通过关联簇（incidence varieties）研究变形的几何性质

《Journal of Algebra》：Geometry of deformations via incidence varieties

　　摘要我们提供了一个统一的几何实现方法，用于描述经典的变形复形。我们构造了GL-等变的双线性关联多样性，其対角切片能够恢复有限维向量空间上的结合代数、交换代数、莱布尼茨代数和李代数结构。我们证明了在给定代数法则下，关联映射的纤维与相应上同调理论（Hochschild、Harrison、Leibniz或Chevalley–Eilenberg）中的2-上链空间是典范同构的。此外，我们引入了不变的双线性形式来定义可分代数和半简单代数的开层，并证明了这些层由GL-轨道组成，从而确立了所有四种几何结构中通用点的刚性。

引言我们提供了一个新的、统一的几何框架，用于理解结合代数、李代数和莱布尼茨代数的变形理论。我们在仿射空间??2,1= Hom?(?????,??)中进行操作，该空间包含了所有基于特征为0的??-向量空间V上的双线性乘法。虽然Alg?(??)、Lie?(??)和Leib?(??)多样性在这个空间内已经被广泛研究，但我们将其实现为双线性关联多样性的対角切片，这些切片在几何上实现了经典的变形复形。

结合代数的情况。结合代数的变形理论由Hochschild上同调[25]、[39]支配。结合多样性Alg?(??)在点x处的切空间在经典上与Hochschild 2-上链空间??2?(????,????)相对应，相应的第二上同调群??2??2(????,????)控制着模空间和刚性[24]。我们提供了这种对应关系的几何起源。我们构造了一个GL?(??)-等变的双线性关联多样性As?(??) ???2,1 ×??2,1。我们证明了由???个二次方程切割出的结合多样性Alg?(??)是这个更大多样性的対角切片（命题1.2，命题1.3）。然后我们证明，对于任何结合代数????，我们的关联多样性的纤维????与Hochschild 2-上链空间???? ???2?(????,????)是典范同构的（命题1.4）。这立即在几何上恢复了经典结果????3Alg?(??) ???2?(????,????)。然后我们使用这种构造来研究刚性。Aguiar将迹形式的非退化与可分性[1]联系起来，并在定理1.5中使用了这一点。我们使用主迹形式??????的判别式Δ?(??)将可分位置识别为一个开子集?? ?Alg?(??)，并提供了该位置上切空间维度的显式公式（定理1.6）。然后我们证明了经典的上同调刚性条件??2??2(????,????)= 0具有直接的几何后果：在同调商空间Alg?(??)?GL?(??)中，[????]的同构类是孤立的（定理1.7）。我们还展示了我们的关联多样性允许存在由可分位置上的Wedderburn块轮廓索引的可兼容分层（定理1.8）。

交换代数的情况。交换代数中的模问题由Harrison上同调[26]、[30]或André–Quillen上同调[4]、[43]细化。我们的关联构造尊重这种细化。当限制在交换子位置Comm?(??)上时，我们的关联纤维自然地恢复了Harrison理论中关于对称Hochschild上链的描述。我们研究了由非零判别式定义的有限étale代数的开子集??????????（参见[42]）。我们证明了整个位置是刚性の（????3Comm?(??)= ????3(GL?(??)???)），并且可以分解为有限的GL?(??)-轨道的并集（定理1.11）。在一个代数封闭的域上，这简化为对应于????的单个开轨道（推论1.12）。

莱布尼茨和李代数的情况。我们还证明了我们的方法可以扩展到莱布尼茨和李代数的并行变形理论，文献中分别指出这些理论由莱布尼茨上同调[35]和Chevalley–Eilenberg上同调[39]支配。对于右莱布尼茨位置Leib?(??)，也是由???个二次方程定义的（命题2.1），我们构造了一个不同的关联位置，该位置由双线性映射B的对称化定义。我们证明了切空间????3Leib?(??)恰好是这个关联纤维，并且与莱布尼茨2-上链空间??2?????????(????,????)是典范同构的（命题2.4）。这提供了完整的莱布尼茨变形复形的几何恢复。当我们将这个莱布尼茨关联构造限制在李子多样性Lie?(??)上时，它正好特化为Chevalley–Eilenberg复形，如命题2.9所示。对于?? ∈Lie?(??)的关联纤维，它们恢复了??2CE?(????,????)，其轨道和栈切线分别对应于??2CE和??2CE，就像在经典变形理论[15]、[17]中一样。我们使用了定义在莱布尼茨多样性上的Ayupov–Omirov Killing形式????[6]，并展示了在其中非退化的开位置??????????正是半简单李代数的层（定理2.5）。至关重要的是，我们证明了在这个层上，莱布尼茨上同调结构上分解为Chevalley–Eilenberg上同调和对称上链空间，后者严格消失（引理2.6，引理2.7）。因此，除了经典的白头引理（???CE= 0）之外，我们还建立了这些半简单李括号在更广泛的、限制较少的莱布尼茨模空间中的孤立性和完全刚性（定理2.8）。进一步限制在李位置???????? ?Lie?(??)上，我们恢复了半简单李代数的已知绝对刚性（例如[33]），作为我们几何框架的直接结果，表明????????是商空间中的有限个孤立轨道的并集（定理2.10和推论2.11）。

