与线性正则变换关联的广义维格纳分布中基于方差的输出信噪比的不确定性原理及多目标优化

《Journal of the Franklin Institute》：Uncertainty principles and multi-objective optimization of variance-based output signal-to-noise ratio for the linear canonical transform-associated generalized Wigner distribution

　　

摘要

本文追求两个主要目标：第一个目标是利用线性正则变换（LCT）的一些现有不确定性关系，建立与线性正则变换相关联的广义维格纳分布（GWAL）的海森堡不确定性原理。由于GWAL推广了各种现有的维格纳分布（例如KFWD、LCWD、ACWD、ICFWD、CICFWD、LWD、CRWD、LW、WD），这些不确定性原理提供了重要的理论基础，并在信号处理和光学领域具有潜在的应用价值。第二个目标是构建GWAL的多目标优化模型，该模型通过整合现有的输出信噪比（SNR）模型和方差-信噪比优化模型而建立。通过求解该多目标优化问题，我们推导了一种最优参数确定策略，在噪声抑制方面具有更优的检测性能。

引言

经典维格纳分布（WD）是非平稳信号处理的主要工具，在检测线性调频（LFM）信号方面具有特别的效力。$f \in L^2(\mathbb{R})$的WD定义如下 Johnston [1]，Pei和Ding [2]：

$$\mathcal{W}_f(t,\omega) = \int_{\mathbb{R}} \mathcal{R}_f(t,\tau) \, e^{-i\omega\tau} \, d\tau$$

其中 $\mathcal{R}_{f,g}(t,\tau) := f(t+\tau/2)\,g^*(t-\tau/2)$，$\mathcal{R}_f(t,\tau) := \mathcal{R}_{f,f}(t,\tau)$，上标"$*$"表示复共轭。经典海森堡不确定性原理是信号处理、调和分析及量子力学中的基础性结果，为时频分析提供了强有力的工具。该原理断言，信号在时域的展宽与其在相应频域的展宽之积不能低于一个固定的下界 [3]。虽然最初是为傅里叶变换而提出的，但该不确定性原理已成功推广至各种变换，并为信号处理中数据压缩算法的设计提供了理论基础。关于综述，请参阅Bahri等人 [4]、Boggiatto等人 [5]、Castro和Guerra [6,7]、Chen等人 [8]、Dias等人 [9]、Gao和Li [10,11]、Green和Mitkovski [12]、Jaming [13]、Kamalakkannan等人 [14]、Li和Zhang [15]、Stern [16]、Xu等人 [17]、Zhao等人 [18]。

不确定性原理对WD所能达到的时频分辨率施加了下界限制，如下所示 Folland和Sitaram [19]：

$$\Delta^2 t_{f,E} \, \Delta^2 \omega_{f,E} = \frac{1}{4} \, \Delta^2 t_f \, \Delta^2 \omega_f$$

其中展宽 $\Delta^2 t_{f,E} = \dfrac{\|(t - t_{0f})\,W_f\|_2^2}{\|W_f\|_2^2}$，$\Delta^2 \omega_{f,E} = \dfrac{\|(\omega - \omega_{0f})\,W_f\|_2^2}{\|W_f\|_2^2}$，$t_{0f} = \dfrac{\langle t\,f, f \rangle_t}{\|f\|_2^2}$，$\omega_{0f} = \dfrac{\langle \omega\,\mathcal{F}f, \mathcal{F}f \rangle_\omega}{\|\mathcal{F}f\|_2^2}$，$\Delta^2 t_f = \dfrac{\|(t - t_{0f})\,f\|_2^2}{\|f\|_2^2}$，$\Delta^2 \omega_f = \dfrac{\|(\omega - \omega_{0f})\,\mathcal{F}f\|_2^2}{\|\mathcal{F}f\|_2^2}$；傅里叶变换（FT）定义为 $\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(\tau)\,e^{-i\omega\tau}\,d\tau$；$L^2(\mathbb{R})$上的双线性内积定义为 $\langle \star, \diamond \rangle_t = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \star(t)\,\diamond^*(t)\,dt$，相应的$L^2$-范数为 $\|\diamond\|_2 = \left(\displaystyle\int_{\mathbb{R}} |\diamond(t)|^2\,dt\right)^{1/2}$。类似地，$\langle \star, \diamond \rangle_{(t,\omega)} = \displaystyle\int_{\mathbb{R}^2} \star(t,\omega)\,\diamond^*(t,\omega)\,dt\,d\omega$ 和 $\|\diamond\|_2 = \left(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^2} |\diamond(t,\omega)|^2\,dt\,d\omega\right)^{1/2}$ 分别表示定义在$\mathbb{R}^2$上的时频分布的内积和$L^2$-范数。此外，令$E$为2阶单位矩阵。由(1.2)所暗示，经典WD的时频分辨率受到一个普适下界$\frac{1}{4}$的严格约束。因此，由于这个绝对常数，时频超分辨率在本质上是不可能的。为突破这一基本的分辨率极限，各种WD的广义形式已被提出。这些包括新型分布 [20-29]，关于维格纳分布矩阵的进展 [30-35]，以及多维WD等专业扩展 [36-38]。在这些变体中，与LCT相关联的WD是一种特别引人注目的方法。

