Mathieu 群 M?? 与 SL?(3) 在特征 3 下的比较

《Journal of Algebra》：The Mathieu group M12 vs SL 3( 3) in characteristic 3

　　

# 摘要

我们证明了Mathieu群 ???? 和特殊线性群 SL?(3) 的主3-块是精彩的Rickard等价（splendidly Rickard equivalent）的，从而也是导出等价的（derived equivalent），该证明运用的是Rickard的定理，其思想源头可追溯至本文第二作者。作为副产品，我们回答了W. Murphy提出的关于上述主3-块的第一个Hochschild上同调的一个问题。

# 引言

在有限群的模表示论中，最重要且最具吸引力的猜想之一是（所谓的）Broué阿贝尔亏量群猜想（Abelian Defect Group Conjecture, ADGC）。粗略地说，该猜想指出：对于素数 p，若有限群 G 和 H 的主 p-块 A 和 B 具有相同的阿贝尔亏量群 P（因此 P 也是 G 和 H 的公共Sylow p-子群），且若 P 上的融合系统 ?_P(G) 和 ?_P(H) 相同，则代数 A 和 B 应当是导出等价的。那么人们可能会问，如果考察 P 为非阿贝尔的情形，例如阶为 p3、指数为 p 的超特殊群 p^{1+2}，又会如何？确实，已有多人研究了这一情形，例如文献[1]、[5]、[10]、[18]、[20]、[21]。事实上，大约四十年前，本文第一作者已经对所有可能的（不一定是主块的）亏量群 P = p^{1+2} 的 p-块 A（对任意奇素数 p）进行了分类，在 G 是 p-可解的条件下，分类结果取到Morita等价意义下的完备代表[10, 命题1.1和1.4]。回到我们的主题，Y. Usami早在1997年就宣称她已证明了Mathieu群 ???? 和特殊线性群 SL?(3) 的主3-块之间存在完美同度（见[21, 命题4]，以及[18, 命题59]）。顺便提一下，完美同度的存在是Broué ADGC猜想的较之较弱的版本。

实际上，在本文中我们证明了比Usami的结果更强的结论，即我们的主要定理是：

**定理1.1** Mathieu群 ???? 和特殊线性群 SL?(3) 的主3-块是精彩的Rickard等价（精彩导出等价）的。尽管我们的结果只涉及两个非常具体的有限单群，我们着重指出，我们在[19]中大量依赖的定理的思想源头可追溯至本文第二作者，正如Rickard多次所指出的。事实上，在第一作者花费数十年之久之后，才意识到如此具体和细致的计算对于检验未知的命题是如此有用和有力。

作为推论，导出等价可以提升到3′-指数为2的更大的群；

**推论1.2** Aut(????) ? ???? ? 2 和 Aut(SL?(3)) ? SL?(3) ? 2 的主3-块是精彩的Rickard等价（精彩导出等价）的。

定理1.1和一个著名的结论（Happel所证，即导出等价保持Hochschild上同调结构）立即蕴含W. Murphy在[16]中提出的如下推论：

**推论1.3**（参见[16, 注5.3]） ???? 和 SL?(3) 的主3-块的第一Hochschild上同调群 HH1(B?(k????)) 和 HH1(B?(k SL?(3))) 分别作为Lie代数同构，其中 k 是特征为3的代数闭域。

## 各节概述

**记号与本文结构**

本文使用以下记号和约定。在全文中，k 是素特征 p 的代数闭域。我们用 A 和 B 表示有限维 k-代数。我们用 1_A 和 A^× 分别表示 A 的单位元和 A 中所有可逆元素的集合。A-模是指有限生成的右 A-模，除非另有说明。有时我们用记号 X_A、_A Y 和 _A U_B 来强调 X 是右 A-模、Y 是左 A-模、U 是(A,B)-双模。

## 一般方法

**记号3.1** 在本节中，我们假设 k 是特征 p > 0 的代数闭域，A 是有限维自注入 k-代数。实际上，下面的引理在运用Rickard定理[19, 定理6.1]时非常有用，此时我们的复形 X• 的 Homology群 H_i(X•) 满足 H_i(X•) = 0，除了 i = 0, 1 之外。

**引理3.2**（参见[22, 命题6.6.2]）设 X• 和 Y• 是 Db(mod-A)中的对象（从而也是Cb(mod-A)中的对象）。假设以下两个条件都成立：
(a) H_i(X•) = 0 且 H_i(Y•) = 0

## 全文使用的记号

**记号4.1** 从本文此处以直到结束，我们使用以下记号：

- p = 3
- k：特征为3的代数闭域
- G = M??：12阶Mathieu群
- H = SL?(3) = SL(3, ???)：??? := GF(3) 上的3阶特殊线性群
- P = {(γ 1 0; α β 1; 0 0 1) | α, β, γ ∈ ???} ? SL?(3) = H, P ? 3^{1+2?}，即阶为27、指数为3的超特殊群
- P ∈ Syl?(G) ∩ Syl?(H)，通过标识 N_G(P) = N_H(P)
- 进一步注意到 N_G(P) = N_H(P) ? P ? (C? × C?)（Borel子群）
- σ：G中P的外自同构，阶为2，从而 P^σ = P
- PIMs over A and B：A和B上的投射不可约模