奇异层和交叉上同调。在本文考虑的开位置????????、??????????、????????和??????????上，相关的模栈[??????2(??)/GL?(??)], [????????2(??)/GL?(??)], [??????2(??)/GL?(??)], 和 [????????2(??)/GL?(??)] 在形式上是光滑的：在这些位置的每个点上，相关的二阶上同调群（??2??2、Harr2、??2CE和??2????????）都消失，GL?(??)轨道在相应的位置上是开放的，并且代数在模中是刚性的。在这些形式上光滑的位置之外，相关的二阶上同调可能不再消失，变形理论不再是刚性的，奇异层就会出现。在这里构造的关联多样性旨在在转向局部和特定维度的通用变形理论、分层或更精细的奇异性不变量之前，全局组织变形复形。

已知的研究。在一个代数封闭的域上，Kaygorodov和Volkov为二维代数提供了完整的轨道分类和退化图[31]。三维和四维的模问题由Fialowski和Penkava[20]、[21]、[22]研究，五维的模问题由Happel[28]和Mazzola[37]研究。这些低维分类结果与一般情况形成了鲜明对比。Drozd的tame–wild二分法揭示了大多数分类问题与同时相似性分类矩阵对一样困难[14]。虽然Gabriel的表示论方法为通过箭图的表示提供了一条可行的路径[23]，但模问题的内在复杂性要求我们从直接分类转向研究多样性本身的几何和变形理论属性。关联代数的模问题与变形理论之间的桥梁是Hochschild上同调。Gerstenhaber将Hochschild 2-上链识别为分类一阶变形，将3-上链识别为携带主要障碍[25]。Nijenhuis和Richardson通过展示变形可以统一编码为适当的微分分次李代数（DGLA）中的Maurer–Cartan元素[39]，将这种代数机制置于更广泛的背景下，这一观点现在是通过??∞-代数解释形式模的基础。Geiss和de la Pe?a提供了从这种代数方法到几何方法的关键联系，他们直接将Hochschild上同调与表示方案和代数多样性的光滑性和奇异性相关联[24]，Chouhy最近将Gerstenhaber的形式（解析）变形与代数几何退化调和起来[12]。Schaps对幂等元的分析[44]、Happel对派生不变量的研究[29]以及Gerstenhaber和Schack使用相对Hochschild上同调对刚性家族的标准[26]进一步细化了这一图景。在这个关联框架内，交换情况必须单独处理，因为它有额外的约束。Harrison上同调提供了这样一种对称的细化，其中2-类具体参数化了交换变形，3-类携带了障碍[30]，正如预期的那样。Barr[7]、[8]和Gerstenhaber与Schack[26]通过构建Hochschild上同调的Hodge型分解并恢复Harrison上同调作为对称和项来解释了这种精确的关系。André和Quillen通过余切复形和André–Quillen上同调[4]、[43]提供了交换变形理论的另一种相关解释。这些变形在模空间中的几何表现是方案或栈。对于交换代数，Poonen构造了一个仿射方案????，用于参数化具有基的秩n代数，以分析其纤维中的组件数量[42]，后来O'Desky和Rosen将其扩展到等变设置[40]。Muro的工作在一个同伦背景下将这些模空间概念化为操作子上的栈，并证明了经典结果，例如单位代数形成Zariski开子栈，并明确地将这些栈的切复形与Hochschild型上同调群相关联[38]。这种从几何分类到由上同调控制的变形的整个范式并不是结合情况的独特情况。人们可以为李代数发展出一个直接的类似物，其中Chevalley–Eilenberg上同调取代了Hochschild上同调。Nijenhuis和Richardson已经展示了存在一个DGLA，其2-和3-上链控制着变形和障碍[39]。Fialowski、Fuchs和Penkava非常有效地使用这种方法构造了通用变形并对低维李代数的模多样性进行了分层[9]、[15]、[16]、[18]、[19]。这些方法与李代数律的几何研究完美对接，其中使用上同调不变量来识别组件并分析刚性[10]、[27]、[33]。同样的变形理论框架也扩展到莱布尼茨代数，其无穷小变形由莱布尼茨上同调控制[35]。因此，莱布尼茨律的几何多样性已经与李设置的类似方式进行了分析，使用上同调工具来理解它们的可约性、组件和退化[2]、[3]、[5]。本文特意讨论了开放的半简单李层，因为这个层是通过莱布尼茨多样性内部Ayupov–Omirov形式的非退化检测到的位置。这并没有穷尽李代数的几何刚性的所有现象。特别是，存在刚性的非半简单李代数，在[32]中我们处理了即使它们的第二变形上同调不消失也仍然是几何刚性的更加微妙的情况。本文隔离了经典上同调刚性开层背后的关联多样性机制，而[32]发展了超出上同调刚性所需的高阶障碍理论标准。

