结合。然而，那项工作聚焦于超材料设计，而非宏观热弹性结构的拓扑优化。因此，将 IGA 应用于结构尺度上的多材料热弹性结构 MMTO 仍然有限。

综合来看，这三个文献流解决了当前问题的不同但互补的方面。热弹性 TO 建立了耦合热力学状态问题，MMTO 提供了表示和分配多个材料相的策略，而 ITO 提供了几何、物理场和设计变量的一致 NURBS 表示。然而，这三个方向在很大程度上是分开发展的，它们在宏观承载热弹性结构拓扑优化中的集成受到的关注有限。在此类公式中，材料和空隙分布以及实体材料选择必须同时表示，同时两个设计场都会影响机械刚度矩阵、热导率矩阵、热应力载荷和依赖设计的非均匀温度场。因此，它们的集成需要耦合双场公式和通过直接和隐式热力学依赖路径的完整灵敏度传播。

在本工作中，开发了一种用于承受外部热和机械载荷的宏观热弹性结构的多材料等几何拓扑优化方法。首先通过一致地采用非均匀有理 B 样条（NURBS）[41] 基函数进行几何表示以及温度和位移场的逼近，建立了热弹性 IGA 框架。随后使用两个控制点设计场构建优化公式：描述材料和空隙分布的总密度场以及确定两个实体相分配的b 材料选择场。通过三相插值方案，这两个设计场同时影响机械刚度矩阵、热导率矩阵、热应力载荷和依赖设计的非均匀温度场。相应地，通过考虑机械刚度和热应力载荷的直接变化、通过热传导方程的温度场隐式依赖以及由 NURBS 插值和滤波引入的链式法则映射，推导了关于两个控制点场的完整灵敏度。设计变量使用移动渐近线法（MMA）[42] 进行更新。通过解析灵敏度检查、二次 IGA 与 Q9 FEM 的直接比较以及 2D 和 3D 单材料和多材料实例对所得框架进行了验证。数值研究进一步考察了热力学耦合和材料组成的影响，并量化了选择性引入第二种材料如何改变可达到的刚度和温度性能范围。

为进一步澄清本研究的贡献，表 1 将其主要方法论特征与最密切相关的多材料热弹性拓扑优化研究进行了比较。与参考文献 [23,24] 中的 FEA 方法相比，本文方法使用 NURBS 控制点场提供几何、温度、位移和材料分布的一致表示，并为两个耦合设计场推导了相应的结构尺度热弹性灵敏度。与作者之前关于多材料热弹性超材料的工作 [40] 相比，差异不仅限于设计域的物理尺度。之前的研究使用数值均匀化优化周期性微结构的有效热弹性性能，而本文工作直接求解承载结构的热传导和机械平衡方程，并在空间变化的外部热和机械载荷下最小化其柔度。因此，两项研究在控制状态问题、优化目标、设计变量的物理意义、灵敏度传播路径以及用于评估优化设计的数量方面有所不同。

本文其余部分组织如下。第 2 节提出热弹性 IGA 公式，包括 NURBS 表示、稳态传热分析和弱耦合热弹性分析。第 3 节开发单材料热弹性等几何拓扑优化框架及其完整灵敏度分析。第 4 节通过引入三相插值方案、两场优化模型及相应的修正灵敏度，将公式扩展到多材料问题。第 5 节提出单材料基准及若干 2D 和 3D 多材料实例，以验证所提方法的准确性、灵敏度一致性、收敛行为及材料分配能力。第 6 节总结主要结论并讨论当前公式的局限性和潜在扩展。

