一种使用ILC衍生信号进行精密运动控制的一次性非线性前馈设计方法

《Precision Engineering》：A one-shot nonlinear feedforward design approach using ILC-derived signals for precision motion control

　　

- 基于ILC导出信号的一次性前馈控制设计的系统化方法
- 能够纳入弹塑性线缆动力学和滑动工况轴承摩擦
- 实验验证了相比线性前馈控制的跟踪性能提升
- 结构化前馈控制设计，并验证了其向未见轨迹的泛化能力

1. 引言

精密运动平台是众多高科技应用的核心，如晶圆扫描和检测系统、激光加工设备和印刷设备[1]，[2]。为实现高性能轨迹跟踪，前馈控制通常被用于补充反馈控制，以主动补偿标称被控对象的动力学特性和可预测的扰动，从而提高跟踪精度。一种常用的控制设计方法是使用固定结构化前馈控制器，其中参数化控制器实现了被控对象的逆（或近似逆）动力学模型，将参考轨迹及其导数映射为命令输入。当所选的前馈控制器结构能够捕捉到主导物理特性时，该前馈控制在保持轨迹泛化能力的同时可实现优异性能：一旦参数被辨识，同一个前馈控制器即可应用于具有不同行程、加速度和频率成分的未见运动轨迹，包括复杂的时间最优轨迹[3]。固定结构前馈控制的例子包括针对离散时间被控对象动力学的近似逆和完美跟踪导向设计，例如零相位误差跟踪控制（ZPETC）[4]，以及针对非线性和非最小相位系统的稳定逆概念[5]。在工业实践中，这些概念通常被实现为线性参数前馈滤波器，范围从用于刚体惯性的加速度前馈到用于缓解结构柔性的更高阶项（例如jerk前馈）[6]。前馈控制器参数也可以以数据驱动的方式进行辨识，如迭代前馈调谐（IFT）[7]，[8]。尽管这些设计在减少由平台加速度引起的跟踪误差方面非常有效，但它们通常是线性的，无法考虑运动系统中由轴承摩擦和线缆引起的非线性[9]。尽管针对轴承摩擦引起的非线性和滞后行为的前馈补偿已被广泛研究[10]，[11]，但类似的针对线缆动力学的补偿研究却远未充分探索[9]。在有限的研究[12]，[13]中，通常使用复杂的非线性模型，如神经网络或Koopman算子，而此类模型的辨识需要丰富的数据，包括对线缆扰动力的直接测量，这限制了其在实际运动平台中的适用性。

作为固定结构前馈控制设计的替代方案，迭代学习控制（ILC）提供了一个系统化的框架来为重复任务学习开环输入，可以被解释为学习一种有效的前馈信号以补偿可重复扰动和模型不匹配[14]。尽管ILC在消除轨迹跟踪中的可重复误差方面非常有效，但它缺乏对新轨迹的泛化能力，一旦轨迹发生变化，前馈控制信号必须重新训练。对于经常使用新轨迹的应用，如PCB钻孔、印刷和激光加工，高昂的训练成本使ILC难以采用。为了促进超越单一任务的泛化能力，基函数ILC（BF-ILC）和参数化学习方法将学习信号约束在一个紧凑的模型类中[15]，[16]。然而，BF-ILC通常依赖于在其参数上线性的前馈结构以实现高效的平方最小更新和凸优化[17]，这同样无法捕捉运动平台中的非线性和滞后动力学。

最近的进展探索了将ILC导出的信号用作前馈或逆模型辨识的中间表示。例如，ILC也被用于通过迭代学习补偿系统非线性的输入来获得功率放大器的预逆模型[18]，并提出了控制相关的神经网络（ANN）方法从使用预览或基于学习的控制方案生成的数据中学习前馈映射[19]。尽管这些方法非常有效，但这些研究没有明确考虑结构化的非线性行为，如滞后和摩擦。此外，[19]中的基于ANN的方法通常需要丰富的多轨迹训练数据集以防止过拟合；这种数据依赖性加上缺乏物理解释性，可能限制了其在工业精密运动系统中的实际部署。

