具有多零不可约特征的群

《Journal of Algebra》：Groups having irreducible characters with many zeros

　　

摘要 设G为一个有限群，记G的不可约复特征标集合为Irr(G)。对于Irr(G)中的任意特征标χ，我们将零集定义为Van(χ) = {g ∈ G | χ(g) = 0}。由此，我们将Van(G)定义为Irr(G)中所有χ对应的这些集合的并集。在此，我们引入公共非零图Γnv(G)的概念。在该图中，顶点代表G的非线性不可约特征标。两个不同的不可约特征标χ1和χ2之间连有一条边，当且仅当存在某个元素g ∈ Van(G)，使得χ1(g)χ2(g) ≠ 0。在本文中，我们研究满足Van(G) = Van(χ)对所有非线性不可约特征标χ成立的群G。显然，对于这些群，Γnv(G)是空图。我们将这些群分为两类。此外，我们证明此类群的Fitting高度不超过二。一个重要结果是：Γnv(G)为空图当且仅当至多存在一个非线性不可约特征标θ，使得Van(θ) ≠ Van(G)。此外，我们证明若G的Fitting子群为平凡子群，则不存在任何不可约特征标χ使得Van(G) = Van(χ)。我们还深入研究几乎单群G，揭示除非G ? A7，否则Γnv(G)包含一个完全顶点。此外，我们刻画了一类特殊的群G，称为强?′2-群，对于Γnv(G)顶点集中的每个特征标χ1，存在一个非线性特征标χ2 ∈ Irr(G/ker χ1)，使得χ1与χ2不相邻。我们研究的一个重要结论是：G是非可解的强?′2-群当且仅当G同构于A7 × A，其中A为某个阿贝尔群。

引言 在本文中，我们将有限群称为G，其中所考虑的所有特征标均为复特征标，并将G的不可约特征标记为Irr(G)。设χ为G的一个不可约复特征标。若χ(g) = 0，则称元素g ∈ G为χ的零点；在此情况下，我们说χ在g处消失。进一步，若存在某个χ ∈ Irr(G)在g处消失，则称g为G的消失元素（注意，若g属于G的中心Z(G)，则不会出现这种情况）。由此，我们将g的共轭类记为g^G，并称之为G的消失共轭类。

由于线性特征标从不取零值，W. Burnside建立了一个经典定理，断言每个非线性不可约特征标必在某个元素处消失。后来，Malle、Navarro和Olsson在文献[28]中对此进行了改进，证明这样的元素可以特别选取为素数幂次元素。此外，一个公认的结果是：若G拥有一个在所有非中心元素上消失的不可约特征标，则G是可解的，并且其结构完全确定（参见文献[18]）。这促使我们探究具有更一般性质的群的结构：即包含一个在所有消失共轭类上消失的不可约特征标的群。

在文献[27]中，作者们探讨了群中消失共轭类的一些性质。他们解决了这样一个问题：确定群中共轭类的最小数目，使得每个非线性不可约特征标必在其中某个共轭类上消失。具体而言，对于群G和正整数k，若存在G的共轭类集合C，满足|C| ≤ k，并且G的每个非线性不可约特征标至少在其中某个类上消失，则我们定义G为?k-群。显然，若G是?k-群，则它也是任何整数m ≥ k下的?m-群。此外，?k-群在取商群和直积运算下保持封闭。文献[24]中的研究证实，若G是?1-群，则G是可解的。

受这一思想的启发，我们提出一个对偶定义。在此设定下，若存在Irr(G)的一个子集B ? Irr(G)满足|B| ≤ k，且每个消失共轭类至少是B中某个特征标的零点，则我们称G为?′k-群。这促使我们探讨G是否为可解群，因为它满足?′1-群的条件。证据倾向于对该问题给出否定回答。例如，当我们考察非可解的Frobenius群G = C211 ? SL2(5)时，我们发现它满足?′1-群的条件。在文献[14]中，我们可以看到更多非可解的?′1-群的例子。在1983年的一项研究中[14]，Gagola给出了所有在除两个共轭类外的所有共轭类上都有某个特征标消失的群。已证明这样的群具有唯一的极小正规子群，且那两个特殊类为非消失类。因此，这些群可被归类为?′1-群。我们将特征标χ的零点集（或根集）记为Van(χ)。此外，我们将Van(G)定义为群G的消失元素集合，表示为Van(G) = ?_{χ∈Irr(G)} Van(χ)。另外，对于χ ∈ Irr(G)，我们用Nv(χ)表示G中χ不消失的元素集合，并且Nv(G) = G - Van(G) = ?_{χ∈Irr(G)} Nv(χ)。