对于 $a, b, c, d \in \mathbb{R}$，$ad - bc = 1$，LCT是由参数 $\mathbf{A} = [a\;b;\;c\;d]$ 参数化的一组积分变换，明确定义为 Healy等人 [39]：

$$\mathbf{F}_\mathbf{A}(\omega) := \mathbb{L}_\mathbf{A}\{f(t)\}(\omega) := \begin{cases} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(t)\,\mathcal{K}_\mathbf{A}(\omega, t)\,dt, & b \neq 0 \\[6pt] \sqrt{d}\,e^{i\frac{cd}{2}\omega^2}\,f(d\omega), & b = 0 \end{cases}$$

其中 $\mathcal{K}_\mathbf{A}(\omega, t) := \dfrac{1}{\sqrt{2\pi b i}}\,e^{i\left[\frac{d}{2b}\omega^2 - \frac{1}{b}\omega t + \frac{a}{2b}t^2\right]}$。LCT的逆变换由逆矩阵 $\mathbf{A}^{-1} = [d\;-b;\;-c\;a]$ 确定。在全文中，我们记 $\mathbf{A} \doteq (a, b; c, d)$。众所周知，LCT是许多变换的推广，包括傅里叶变换、逆傅里叶变换、分数傅里叶变换和菲涅尔变换。因此，它在工程学科中找到广泛的用途，特别是在光学、雷达和声呐系统的分析，以及模式识别和信号处理应用中 [40-47]。

与LCT相关联的著名WD之一是瞬时互相关函数型维格纳分布（CICFWD），它通过将传统时域瞬时自相关函数替换为线性正则域瞬时互相关函数而得到。CICFWD定义如下 Zhang [48]：

$$\mathcal{W}_{\mathbf{B}_1, \mathbf{B}_2, \mathbf{A}}^f(t, \omega) = \int_{\mathbb{R}} \mathcal{R}_{\mathbf{F}_{\mathbf{B}_1}, \mathbf{F}_{\mathbf{B}_2}}(t, \tau)\,\mathcal{K}_\mathbf{A}(\omega, \tau)\,d\tau$$

其中 $\mathbf{A} = (a, b; c, d)$，$\mathbf{B}_k = (\bar{a}_k, \bar{b}_k; \bar{c}_k, \bar{d}_k)$，$ad - bc = \bar{a}_k\bar{d}_k - \bar{b}_k\bar{c}_k = 1$，且 $\mathbf{F}_{\mathbf{B}_k}(\omega)$ 是 $f \in L^2(\mathbb{R})$ 的LCT，对于 $k \in \{1, 2\}$。CICFWD的显著特征在于它为改进输出信噪比提供了数学基础，通过对一般含噪信号的输出信噪比不等式进行量化，从而与经典WD相比，显著增强了噪声环境中的检测性能 [48]。此外，CICFWD的输出信噪比优化模型，包括为加性白噪声中单分量LFM信号确定最优自由LCT参数的策略，也在 [49,50] 中建立。另外，CICFWD的不不确定性原理已为实信号和复信号建立。关于这些不确定性原理的结果可详细见 [51]。

此外，Minh [52] 引入了一个十二参数积分变换——LCT的广义维格纳分布（GWAL），它统一了大多数现有的线性正则维格纳分布，包括CICFWD。关键在于，通过求解GWAL、经典WD和CICFWD之间的输出信噪比不等式，对输出信噪比进行了详细分析。随后公开了GWAL在检测受白噪声污染的LFM信号时达到优于WD和CICFWD的检测性能的具体参数条件。对于给定的参数集合 $\mathbf{A}_k = (a_k, b_k; c_k, d_k)$，$\mathbf{B}_k = (\bar{a}_k, \bar{b}_k; \bar{c}_k, \bar{d}_k)$ 满足 $a_k d_k - b_k c_k = \bar{a}_k \bar{d}_k - \bar{b}_k \bar{c}_k = 1$，$k \in \{1, 2\}$，信号 $f \in L^2(\mathbb{R})$ 的GWAL定义如下 Minh [52]：

$$\mathcal{W}_{\mathbf{B}_1, \mathbf{B}_2, \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2}^f(t, \omega) = \int_{\mathbb{R}} \mathcal{R}_{\mathbf{F}_{\mathbf{B}_1}, \mathbf{F}_{\mathbf{B}_2}}(t, \tau)\,\mathcal{K}_{\mathbf{A}_1}(\omega, t + \tau/2)\,\mathcal{K}^*_{\mathbf{A}_2}(\omega, t - \tau/2)\,d\tau$$