旨在开发一种物理解释性强、能跨轨迹变化泛化、并能考虑精密运动平台中非线性行为引起的误差的前馈设计方法，本文提出了一种一次性非线性前馈调谐框架，利用ILC导出的信号作为中间表示。其核心思想是首先获取给定参考任务的ILC收敛前馈输入，然后通过拟合前馈模型输出到学习到的ILC信号来辨识结构化非线性前馈模型。通过将非线性逆模型辨识挑战转化为有监督的信号拟合问题，所提出的方法实现了无需复杂非线性优化算法的非线性前馈参数调谐，并显著降低了系统辨识的实验成本。本文的主要贡献包括：

表1. 前馈控制策略的定性比较。

FF方法 | 线性（多项式）FF | 基于逆模型的FF | 基函数ILC | 标准ILC | 所提方法
基础 | 基于物理的逆模型（主要是线性的） | 被辨识被控对象模型的稳定逆或近似逆 | 从数据学习的参数化基函数 | 基于误差的迭代信号更新 | 数据驱动的非线性逆模型拟合
精度 | 受建模误差限制 | 中等到高（取决于模型精度） | 中等到高（受基函数表达能力限制） | 卓越（收敛到噪声底） | 高（逼近ILC）
泛化性 | 高（与轨迹无关） | 高（取决于模型） | 高（与轨迹无关） | 低（任务特定） | 高（与轨迹无关）
非线性 | 无法处理非线性 | 仅限于线性动力学 | 有限（参数上线性） | 若为重复扰动则隐式补偿 | 通过非线性项显式补偿
复杂度 | 低至中等 | 中等 | 中等 | 中等 | 中等

- 开发了一种一次性数据驱动的前馈调谐框架，利用ILC导出的信号作为信息性目标来辨识结构化非线性前馈控制器，实现了在提高跟踪性能和跨轨迹泛化能力的同时高效的前馈设计；
- 引入了一种基于物理信息的、可解释的非线性前馈结构，显式建模了滑动工况轴承摩擦和线缆动力学的弹塑性滞后行为；
- 在精密运动平台上实验评估了所提技术，并验证了相比线性前馈补偿的跟踪精度和轨迹泛化能力的提升。

本文其余部分组织如下：第2节介绍进一步的研究动机和问题描述，第3节详述非线性前馈结构和辨识过程，第4节报告实验结果，第5节为结论。

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图1. 本文所考虑的Aerotech PRO165LM精密运动平台。线性导轨引入了非线性摩擦效应，而连接到移动滑台的线缆块则产生额外的线缆引起扰动。

2. 问题描述

2.1. 精密平台中的非线性动力学

图1展示了本文所考虑的精密运动平台（Aerotech PRO165LM线性电机平台[20]）的照片。该平台由U型槽线性电机驱动，采用动线圈设计，由机械线性导轨支撑并由直驱线性电机驱动。每个轴上的移动滑台都连接有线缆块用于电力和信号传输。由于线性导轨中的机械摩擦和所连接线缆的变形，系统的动力学表现出显著的非线性。图2展示了在不同激励幅度下测量的线性平台频率响应数据。可以观察到直流增益和共振频率的显著变化，以及低频范围内弹簧状的Dahl响应，这可归因于如[9]，[11]所讨论的由轴承摩擦和线缆非线性引起的预滑动。这些特性导致了用于保持轴位置的残余电流以及超过线性运动系统动力学的延长稳定时间。尽管已经开发了先进的轴承摩擦建模和前馈技术，但此类模型的辨识通常需要大量的实验工作。此外，线缆块扰动的非线性动力学模型研究较少，这要求新的前馈设计技术来克服此类扰动，从而增强跟踪性能。

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图2. 在不同激励幅度下测量的振幅相关频率响应，展示了由摩擦硬化和其他寄生动力学引起的低频区域的Dahl共振。幅度单位为[mm/V]。