由此，我们可以说G是?′1-群当且仅当存在某个特征标χ ∈ Irr(G)使得Van(G) = Van(χ)。相比之下，若Van(G)可以表示为Irr(G)中两个不同的不可约特征标χ和ψ的消失集的并集，则G被识别为?′2-群。例如，根据文献[7]，我们发现Van(S3) = Van(χ)，其中χ是Irr(S3)中度为2的特征标。另一方面，Van(A5)可以表示为Van(χ1) ∪ Van(χ2) ∪ Van(χ3)，其中χ1, χ2, χ3 ∈ Irr(A5)的度数分别为3、4和5。由此我们得出结论：S3被归类为?′1-群，而A5被识别为?′3-群，但它不属于任何1 ≤ i ≤ 2的?′i-群。关于?′1-群的更多例子，可以考察类似G ? C3 ? D4、M9或C25 ? Dic3等群的特征标表。在几乎单群中，A7和S7均被归类为?′2-群。

为了更深入地研究?′1-群和?′2-群的性质，我们定义了群G的公共非零图，记为Γnv(G)。在该图中，顶点代表G的非线性不可约特征标。Irr(G)中两个不同的不可约特征标χ1和χ2之间连有一条边，当且仅当存在某个元素g ∈ Van(G)使得χ1(g)χ2(g) ≠ 0。

这一概念是文献[17]中所述公共零图的对偶。根据我们的定义，若群G被归类为?′1-群，则Γnv(G)具有一个孤立顶点。此外，G是?′2-群当且仅当Γnv(G)存在两个不同的顶点χ1和χ2，且χ1不与χ2相邻。这表明Γnv(G)至少有一个非完全顶点（简单图的完全顶点是指与所有其他顶点均相邻的顶点）。

需要注意的是，尽管?i-群类在取商群运算下保持封闭，但?′i-群类并不具备这一性质（例如，参见Frobenius群C211 ? SL2(5)）。对于任意整数i ≥ 1，若对每个非线性特征标χ ∈ Irr(G)，都存在i - 1个非线性不可约特征标χc_j ∈ Irr(G/ker χ)，其中j ∈ {1, ..., i - 1}，使得Van(G) = Van(χ) ∪ (?_{j=1}^{i-1} Van(χc_j))，则我们称G为强?′i-群。显然，强?′i-群在取商群运算下保持封闭。

值得注意的是，若G被刻画为强?′1-群，则Γnv(G)是一个空图（无边的图），但其逆命题并不成立。Frobenius群Z23 ? Q8具有空图，但它并不是强?′1-群。事实上，具有空图Γnv(G)的群G是一个几乎强?′1-群，如下所示：

定理A 设G为有限群。则Γnv(G)为空图当且仅当下列情形之一成立：
(a) G是强?′1-群。
(b) 存在一个正规子群K，使得Irr(G/K | G′K/K) = {θ}，Van(G) ∩ G′K ≠ ?，并且对于每个非线性特征标χ ∈ Irr(G) - {θ}，有Van(χ) = Van(G)。

一个合理的问题是，在G不是强?′1-群的条件下，我们是否可以描述具有空图Γnv(G)的群G。迄今为止，我们唯一找到的满足这些标准的群是Frobenius群，其中Frobenius核是初等阿贝尔3-群，而Frobenius补是Q8。我们现在提出一个猜想：

猜想1 设G为有限群。则Γnv(G)为空图当且仅当G是强?′1-群，或者G是Frobenius群且其核为阿贝尔群、Frobenius补为Q8。

作为上述猜想的某些证据，我们证明了当Γnv(G)至多有三个顶点时，具有空图的唯一非强?′1-群是Frobenius群，其Frobenius核为初等阿贝尔3-群，Frobenius补为Q8。

对于满足UN(G) = Z(G)的强?′1-群（其中UN(G) = 〈?_{χ∈Irr(G | G′)} Nv(χ)〉），已经进行了深入研究。这些群被具体识别为VZ-群（参见文献[25]等）。已证明这些群具有幂零类2。我们将此概念推广到所有强?′1-群，证明这些群的Fitting高度至多为二。事实上，我们已经证明了：

定理B 设G为有限非阿贝尔群，且G是强?′1-群。则G的Fitting高度至多为二，并且下列情形之一成立：
(a) G是VZ-群。更确切地说，G/Z(G)和G′是某个素数p的初等阿贝尔p-群，且G的幂零类为2；
(b) G/F(G)是循环群，且存在正规子群R ? F(G)，使得G/R是一个Frobenius群，其核为初等阿贝尔群且Frobenius补为循环群。

对于上述每种情形都有相应例子：次酉p-群满足定理的(a)部分，我们可以找到大量满足(b)部分的群，例如G ? C13 ? C4或Dic3 ? C3 ? C4。也值得一提的是，若G是强?′1-群，我们不能得出|cd(G)| = 2（即G的导出长度至多为2）。S_z(8)的Sylow 2-子群的正规化子构成了一个反例。

在本文中，我们承认我们对?′1-群结构的理解仍然不完整。尽管如此，我们通过证明：当G是?′1-群时，G的Fitting子群F(G)确实非平凡，做出了有意义的贡献。需要指出的是，与文献[14]中的发现相反，我们不能对极小正规子群的数目施加任何限制，因为关于非消失共轭类的数目并无任何限制。我们给出以下结果：

