振荡链序列的构造与刻画

《Journal of Approximation Theory》：Construction and characterization of oscillatory chain sequences

　　

摘要
本文对围绕1/4振荡的链序列{a?}进行了开创性的理论研究，将Szwarc关于非振荡链序列的经典框架（Szwarc，1994, 1998, 2002, 2003）推广到围绕1/4波动的序列。我们证明了临界映射f(x)=1?(1/4)x存在不动点，并建立了将振荡行为与参数序列{g?}联系起来的收敛性质。我们通过一个充要条件给出了完全刻画，并通过显式解a?=(1/4)/(1+(?1)???)进行了示例说明。关键性地，我们构造了使级数∑???∞(a??1/4)发散的振荡链序列，证明了在Chihara界所要求的假设a?≥1/4之外存在根本不同的行为。

引言
链序列是正交多项式理论和连分数分析中的基本分析工具，这一点从经典专著[2]、[7]中可见一斑。形式上定义，序列{a?}???∞被称为链序列，若其存在分解：
a? = g?(1?g???), n≥1,
其中参数序列{g?}???∞满足0≤g?≤1。值得注意的是，我们采用Wall [7]中参数序列的限制条件0≤g?≤1，而Chihara [2, p. 91]使用的定义更为严格，即0≤g?<1且对n≥1有00的非振荡序列，而围绕1/4振荡的区域仍处于开放状态。

本文通过扩展Szwarc的框架到1/4-振荡链序列来弥合这一理论空白，其中集合P??={k: a?>1/4}和N??={k: a?<1/4}均为无穷集。我们的主要贡献包括：
(1) 不动点分析：建立临界映射f(x)=1?(1/4)x的存在性和收敛性质，将振荡动力学与参数序列联系起来。
(2) 刻画定理：推导1/4-振荡链序列的充要条件，通过形如a?=(1/4)/(1+(?1)???)的显式构造进行示例说明。
(3) 发散现象：构造具有∑???∞(a??1/4)发散性的振荡链序列。这证明了在Chihara界所要求的假设a?≥1/4之外存在根本不同的行为，揭示了当先前估计应用于振荡区域时存在的根本性局限。

本文的结构如下：第2节形式化振荡链序列并建立其收敛性质。第3节给出具体示例，说明在Chihara条件适用范围之外的发散行为。我们的结果共同扩展了[3]、[4]、[5]、[6]的分析工具箱，同时揭示了振荡区域所独有的新现象。

第2节片段
振荡链序列
对于序列{a?}???∞，我们定义两个集合为
P_a = {k: a? ? a > 0, k ∈ ?}
和
N_a = {k: a? ? a < 0, k ∈ ?}。

如果P_a和N_a都是无穷的，则称{a?}???∞是a-振荡序列，或者说{a?}???∞围绕a振荡。否则，它是非a-振荡序列。如果{a?}???∞不围绕任何数振荡，则我们简单地说{a?}???∞是非振荡的。在此意义上，可以说Szwarc [3]、[4]、[5]、[6]主要讨论的是非振荡链序列，而非振荡链序列。

示例
虽然链序列本身可能收敛或发散，但在Chihara界适用范围之外的关键特征来自于∑(a??1/4)的发散性。

未引用的参考文献
[1]

利益冲突声明
作者声明，他们没有任何已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文所述工作。

致谢
作者感谢匿名审稿人对稿件的仔细阅读和建设性意见。

我们感谢Bo Wang和Zehong Wang进行的有价值的讨论。

D.P.和J.Q.部分得到国家自然科学基金委员会（编号：11571327, 11971059）的支持。

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