2.2. 研究动机

表1展示了主流前馈控制策略的定性比较。在
这些方法中，固定结构前馈控制方法，包括线性基前馈、基于逆的前馈和基函数ILC，使用线性设计，难以处理表现出非局部记忆的轴承和线缆非线性动力学。虽然标准ILC能够处理非线性可重复扰动，但它缺乏轨迹泛化能力，不适合需要频繁改变运动任务的应用。

为了使前馈控制综合技术对于表现出非线性且需要频繁更新轨迹的精密运动平台有效，必须满足以下要求：
- 显式补偿非线性和滞后效应：前馈结构应能够表示被控对象中观察到的由轴承摩擦和线缆动力学引起的与记忆相关和幅度相关的动力学；
- 轨迹泛化：辨识出的前馈控制器应能跨具有不同运动行程、速度和频率成分的参考轨迹重复使用，而无需重新学习或任务特定的重新调谐；
- 实际可实现性：该方法应采用紧凑且可解释的前馈结构，能够从实验数据可靠地辨识参数，并保持适用于工业运动控制系统的实时实现。

据我们所知，现有的前馈设计技术无法同时满足这些要求。因此，本文寻求一种数据驱动的前馈设计方法，将ILC的精度优势与结构化前馈控制的泛化性和实用性结合起来，以满足上述要求。

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图3. 所提出的一次性非线性前馈控制策略的示意图概览。

3. 一次性前馈控制策略

本节介绍所提出的一次性非线性前馈调谐方法。如图3所示，该框架的核心创新在于将复杂的逆模型辨识问题解耦为物理建模和基于学习的数据生成两个部分。我们首先在3.1节讨论模型扰动下ILC导出信号在逆建模中的使用，这为所提方法提供了理论基础。接下来，基于系统的物理行为定义了增广前馈控制器结构（3.2节）。在定义了结构之后，为运动系统实施ILC作为数据生成阶段（3.3节），产生收敛的控制输入???作为代表系统逆动力学的高保真目标数据。最后，通过拟合前馈模型到???在单次回归步骤中辨识前馈参数（3.4节），从而实现精确的非线性补偿。

整体实施过程总结在图4中，分为两个阶段：阶段I执行上述离线辨识，阶段II部署已辨识的控制器进行轨迹跟踪而无需进一步学习或重新调谐。需要注意的是，在阶段I中，Stribeck摩擦通过专门的恒速实验进行粗略预辨识，而不是通过ILC信号拟合。这种预补偿对ILC训练的收敛至关重要：由于ILC收敛依赖于闭环动力学保持在学习滤波器设计中使用的标称线性模型附近，轴承摩擦作为被控对象中占主导地位的硬非线性，对3.3节中的单调收敛条件构成了风险。在学习之前去除主要的摩擦分量可以减小有效模型扰动ΔG，从而保障收敛。在粗略补偿后残余的摩擦不匹配随后在框架中通过前馈模型中的相应项进行辨识。

所得到的控制架构结合了传统的反馈控制器和所提出的非线性前馈补偿器，如图5所示。反馈回路确保闭环稳定性，而前馈支路补偿主要的可重复非线性扰动。

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图4. 所提出的一次性非线性前馈调谐方法的工作流程。

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图5. 所提出前馈补偿方法的总体控制架构。

3.1. 模型扰动下的ILC逆建模公式

为了阐明ILC作为逆建模机制的作用，我们使用ILC分析中标准的提升有限时域公式来分析其在模型扰动下的极限行为。考虑一个在长度为N的有限时域内执行的任务，用(1)表示为