**引理5.1** (i) (ii)

*证明* (i)和(ii)由[11, 定理1]得出。□

## F(kG), F(15 kG), F(15* kG) 和 F(34) 的像

**引理6.1** F(kG) = kH，F(15 kG) = 15 kH，F(15* kG) = 15* kH。

*证明* 首先，由于 P 是 kG 的顶点，引理4.10(iii)给出：
F(kG) = f'?1 ° f(kG) = f'?1(kN) = kH。
由[13, 定理(i)]，P 是 15 kG 的顶点。从而：
f(15 kG) = 15 kG ↓_G^N（由[13, (6.2)]）
? 15 kH ↓_H^N = f'(15 kH)（由[11, (1.3)命题(iv)]）
另一方面，引理4.10(iii)蕴含 f'?1 ° f(15 kG) ? F(15 kG)，因此第二个等式成立。

最后，F(15*) = F(15^σ)（由(4)）= F(15)^τ（由引理4.10(iv)）= 15 kH^τ（由第二个等式）= 15* kH（由(4)）。□

**引理6.2** 存在唯一的（在同构意义下）

## F(10) 和 F(10') 的像

在第6-7节中，我们自由地使用[9, (1.1)引理]，该引理对于了解 kG-模的精确Loewy结构和根（socle）结构非常有用。

**引理7.1** (i) Sc(N, Q) ? U(k, 1, k) ? χ_I + χ_{2a}，其中 χ_I, χ_{2a} ∈ Irr(N)，指标如[13, (7.4)(ii)]所示。

(ii) Sc(N, N?) = Sc(N, P?) ? U(k, 2, 31, 2*, k) ? χ_I + χ_{81}，其中 χ_i 的指标如(i)中所述。

*证明* (i) 由记号4.1，SD?? ∈ Syl?(N?)。因此，由[17, 第四章推论8.5]和[10, 引理3.1和3.4(i)]：
Sc(N, Q) ? Sc(N, Q ? SD??)|_{kQ?SD??}
↑^N = kQ?SD?? ↑^{Q?GL?(3)}
= kSD?? ↑^{GL?(3)} ? U(k, 1, k)。
由于最后一项视为

## F(45) 和 F(45') 的像

回顾记号4.11中 f := f(G, Q, N) 和 f' := f(H, Q, N) 分别是关于 (G, Q, N) 和 (H, Q, N) 的Green对应（参见[17, 第四章 §4]），其中 N := N_G(Q) 且 Q ? P 是固定子群，Q ? C? × C?。

**引理8.1** (i) Q ∈ vx(45' kG) 且 Q^τ ∈ vx(45 kG)。
(ii) 对于任意 h ∈ H ? N，有 Q ∩ Q^h = 1。

*证明* (i)由[13, 定理(ii)]得出。
(ii)由基本计算得出。□

**记号8.2** 回顾对于 A 中任一简单 kG-模 S，由引理4.10和[15, 命题4.14.9]，F(S) 是不可分解的 kH-模。进一步由

## D_b(mod-B) 中的简单对象

**记号9.1** 在本节中，我们使用以下记号：设 ? := Cb(mod-B)，? := Db(mod-B)，? := Kb(mod-B)，?? := Kb(proj-B)。对于 S ∈ Irr_k(A)，我们用记号 X•(S) 表示在下面的引理9.2中定义的复形。

**引理9.2** 函子 F: mod-A → mod-B 产生以下复形：

| 度 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| H_i := H_i(X•(S)) | | | | | |
| X•(kG) | 0 | 0 | 0 | F(kG) | 0 |
| | | | | H? = kH | |
| X•(34) | 0 | 0 | 0 | F(34) | 0 |
| | | | | H? = 7 | |
| X•(15) | 0 | 0 | 0 | F(15) | 0 |
| | | | | H? = 15 | |
| X•(15*) | 0 | 0 | 0 | F(15*) | 0 |
| | | | | H? = 15* | |
| X•(10) | 0 | 0 | P(6) ? F(10) | → 0 | |
| | | | H?? = U(kH,7,3,6) | | |
| X•(10') | 0 | 0 | P(6*) ? F(10') | → 0 | |
| | | | H?? = U(kH,7,3*,6*) | | |
| X•(45) | 0 | P(6) | P(3) ⊕ P(6*) ? F(45) | → 0 | |
| | | H?? | | | |

## 结果的证明

**定理1.1的证明** 由引理9.2至9.13（除引理9.9外）、[19, 定理6.1]和[6, 定理4.4]得出。□

**推论1.2的证明** 设 G? := Aut(G) 和 H? := Aut(H)，从而 G? = G ? ?σ? ? G ? C? 和 H? = H ? ?τ? ? H ? C?（由[2, p.31和p.13]）。由于 |Out(????)| = |Out(SL?(3))| = 2 与我们的 p := 3 互素，Clifford定理/Maschke定理和与定理1.1的证明中本质相同的方法可以证明该推论。具体而言，[11, 定理2]和[12, 定理2]给出了结果（参见下表）：

| 度 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| H_i := H_i(X•(S?)) | | | | | |

# 致谢

本文第一作者感谢Alexander Zimmermann回答了他关于其著作[22]中的问题，同时感谢Markus Linckelmann提供有用信息。第一作者感谢审稿人提出的改进初稿的宝贵意见。

Shigeo Koshitani | Tetsuro Okuyama