通用和最小通用变形理论以及明确的层结构为相同的模问题提供了互补的局部视角。通用构造发生在固定代数律的完成局部邻域中，并通过局部参数和障碍方程编码相应的变形函子。同样，低维模多样性的完全分层需要逐个案例的正常形式、退化计算和相关代数多样性的局部分析。本文与这些局部方法正交：我们不是在单一点构建外壳或在固定小维度中对层进行分类，而是构建全局GL?(??)-等变的关联多样性，其纤维同时在环境的代数律上恢复相关的二阶上链空间。

文章的计划。在第1节中，我们研究了结合情况。我们构造了关联多样性?????(??)，将其対角线与经典多样性???????(??)识别，并证明了其纤维与Hochschild 2-上链空间同构。然后我们使用主迹形式分析了可分位置，并为模栈建立了刚性结果。我们通过Harrison上同调对这些结果进行了细化，以结束这一节。在第2节中，我们将这一框架扩展到莱布尼茨和李代数。我们为莱布尼茨位置?????????(??)构造了适当的关联多样性，并将其纤维与莱布尼茨2-上链识别。我们使用Killing形式来表征半简单位置，并证明这些代数对应于开放轨道。最后，我们将这些构造限制在李子多样性上，恢复了Chevalley–Eilenberg上同调与半简单李代数刚性之间的关系。

二次结合位置设V是一个具有固定基（????)????=1的??-向量空间。空间??2,1:=Hom?(?????,??)?????3参数化了V上的所有双线性乘积。每个?? ∈??2,1决定了一个双线性乘法???? :?? ??? →??，即?????(????,????)=??∑?=1?????,??3，反之任何双线性乘积都是以这种方式唯一出现的。

1.1命题设??3,1 := Hom?(???3,??)并定义Φ :??2,1 →??3,1为Φ?(??)3(??,??,??):=????2(????2(??,??),??)?????2(??,????2(??,??))。结合位置??????

二次莱布尼茨位置我们使用右莱布尼茨恒等式??2(??2(??,??),??)=??2(??2(??,??),??)+??2(??,??2(??,??))。与结合情况一样，我们将??2,1 := Hom?(?????,??)和??3,1 := Hom?(???3,??)视为结构常数的仿射空间。对于 $x \in \mathbb{W}^2,1$，设 $\mu_x$ 为对应的双线性律，并定义映射 $\mathbb{F} : \mathbb{W}^2,1 \to \mathbb{W}^3,1$，使得 $\mathbb{F}(x)(a, b, c) = \mu_x(\mu_x(a, b), c) - \mu_x(\mu_x(a, c), b) - \mu_x(a, \mu_x(b, c))$。命题 2.1：莱布尼茨轨迹 $\mathcal{\Phi}(\mathbb{W}) = \{ x \in \mathbb{W}^2,1 : \mathbb{F}(x) = 0 \}$ 是由 $n^4$ 个二次多项式 $K_m^i,j,k(x) = \sum_{l=1}^n x_l^i j k_l m_l, - \sum_{l=1}^n x_l^i j k_l m_l, - \sum_{l=1}^n x_l^i j k_l m_l \}$ 切出的封闭子方案。

双线性化与上同调解释：定义一个双线性映射 $\mathcal{AtabeyKaygun}$