?? = [??(0), ??(1), …, ??(???1)]? ∈ ?^??,

它表示以控制率采样的参考轨迹。在第j次迭代期间施加的前馈输入和相应的跟踪误差被收集到提升向量????, ???? ∈ ?^??中。

设???(??) ∈ ?^??表示给定训练参考??的极限ILC输入，定义为ILC更新应用于真实物理系统时生成的序列{????}的稳态值。

该信号是在迭代学习控制（ILC）迭代收敛后获得的馈前输入，且在不同试验间不再发生变化。我们强调，????(??)是轨迹特定的：ILC为每条参考轨迹序列生成一个不同的收敛输入，正是这种缺乏泛化能力的特点促成了对????(??)拟合结构化馈前模型的需求。在下文的推导中，为简洁起见，使用??代替????(??)。在提升后的设定中，从馈前输入到系统输出的映射由算子??∈???×??表示，即闭环馈前通道的有限时域提升（卷积）矩阵。它包含一个标称模型??0和一个加性扰动，如(2)式所示：??=??0+?????，?????∈??，其中??表征闭环动力学的允许低频偏差。结构化馈前控制器由算子(3)??∈?表示，其中?????表示由参考信号构造的提升馈前输入。使用收敛的ILC算法，迭代序列{????}收敛到为所选参考轨迹??且在所有允许的扰动?????∈??下的极限输入???。迭代收敛后，相应的系统输出满足轨迹匹配关系(4)：??????=??。在此，???表示在由??表示的动力学下实现完美跟踪的轨迹依赖型馈前输入。因此，(4)式中的关系表明，???作为扰动系统动力学在有限时域轨迹上的逆输入。考虑两种方法来识别所研究系统的最佳结构化馈前算子??∈?。第一种方法寻求基于逆模型的馈前控制器，以在模型扰动下最小化最坏情况跟踪误差，如(5)式所示：(P-inv)：min??∈??sup?????∈???‖??????(?????)‖2。第二种问题将馈前结构直接拟合到收敛的ILC输入，如(6)式所示：(P-ILC-fit)：min??∈??sup?????∈???‖?????????‖2。利用(4)式中的轨迹匹配关系，两个问题的残差由(7)式关联：??????(?????)=???(?????????)，??????∈??，由此导致加权残差表达式(8)：‖??????(?????)‖22=(?????????)?????????(?????????)。为关联(5)和(6)的最小化器，我们对提升后的算子在{?????:??∈?}所张成的子空间上施加统一正定性条件(9)：????????????，??????∈??，其中??>0。在此条件下，由??????诱导的二次型定义了一个与欧几里得范数等价的范数，作用于有限维子空间{?????}上。由于等价范数在线性子空间上具有相同的最小化器，(8)中的加权不会改变优化器。因此，(5)和(6)的最小化器重合，即(10)：arg?min??∈??sup?????∈???‖??????(?????)‖2=arg?min??∈??sup?????∈???‖?????????‖2。该结果表明，对于线性运动系统，即使在存在低频模型扰动的情况下，基于逆模型的馈前设计与ILC信号拟合仍然在统一正定加权下保持鲁棒等价。因此，收敛的ILC输入???为识别与真实扰动闭环动力学一致的基于逆模型的馈前结构提供了理论上合理且鲁棒的数据源。备注1对于受反馈控制的精密运动系统，与??0相关的标称提升闭环映射通常是严格稳定且充分阻尼的，而扰动?????主要影响低频行为，不影响闭环稳定性。因此，对于所考虑的系统类别，??????=(??0+?????)??(??0+?????)保持远离奇异，从而(9)通常成立。3.2. 馈前控制器结构选择本节介绍所提方法的馈前结构选择。对于精密运动平台，典型的非线性扰动机制包括电机齿槽效应和力涟漪、磁饱和、轴承摩擦以及线缆引起的力。对于本文所考虑的案例研究系统（图1），U型线性电机产生的力涟漪足够小，且不会明显受到磁饱和的影响。因此，轴承摩擦和线缆引起的力是主要的非线性扰动源，是跟踪误差的主要贡献因素，尤其是在低速运动和方向反转期间。经典研究表明，摩擦引入了静摩擦、滑前迟滞和速度相关的非线性，这些无法仅通过线性反馈完全补偿[21]。