幂闭包、解析闭包、代数闭包和完备化

《Journal of Algebra》：Power closure, analytic closure, algebraic closure, and completion

　　

摘要

本文是论文[11]的续篇。在[11]中，作为幂级数域中一个域的代数闭包和代数闭域的对应物，我们引入了秩一赋值域的幂闭包和幂闭赋值域的概念。我们证明了：(1)一个秩一赋值域是幂闭的，当且仅当它是完备的且其商域是代数闭的；(2)每个秩一赋值域都有幂闭包；(3)秩一赋值域的任何两个幂闭包彼此同构。然后我们引入了秩一赋值域的解析闭包的概念，并将其与幂闭包进行比较。我们还刻画了赋值域V上的幂级数环V?x?的素元，这回答了J. T. Arnold在1985年提出的问题。最后，利用这一刻画，我们证明了赋值域V上的幂级数环V?x?是最大公因子域当且仅当V是Weierstrass域。

引言

我们讨论幂级数的零点。我们的主要目标是建立域上的多项式环与秩一赋值域上的幂级数环之间的相似性。整环上的非常数多项式在所有零点位于某个扩张域中。我们证明了对于非关联常数的幂级数也是如此，其中"关联常数"意味着一个常数的相伴元。非关联常数的幂级数可以有无限多个零点，且零点的个数被证明等于其初始次数。

我们证明，整环D中每个非关联常数的幂级数都有零点在D中，则D是秩一赋值域。这样的秩一赋值域称为幂闭的。我们在[11]中已经证明，每个秩一赋值域V都被某个秩一赋值域W支配，使得：(1)W是幂闭的；(2)W上的每个非关联常数的幂级数都有有限或无限乘积 c∏n(x?an)，其中c是W?x?中的一个关联常数，每个an是W中的非单位元；(3)W是Weierstrass域，即对于非单位元W的任意序列{an}n=1∞，满足∑n=1∞v(an)<∞（其中v是与W对应的赋值），在W?x?中存在无限乘积∏n=1∞(x?an)。

设V?W是秩一赋值域的扩张。W中的非单位元称为在V上解析的，如果它是V上某个非关联常数幂级数的零点，而V称为解析闭的，如果在V上每个解析元都在V中。结果发现，幂闭和解析闭这两个概念是相同的。我们证明，任何秩一赋值域V都被某个幂闭包支配，它被定义为V的最小幂闭（即解析闭）赋值扩张，且V的任何两个幂闭包彼此同构。

我们描述了一个获取任意秩一赋值域V的幂闭包的过程。首先，取V的商域K的代数闭包K￣，并将V扩张到K￣。所得到的赋值域V?是V的一个最小赋值扩张，包含V上所有非常数首一多项式的所有零点。然而，它不足以包含V上所有非关联常数幂级数的所有零点。为了获得所有零点，我们取V?的完备化V??。这一过程的理由是完备化在基赋值域上解析，即完备化中的每个非单位元在基赋值域上都是解析的，后文将揭示这一点。我们对秩一赋值域V??继续上述过程，即取V??的商域的代数闭包F并将V??扩张到F。幸运的是，V??的商域是代数闭的，所以过程不再继续，到此结束。因此V??是V的幂闭包的自然候选，并且实际上它就是V的幂闭包，依据以下刻画：秩一赋值域V是解析闭的，当且仅当V是完备的且V的商域是代数闭的。令人惊讶的是，无论取什么样的扩张V?为V到K的代数闭包的扩张，V的幂闭包V??都是彼此同构的。

在多项式的情形中，域K的代数闭包满足：(1)代数闭；(2)在K上的代数。然而，在幂级数的情形中，这两个相应的性质不必体现在单一的整体中。换句话说，给定秩一赋值域V，存在在V上解析的秩一赋值域中最大的秩一赋值域V1，并且存在在解析闭的秩一赋值域扩张中最小的秩一赋值域V2。这些V1和V2不必彼此同构。事实上，我们有嵌入V1=V???V??=V2。注意这两个运算?和?的顺序是颠倒的。对于V1，先取完备化V?，然后取其到V?的代数闭包的赋值扩张V??；而对于V2，先取扩张V?，然后取完备化V??。与代数闭包不同，V的幂闭包不必在V上解析。然而，后文将揭示，与代数元类似，解析元对加法和乘法封闭，即它们构成一个V-代数。事实上，V在幂闭包V??中的解析元的集合恰好就是赋值域V??的最大理想。

利用这一结果，我们证明了V上的解析元α是V上某个本原素幂级数的零点。该幂级数称为α在V上的不可约幂级数，记作irr(α,V)，其性质是在V?x?中它整除V上所有以α为零点的幂级数。这一发现使我们能够回答J. T. Arnold在1985年提出的问题：我们证明，类似于域上的多项式，赋值域上的非关联常数幂级数f(x)是素的，当且仅当f(x)是不可约的，当且仅当f(x)是本原且不可约的。由此我们可以推出，秩一赋值域上的每个非关联常数v-本原幂级数都是素幂级数的有限或无限乘积。此外，如果赋值域V的值群为R，则V上的每个非关联常数幂级数f(x)都是素幂级数乘以一个常数的有限或无限乘积，即形如f(x)=c∏nfn，其中c是常数，每个fn是素的，从而使环V?x?/(V?(0))是弱UFD，即V?x?/(V?(0))中的每个非单位元都是素元的可数（有限或无限）乘积。令人惊讶的是，即使对于任意的赋值域V，Eakin-Sathaye环1 V?x?/(V?(0))也是弱UFD。与多项式情形中每个非常数多项式都是素因子的有限乘积相比。一个关键的区别是，与多项式情形不同，幂级数涉及无限乘积。

