基于扰动继电系统轨迹的蔡氏类电路混沌与周期振荡分析

《Journal of the Franklin Institute》：Analysis of Chaotic and Periodic Oscillations in Chua-like Circuit using Locus of a Perturbed Relay System

　　

摘要译文：本研究从新的视角分析了蔡氏类电路中的振荡现象，将原始系统重构为带有集总输入延迟的继电反馈回路。利用扰动继电系统轨迹（Locus of Perturbed Relay Systems, LPRS）框架，研究人员首次识别了所有可能的对称周期轨道——包括不稳定周期轨道（Unstable Periodic Orbits, UPOs）——这些轨道在每个半周期内呈现符号确定性行为。LPRS为所有周期轨道（无论稳定或不稳定）提供周期解，同时给出周期波形、初始条件和轨道稳定性的封闭形式表达式。分析揭示了这些解如何随着时间延迟的变化而出现、消失或发生稳定性转换。通过严格的轨道稳定性判据，研究人员绘制了延迟诱导的分岔图，标记了混沌与周期状态之间的转换。研究结果表明，通常被视为寄生效应的时间延迟可以作为不连续动力系统中混沌抑制的可调参数，为蔡氏类电路的实际应用中实现受控振荡提供了新途径。

论文解读文章：

**研究背景与问题**

蔡氏电路（Chua's circuit）由Leon O. Chua于1983年提出，是混沌电子系统研究中的基础模型，在现代衍生出了多种变体。在非线性反馈下的线性系统中研究混沌振荡较为少见，尤其是涉及继电元件（relay elements）的系统。继电系统以不连续控制为特征，能够展现周期、非周期及多频振荡等复杂行为。当在蔡氏类电路中引入符号函数（signum）非线性时，系统可以在保持混沌行为的同时，支持如LPRS（Locus of Perturbed Relay Systems）这样的精确求解方法，而此类方法在光滑系统中是不可用的。然而，现有基于继电控制的蔡氏电路研究并未涉及继电控制与时间延迟的联合效应。时间延迟在数字实现和网络化控制中普遍存在，通常被视为寄生效应，但若能对其加以精确刻画，它可能成为混沌控制的可调参数。此外，混沌系统中的不稳定周期轨道（UPO）是混沌理论的核心概念，被描述为混沌吸引子的“骨架”，然而传统的数值方法在识别UPO方面存在收敛性依赖初始猜测、精度受限等严峻挑战。

**研究目标与意义**

本研究旨在利用LPRS框架，从新视角分析带有延迟继电反馈的蔡氏类电路，系统刻画时间延迟如何调制系统的振荡行为，揭示延迟如何诱导混沌与周期状态之间的转换，并验证延迟可作为混沌抑制的可调参数。该研究发表在《Journal of the Franklin Institute》，具有重要的理论意义和应用价值，为不连续动力系统中的受控振荡提供了新途径。

**关键技术与方法**

研究人员将原始蔡氏电路模型重构为线性时不变（LTI）被控对象受继电控制器驱动，在状态空间中建立了带有集总延迟的继电反馈系统模型。采用LPRS框架求解周期振荡条件，该框架是一种针对含继电元件的Lur'e系统的频域方法，能够精确确定振荡频率和周期轨迹。对于非对称振荡则采用广义LPRS公式。轨道稳定性通过Poincaré回归映射的Jacobian矩阵Φ(ω_o)的特征值来判断，若谱半径ρ(Φ)<1则轨道稳定。UPO的精确初始条件由封闭表达式给出，用于模拟中激发不稳定周期轨道。延迟效应通过线性子系统传递函数中的e^?τs项进入LPRS公式，表现为相位滞后?ωτ。

**研究结果**

*（一）无延迟时的UPO识别与验证*

在无延迟情况下，通过LPRS方法共识别出六个候选周期解，其中三个满足可实现性条件C2和C3，但均不满足轨道稳定性条件C1，被确定为混沌动力学中的UPO。对于ω_o=0.95 rad/s、ρ=3.58的UPO，散度率为μ≈0.2 s^?1，意味着扰动以每年e^0.2≈1.22的因子增长。研究人员证明了原点平衡点不稳定的Lyapunov定理以及大初始条件下轨迹无界行为的存在性。

*（二）延迟为0.4s时的稳定周期轨道*

当时间延迟设定为τ=0.4 s时，系统呈现周期振荡而非混沌。LPRS方法求解出三个候选周期解，其中仅ω₂=1.0656 rad/s的解满足所有条件C1–C3，是唯一的稳定周期轨道。通过不同初始条件的数值积分验证了附近轨迹被吸引至该稳定轨道。

*（三）延迟诱导分岔的系统分析*

在τ∈[0, 0.6]范围内以10000个离散点分析，发现七条独特的周期解分支。关键分岔点包括：τ≈0.118时，一个先前违反C3条件的解开始满足继电切换条件；τ≈0.208时，一个UPO发生稳定性反转变为轨道稳定；τ≈0.226时，稳定极限环与不稳定周期轨道发生鞍结碰撞而湮灭，系统恢复混沌；τ≈0.339时，一个违反C2条件的解获得稳定性；τ≈0.382时，该解消除过零问题成为完全可实现稳定轨道；τ≈0.405时，最终鞍结碰撞导致系统再次进入混沌。数值分岔图证实了LPRS检测，并额外揭示了τ∈[0.284, 0.293]和τ∈[0.595, 0.6]范围内的非对称周期解，以及正的最大Lyapunov指数（MLE）验证了混沌状态。

*（四）τ=0.6s时的非对称周期解*

在τ=0.6 s时，广义LPRS框架发现了非对称振荡。存在一个稳定且可实现的非对称周期轨道，其开关偏置u₀=2λ?1=?0.8229，预测平均输出y₀=u₀G(0)=1.234387405与数值重构值1.234387367高度一致，验证了理论分析的准确性。

**结论**

本研究通过LPRS方法对继电控制的蔡氏类电路进行了全面分析，提供了周期波形、初始条件和轨道稳定性的封闭表达式，识别了所有对称周期轨道（包括UPO），揭示了延迟诱导分岔的详细结构，证明延迟可作为混沌控制的有效参数。通过调节延迟参数τ，可以稳定期望的周期轨道并增强混沌控制策略，这为不连续动力系统的实际应用提供了重要的理论指导。