具有阿贝尔缺陷群和素数阶惯性商的 2-块

《Journal of Algebra》：2-blocks with abelian defect groups and inertial quotient of prime order

　　

摘要

本文对亏范畴群为阿贝尔群且惯序商群阶为素数的所有2-区块进行了分类。作为推论，我们证明了在所考虑的情形下，Broué的阿贝尔亏范畴群猜想成立。

引言

设 $p$ 为素数，$(K, O, k)$ 为一个完备的 $p$-模系统。我们假设余域 $k$ 是特征为 $p$ 的代数闭域，分式域 $K$ 的特征为 $0$。在本文中，我们假设 $K$ 对于下文考虑的有限群足够大。

设 $G$ 为有限群。$G$ 的一个 $p$-区块（或简称区块）$b$ 是群代数 $OG$ 的一个初等中心幂等元。设 $P$ 为 $b$ 的亏范畴群，$b_0$ 为 $b$ 在 $N_G(P)$ 中的Brauer对应。区块理论的一个关键目标是理解区块代数 $OGb$ 与 $ON_G(P)b_0$ 之间的联系。著名的Broué阿贝尔亏范畴群猜想指出，当亏范畴群 $P$ 为阿贝尔群时，$OGb$ 与 $ON_G(P)b_0$ 是同导出等价的（参见 [4, 6.1]）。

按照 [22]，若 $OGb$ 与 $ON_G(P)b_0$ 基本Morita等价 [20]，则称区块代数 $OGb$ 为惯序的。众所周知，Broué猜想对这样的区块代数成立。目前已知许多具有阿贝尔亏范畴群的惯序区块代数的例子，如 $p$-可解群的区块代数、亏范畴群同构于 $C_{2^{n_1}} \times C_{2^{n_2}} \times \cdots \times C_{2^{n_t}}$（对所有 $i$ 有 $n_i \geq 2$）的2-区块代数 [25]、仅有单一不可约Brauer特征轨道的区块代数 [14] 等。

有限准单群的具有阿贝尔亏范畴群的2-区块代数的分类已经建立（参见 [6, Theorem 6.1] 或下文定理 3.1）。该分类已被用于确定某些阿贝尔亏范畴群的2-区块代数的Morita等价类 [2]、[3]、[6]、[7]、[8]、[18]、[24]。这反过来又在这些情形下证明Broué猜想的过程中发挥了关键作用。

设 $(P, e_P)$ 为一个极大 $b$-Brauer对 [16, Section 6.3]。我们记 $N_G(P, e_P)$ 为 $(P, e_P)$ 在 $G$ 中通过共轭作用的稳定子群。$b$ 的惯序商群定义为商群 $E(b) = N_G(P, e_P)/P^C G(P)$。特别地，当 $P$ 为阿贝尔群时，$E(b)$ 是商群 $N_G(P, e_P)/C_G(P)$。于是它是 $P$ 的一个自同构群，而 $b$ 相对于 $(P, e_P)$ 的超焦点子群（参见 [21, 1.7]）等于 $[P, E(b)]$。

本文关注惯序商群阶为素数的具有阿贝尔亏范畴群的2-区块。一个显著的例子是，当某个区块的超焦点子群为Klein四元群时，其外自同构群为 $S_3$，因此该区块的惯序商群的阶为 $3$。此外，由 [12, Theorem 1.2]，Broué的阿贝尔亏范畴群猜想对相应的区块代数成立。我们证明以下分类结果。

**定理 1.1** 设 $b$ 为有限群 $G$ 的一个具有阿贝尔亏范畴群且 $E(b)$ 阶为素数的2-区块。则以下之一（或更多）成立：

(i) $OGb$ 是惯序的；

(ii) $b$ 的超焦点子群为Klein四元群；

(iii) $OGb$ 基本Morita等价于 $A_1(2^a) \times R$ 的主区块代数，其中 $2^a - 1$ 为素数，$R$ 为阿贝尔2-群。

作为推论，我们得到以下结论。

**推论 1.2** Broué的阿贝尔亏范畴群猜想对定理 1.1 中考虑的区块代数成立。

**章节片段：约化区块代数**

本节讨论具有阿贝尔亏范畴群的约化区块代数。

设 $G$ 为有限群，$b$ 为 $G$ 的一个区块。我们回顾如下：若 $b$ 覆盖的 $G$ 的任何正规子群的每个区块都是 $G$-不变的，则称 $b$ 为准初等的。进一步地，若 $b$ 为准初等的且 $G$ 满足以下附加条件，则称区块代数 $OGb$ 是约化的（参见 [1, Proposition 6.1]）：对任何正规子群 $N \trianglelefteq G$，若 $OGb$ 覆盖 $N$ 的一个幂零区块代数，则有

$$N \leq Z(G)O_p(G)$$

且

$$O_{p'}(N)$$

**主定理的证明**

本节致力于定理 1.1 和推论 1.2 的证明。在本节中，我们设 $p = 2$。我们首先回顾 [6] 中关于准单群具有阿贝尔亏范畴群的区块的分类。

**定理 3.1** [6, Theorem 6.1] 设 $X$ 为一个准单群。若 $c$ 是 $X$ 的一个具有阿贝尔亏范畴群 $D$ 的区块，则以下之一（或更多）成立：

(i) $X/Z(X)$ 是 $A_1(2^a)$、$G_2(2^q)$（其中 $q \geq 7$ 是3的奇数次幂）或 $J_1$ 之一，$c$ 是主区块，且 $D$ 是初等阿贝尔群；

(ii) $X$ 是 $\mathrm{Co}_3$，$c$ 是一个……

致谢

张昆得到国家自然科学基金（NSFC）资助，项目编号 11901174。

钱华周 | 张昆