其中 $\mathbf{F}_{\mathbf{B}_k}(\omega)$ 是 $f(t)$ 以参数 $\mathbf{B}_k$ 的LCT。为简便起见，令 $\overline{\mathbf{A}} := (a, -b; -c, d)$ 和 $f_r(t) := f(t)\,e^{irt/2}$，其中 $r \in \mathbb{R}$。GWAL的一些特殊情况见表1。GWAL的基本性质列于表2和表3中。关于这些性质的详细证明，请参阅 Minh [52]。尽管GWAL提供了比现有WD更大的自由度，但其最优自由LCT参数的选择是一个重大的理论障碍。最大化含噪信号的检测效率本质上依赖于获取使输出信噪比达到峰值的参数，如 [52] 中所给出的。然而，这一优化范式基于一阶矩定义了输出信噪比，这种表述从根本上与信噪比的标准能量特性表征不一致。因此，作为二阶统计量的方差，成为弥合这一差距的有力解决方案。通过整合这两个优化模型，可获得多目标优化方法，其对于含噪单分量线性调频信号的解也被推导出来。新推导的最优参数确定策略包含了之前的策略，并在噪声抑制方面提供了更好的检测性能。此外，尽管其众多自由参数在实现时频超分辨率方面提供了前所未有的适应性，但这种固有的复杂性同时也对在建立GWAL的相应不确定性原理方面构成了重大挑战。

本文扩展并进一步开发了GWAL的性质和应用。通过利用LCT的广义不确定性原理，我们为GWAL构建了相应的关系。其特殊分布的不确定性原理自然作为推论得出。此外，通过引入方差-信噪比的新定义，我们建立了GWAL的多目标输出优化模型。因此，也提出了GWAL的参数选择策略。通过数值模拟验证了所提策略优于现有方法。

本文其余部分组织如下：第2节首先回顾基本基础知识，包括LCT不确定性原理的已有结果。GWAL的数学期望、方差-信噪比的定义，以及 [42] 中引入的前置参数选择策略的结果也将在本节中简要回顾。第3节致力于证明GWAL的不确定性原理。通过将GWAL用经典傅里叶变换表示，并应用LCT的广义不确定性原理，我们获得了GWAL的相应不确定性原理。第4节通过建立并详细求解GWAL的方差-信噪比输出多目标优化问题，提出了GWAL的新型参数选择策略。随后通过数值模拟验证了所提参数选择策略的有效性，比较了使用该策略的GWAL与CICFWD以及使用单目标信噪比优化模型的GWAL的性能。最后，第5节总结了全文。

分节摘要

**LCT域中的不确定性原理**

令 $\mathbf{A}_k = (a_k, b_k; c_k, d_k)$ 满足 $a_k d_k - b_k c_k = 1$，$k \in \{1, 2\}$。我们现在简要回顾一些关于LCT不确定性原理的已有结果。实信号LCT不确定性原理的更紧的下界在参考文献 [58] 中引入。对于任何实值信号 $f(t)$，信号在两个LCT域中的表示的展宽之积为：

$$\Delta^2 \omega_{f, \mathbf{A}_1}\,\Delta^2 \omega_{f, \mathbf{A}_2} \geq \frac{1}{4}(a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 + \left[a_1 a_2 \Delta^2 t_f + \frac{b_1 b_2}{4}\Delta^2 \omega_f\right]^2$$

其中 $\Delta^2 \omega_{f, \mathbf{A}_k} = \dfrac{\|(\omega - \omega_{0f, \mathbf{A}_k})\,\mathbf{F}_{\mathbf{A}_k}\|_2^2}{\|\mathbf{F}_{\mathbf{A}_k}\|_2^2}$，$\omega_{0f, \mathbf{A}_k} = \dfrac{\langle \omega\,\mathbf{F}_{\mathbf{A}_k}, \mathbf{F}_{\mathbf{A}_k} \rangle_\omega}{\|\mathbf{F}_{\mathbf{A}_k}\|_2^2}$，$k$...

**GWAL的不确定性乘积**

本节中，我们呈现GWAL的不确定性原理。由于GWAL是各种现有WD的推广，所推导的不确定性原理为控制这些特定子分布的时频分辨率极限提供了全面的理论基础。首先，我们建立GWAL域和LCT域中矩之间的关系。然后，利用(2.1)和(2.2)中给出的LCT不确定性原理，我们推导出两个不同版本的...

**GWAL的方差-信噪比多目标优化建模**

对于含噪LFM信号，尽管GWAL可简化为现有分布的特殊情况，但其完整形式配备了十二个自由参数，从而提供了增强的灵活性。在本节中，通过利用GWAL的方差-信噪比的新定义，我们为GWAL引入了一个新的最优参数选择策略。通过将方差-信噪比和输出信噪比整合到一个多目标优化框架中，我们对参数选择施加了更严格的约束。所提方法的优越性能...

**结论**

作为现有维格纳分布的推广，GWAL具有许多值得注意的性质，并继承了经典WD和LCT两者的优势。首先，严格建立了GWAL域和LCT域中矩之间的关系。通过利用LCT的两个最紧的广义不确定性原理，我们推导了GWAL不确定性原理的两种不同形式。作为直接推论，经典WD的不确定性原理以及...

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Lai Tien Minh：写作——审稿与编辑，写作——初稿，可视化，方法论，调查，概念化。

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