章节摘要
热弹性等几何分析
本节系统介绍了热弹性 IGA 的理论框架。首先介绍了 NURBS 的基本理论，其中几何和物理场均基于同参数概念一致表示。然后建立了热场下的等几何公式，以实现几何建模与数值分析之间的无缝集成。最后，将静力学平衡方程扩展以包含热效应。
热弹性优化模型
在 TEITO 问题中，设计目标是使结构柔度最小化，可表示为
{ 寻找：ρ=[ρ1,ρ2,…,ρi,…]。
最小化：C(ρ)=FTU。
约束条件：KU=Fm+Fth，KthT=P，∫ΩρdΩ≤V，0< /><ρj≤1。
其中 ρ 表示设计变量，ρi 是与第 i 个控制点相关联的密度。c 是目标函数，v 是预定的结构体积，ρmin 是引入的一个小正下界，以防止刚度矩阵数值奇异。
ito 的一个优势是从...过渡到
多材料问题的改进 teito 框架
基于第 3 节建立的单材料热弹性优化框架，本节将公式扩展以解决多材料结构，其中多个材料相共存并通过热力学耦合相互作用。
数值算例
提出若干数值算例展示所提 teito 方法的有效性。考虑了单材料和多材料情况。算例包括双端固定矩形结构、悬臂梁、不同边界条件下的 l 形梁以及 3d 曲面悬臂梁。
所有拓扑优化问题均使用 mma 求解。通用 mma 参数设置为 a0=1, ai=0, ci=1000, di=0。约束数量、移动限制，
结论
开发了一种用于弱耦合热弹性结构的多材料等几何拓扑优化方法。使用两个 nurbs 控制点场来描述材料存在性和实体材料选择，统一的三相插值确保了传热、结构刚度和热致载荷中材料状态的一致性。建立了完整的伴随灵敏度公式，以考虑结构变化和设计的影
credit 作者贡献声明
jianli liu：撰写 – 初稿，验证，方法论，形式分析，概念化。tao nie：方法论，数据管理。tao zhang：验证，调查。qiang min：验证，调查。xi cheng：数据管理。zhaohui xia：撰写 – 审阅与编辑，监督，资源，资金获取。
利益冲突声明
作者声明没有已知的竞争财务利益或个人关系，这些关系可能被认为影响了本论文中报告的工作。
致谢
本工作得到国家自然科学基金（52475261）和数字敏捷飞机设计国家重点实验室开放基金（f20250201）支持。
jianli liu|tao nie|tao zhang|qiang min|xi cheng|zhaohui xia 其中 ρ 表示设计变量，ρi 是与第 i 个控制点相关联的密度。c 是目标函数，v 是预定的结构体积，ρmin 是引入的一个小正下界，以防止刚度矩阵数值奇异。 ito 的一个优势是从...过渡到 多材料问题的改进 teito 框架 基于第 3 节建立的单材料热弹性优化框架，本节将公式扩展以解决多材料结构，其中多个材料相共存并通过热力学耦合相互作用。 数值算例 提出若干数值算例展示所提 teito 方法的有效性。考虑了单材料和多材料情况。算例包括双端固定矩形结构、悬臂梁、不同边界条件下的 l 形梁以及 3d 曲面悬臂梁。 所有拓扑优化问题均使用 mma 求解。通用 mma 参数设置为 a0=1, ai=0, ci=1000, di=0。约束数量、移动限制， 结论 开发了一种用于弱耦合热弹性结构的多材料等几何拓扑优化方法。使用两个 nurbs 控制点场来描述材料存在性和实体材料选择，统一的三相插值确保了传热、结构刚度和热致载荷中材料状态的一致性。建立了完整的伴随灵敏度公式，以考虑结构变化和设计的影 credit 作者贡献声明 jianli liu：撰写 – 初稿，验证，方法论，形式分析，概念化。tao nie：方法论，数据管理。tao zhang：验证，调查。qiang min：验证，调查。xi cheng：数据管理。zhaohui xia：撰写 – 审阅与编辑，监督，资源，资金获取。 利益冲突声明 作者声明没有已知的竞争财务利益或个人关系，这些关系可能被认为影响了本论文中报告的工作。 致谢 本工作得到国家自然科学基金（52475261）和数字敏捷飞机设计国家重点实验室开放基金（f20250201）支持。 jianli liu|tao nie|tao zhang|qiang min|xi cheng|zhaohui>其中 ρ 表示设计变量，ρi 是与第 i 个控制点相关联的密度。c 是目标函数，v 是预定的结构体积，ρmin 是引入的一个小正下界，以防止刚度矩阵数值奇异。
ito 的一个优势是从...过渡到
多材料问题的改进 teito 框架
基于第 3 节建立的单材料热弹性优化框架，本节将公式扩展以解决多材料结构，其中多个材料相共存并通过热力学耦合相互作用。
数值算例
提出若干数值算例展示所提 teito 方法的有效性。考虑了单材料和多材料情况。算例包括双端固定矩形结构、悬臂梁、不同边界条件下的 l 形梁以及 3d 曲面悬臂梁。
所有拓扑优化问题均使用 mma 求解。通用 mma 参数设置为 a0=1, ai=0, ci=1000, di=0。约束数量、移动限制，
结论
开发了一种用于弱耦合热弹性结构的多材料等几何拓扑优化方法。使用两个 nurbs 控制点场来描述材料存在性和实体材料选择，统一的三相插值确保了传热、结构刚度和热致载荷中材料状态的一致性。建立了完整的伴随灵敏度公式，以考虑结构变化和设计的影
credit 作者贡献声明
jianli liu：撰写 – 初稿，验证，方法论，形式分析，概念化。tao nie：方法论，数据管理。tao zhang：验证，调查。qiang min：验证，调查。xi cheng：数据管理。zhaohui xia：撰写 – 审阅与编辑，监督，资源，资金获取。
利益冲突声明
作者声明没有已知的竞争财务利益或个人关系，这些关系可能被认为影响了本论文中报告的工作。
致谢
本工作得到国家自然科学基金（52475261）和数字敏捷飞机设计国家重点实验室开放基金（f20250201）支持。
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