我们还证明了，对于秩一赋值域V，V?x?是最大公因子域当且仅当V是Weierstrass域，即对于非单位元的任意序列{an}n=1∞，满足∑nv(an)<∞（其中v是与V对应的赋值），在V?x?中存在无限乘积∏n(x?an)，即存在V?x?中的v-本原幂级数f(x)使得零点集Z(f:V)等于{an}n=1∞。在[11, 定理6.8和6.9]中，我们证明了值群为R的秩一Weierstrass域的存在性：事实上，任何秩一赋值域都可以被一个Weierstrass域支配。这具有意义，因为最大公因子域在非Noether幂级数环中是稀少的。

最后，我们证明了如果α在V上解析，则V?α?也在V上解析。众所周知，如果α在整域D上整，则D[α]也在D上整。有趣的是，幂级数环有更强的结果：如果α在完备的秩一赋值域V上是非单位整元，则V?α?也在V上整。利用这一结果，我们还证明了如果α在秩一赋值域V上解析，则V?α?在其商域中的整闭包是赋值域。换言之，对于V?x?中的本原素幂级数f(x)，V?x?/(f(x))的整闭包是V的秩一赋值扩张，其中f(x)有零点。

总而言之，本文涉及环V?V??V???V???=V??，其中V是秩一赋值域，?表示完备化，?表示到代数闭包的扩张。

各节摘要

最小完备幂闭扩张

设V是秩一赋值域。在本节中，我们证明V是幂闭的当且仅当V的商域是代数闭的且V满足Weierstrass预解定理。众所周知，如果V是完备离散的，则V满足Weierstrass预解定理。我们证明这同样成立，无论V是否离散。然后我们证明V有一个最小完备秩一幂闭赋值扩张；此外，任何两个这样的最小...

幂闭包

设V是秩一赋值域。在本节中，我们证明V?是V的解析扩张；事实上，V?中的每个非单位元α都是V?x?中某个本原幂级数f的零点，且f的初始次数为1。我们证明如果V满足Weierstrass预解定理，则V是完备的。我们还证明以下等价：(1)V是幂闭的；(2)V是解析闭的；(3)V是完备的且其商域是代数闭的。

我们从一条观察开始。对于任何商域代数闭的赋值域...

在本节中，我们证明以下结论：设V是值群为R且商域代数闭的秩一赋值域。则V?x?中每个初始次数为m（可能为∞）的非零幂级数f(x)都可以写成c∏n=1mfn(x)的形式，其中c是V?x?中的常数，每个fn是初始次数为1的本原幂级数。这是以下结论的幂级数类比：如果K是代数闭域，则K上每个次数为m的非零多项式f(x)都可以...

完备赋值域

设V是秩一赋值域，α在V上解析。则存在V?x?中的非零幂级数f使得f(α)=0，因此根据定理3.11，α在V的某个幂闭包中。由推论3.7，我们可以假设V有唯一的幂闭包V?:=V?￣?，且V上每个解析元都在V?中。

定理5.1 设V是商域代数闭的秩一完备赋值域，幂闭包为V?(=V￣?)。则V?中V上的解析元的集合N是V的绝对整闭包V￣的最大理想。

证明 显然...

解析闭包与弱幂闭包

设V?W是秩一赋值域的扩张。回顾一下，W中的非单位元如果在V?x?中的非零幂级数中有零点，则称为在V上解析的。在本节中，我们证明，与代数元类似，解析元对加法和乘法封闭。事实上，幂闭包V?(=V?￣?)中包含的V上的解析元的集合恰好就是V?￣的最大理想，而V?￣是V?在其商域的...

V?x?的素元

1985年，J. T. Arnold提出了赋值域V上的V?x?的素元是什么的问题（[2, 问题]）。在第4节和第5节中，我们在一些特殊情形中回答了这个问题。在本节中，我们对该问题给出一个完整的回答。

实际上，我们证明了赋值域上的一个非常数幂级数是素元当且仅当它不可约当且仅当它既是原始的又是不可约的。由此可知，在秩一赋值域上、V-GCD域以及魏尔斯特拉斯域上，每一个非常数幂级数f(x)……已知，如果赋值域V上的幂级数环V[[x]]是GCD-域，则V是魏尔斯特拉斯域（[11, 定理7.1]）。在本节中，我们证明了它们实际上是等价的。随后，我们给出了一个幂闭合域但不是魏尔斯特拉斯域的例子。最后，我们还证明了赋值域V上的环V[[x]]\V(0)是一个弱唯一分解整环（即V[[x]]\V(0)中的每个非单位元素都是素元的有限或无限乘积）。定义8.1（[11, 定义6.1、6.2和7.10]）解析闭包与伪解析闭包解析元的概念仅对非单位元定义。我们引入了伪解析元的概念，该概念对所有元素（包括单位元）均有定义。然后我们证明了解析闭包与伪解析闭包相同。众所周知，如果α在整域D上是整的，则D[α]在D上也是整的。我们证明了类似的结果对幂级数扩张也成立：如果α在秩一赋值域V上是解析的，则V[[α]]在V上也是解析的。致谢：作者感谢匿名审稿人对本文的仔细审阅以及提出的宝贵意见和建议，这些意见极大地改进了本文。B.G. Kang | M.H. Park