定理C 若G是?′1-群，则F(G) > 1。

在文末，我们刻画了所有非可解的强?′2-群。为实现这一目标，我们首先探究群Sn和An，并证明：

定理D 假设G ? Sn或An，其中n为某个不等于7的整数。则Γnv(G)中的顶点χ是完全的，其中χ = (χ^(n-1,1))^G，而χ^(n-1,1)是与n的分割λ = (n-1, 1)相对应的Sn的不可约特征标。

由上述定理可得，我们证明：

推论E 假设G ≠ A7，且G是几乎单群，其单核为S。则Γnv(G)至少有一个完全顶点。此外，若S ? An和M22，则Γnv(G)是完全图。

受上述推论的启发，自然会产生如下问题：

问题1 设G ? Sn或An。对于哪些自然数n，Γnv(G)是完全图？能否证明除非n = 7，否则Γnv(G)都是完全图？

最后，我们刻画了所有非可解的强?′2-群：

定理F 设G为有限非可解群。则G是强?′2-群当且仅当G ? A7 × A，其中A为某个阿贝尔群。

受上述定理的启发，自然会产生如下问题：

问题2 设G为有限非可解群，且Γnv(G)中不存在完全顶点。

是否可以说 ?? ? ??7 × ??？对于自然数 ?? 和一组素数集合 π，我们用 ???? 表示 ?? 的 π-部分，用 ????′ 表示 ?? 的 π′-部分。设 ?? 为一个素数，我们称其阶被 ?? 整除的元素为 ??-奇异元素。设 ?? 为一个群，?? 为 ?? 的正规子群。若 ?? ∈ ??，我们用 ???? 表示 ?? 中包含 ?? 的共轭类。若 ?? ∈ Irr(??) 且 ?? 为一个整数，我们用 ???? 表示 ?? 个 ?? 的直积，用 ???? 表示 ?? 个 ?? 的乘积，即 ?? × … × ?? ∈ Irr(????)。我们用 Irr(??|??) 表示那些核不包含 ?? 的不可约特征的集合。同样，若 ?? ∈ Irr(??)，则 Irr(??|??) 表示 ?? 中位于 ?? 之上的不可约特征的集合。其他所有记号均为标准记号，可参见文献[19]。

**定理 B 和 C 的证明**

为了证明我们的主要定理，我们需要以下已知结果：

**引理 2.1** [24, 命题 1.1] 设 ?? ∈ ??。以下断言等价：
(a) |????(??)| = |??:??′|；
(b) ????′ 是 ?? 的一个共轭类；
(c) ??′ = [??,??]（作为集合）；
(d) ?? 的每一个非线性特征在 ?? 上的值为零。

**引理 2.2**（参见[10, 定理 A]）设 ?? 为一个群，?? ∈ ?? 为非消失元素。若 ?? 的阶与 6 互素，则 ?? ∈ ??(??)。

**引理 2.3**（参见[31, 定理 5.16]）设 ?? ∈ Irr(??) 满足对于 ?? 中每个阶为 ?? 的元素 ??，都有 ??(??) = 0。则 ??(1)?? = |??|??。

**引理 2.4**（参见[13, 定理 D 的证明]）在本节中，我们用 ? 表示正整数集合，用 ?? 表示非负整数集合。我们将回顾对称群 ???? 和交替群 ???? 的不可约特征的某些性质，更多细节请参见文献[21]。?? ∈ ?? 的一个分拆是由一组按弱降序排列的正整数序列组成的，其和为 ??。为了紧凑地表示这些分解，我们通常将相同大小的部分合并，写作 ???? 表示有 ?? 个大小为 ?? 的部分。对于每个 ?? ∈ ??，我们定义 ??(??……

**定理 A 和 F 的证明**

在本节中，我们也沿用 James [21] 和[12]中建立的记号。设 ?? 为一个有限群，?? 为一个域。考虑 ?? 的一个指数为 2 的子群 ??。符号模，记作 sgn，是一个一维 ????-模，其中对于每个 ?? ∈ ?? 有 ?? ? ?? = ??，而对于每个 ? ∈ ?? ? ?? 有 ?? ? ? = ???，其中 ?? ∈ sgn。由于 |??:??| = 2，故 (?? ? ??) ? ? = ?? ? ???。对于 ????-模 ??，我们定义 ?? 的伴随模为 ????-模 ?? ??? sgn。该模上的作用由 (?? ? ??) ? ?? := (?? ? ??) ? (?? ? ??) 给出，其中 ?? ∈ ??，?? ∈ sgn，?? ∈ ??。给定一个分拆 μ……

**致谢**

作者衷心感谢审稿人对稿件提出的宝贵意见、建设性建议以及仔细校对。审稿人的深刻反馈帮助我们提高了论文的清晰度、准确性和整体质量。我们非常感谢审稿人为审阅我们的工作所付出的时间和精力。

Zeinab Akhlaghi | Kamal Aziziheris | Sesuai Y. Madanha