虽然反馈控制可以衰减部分这些扰动，但不可避免地会产生跟踪误差，这对于运动任务是不希望的。为了在馈前控制器中明确处理摩擦和线缆引起的迟滞，我们选择馈前控制结构包括三个部分(11)：??ff?(??)=??pb?(??)+??friction?(??)+??hyst?(??)，其中???????是多项式基馈前项，??friction是轴承摩擦项，??hyst表示线缆引起的迟滞项。我们接下来讨论每个馈前项的结构和参数化。3.2.1. 多项式基馈前项在本文中，标称馈前分量采用多项式基结构构建，以捕获运动系统的主要线性逆动力学。由于参考轨迹由四阶多项式轮廓生成，位置、速度和加速度信号平滑且连续可导，使其非常适合作为馈前基函数。相应地，多项式基馈前项被选为(12)：??pb?(??)=??1????(??)+??2????(??)+??3????(??)+??4，其中???(??)、???(??)和???(??)分别表示参考位置、速度和加速度轨迹，????（??=1,…,4）是待识别的常数系数。加速度项主要反映系统的有效质量，这在高精度平台中很重要；速度项捕获粘滞阻尼和速度相关损耗，由于驱动和传动中存在较大阻尼而不能忽略；位置相关项考虑由线缆拖拽和路由引起的缓慢变化力，这些力表现出对平台位置的强依赖性；常数项补偿静态偏差，如预紧力和放大器偏移。通常引入更高阶的馈前项，如加加速度或抖动，以补偿由机械结构有限刚度引起的结构柔顺性，其影响出现在高频区域。此处未在馈前控制器中包含这些项，因为相关的柔性动力学位于参考信号激发的带宽之外：如测量到的被控对象频率响应（图2）所示，结构谐振发生在本文中使用的四阶轨迹频率内容之上，因此在闭环动力学下高阶导数项受到的激发很小且难以识别。虽然这些项未在本案例研究中包含，但我们指出所提框架并不排除此类高阶项。当该方法应用于其柔性模态被轨迹激发的系统时，建议在(12)中附加抖动或加加速度基函数。从灵敏度角度来看，跟踪误差可以局部写为(13)：???(??)=???(???(??)??????pb?(??))，其中，略带符号滥用，??和??表示与被控对象和闭环灵敏度函数相关的线性时不变算子，通过对时间域信号与相应冲激响应进行卷积来作用。将多项式馈前输入写成回归元形式(14)：??pb?(??)=∑????????????(??)，?????(??)∈{???(??),???(??),???(??),1}，每个馈前参数对跟踪误差的影响如下(15)：??????????≈????????????(??)。使用平滑的四阶轨迹，滤波后的回归元??????{??,??,??,1}在闭环带宽内提供充分激发，并且对于参数识别保持良好条件。3.2.2. 轴承摩擦建模与粗补偿轴承摩擦在滑动和滑前状态下具有不同的行为[22]。在滑前状态下，轴承摩擦提供具有幅值依赖性的迟滞和弹簧样动力学。文献引入了LuGre模型[23]和广义Maxwell-Slip（GMS）模型[24]等非线性模型来描述这些轴承行为，并研究了滑前轴承摩擦的实验识别和馈前补偿[11]。在本文中，我们重点关注扫描轨迹跟踪，强调非零速度运行，此时轴承摩擦表现出滑动状态行为。Stribeck模型[25]、[26]用于描述轴承摩擦，表达为(16)：?????(??)=[????+(?????????)?exp?(?∣??????∣??)+???|??|]?sgn?(??)，其中??是运动平台的速度，????和????分别表示静摩擦和库仑摩擦，????是Stribeck特征速度，??是形状指数，??是粘滞系数。所采用的Stribeck模型假设关于速度反转对称，使得负速度摩擦行为通过相同的参数集使用镜像特征表示。所提方法使用ILC作为馈前信号生成工具。虽然收敛的ILC信号包含隐含的摩擦信息，但围绕零速度的摩擦行为难以从闭环ILC数据中可靠地分离出来，因为它与反馈作用、轨迹平滑度和其他扰动强烈耦合。为了促进ILC收敛并从而降低系统动力学中的硬非线性，对Stribeck轴承动力学进行预识别和补偿。进行一系列低速恒速实验，记录稳态反馈控制力（等于真实摩擦力）。图6说明了线性平台实验识别的轴承摩擦力及其Stribeck模型拟合。拟合的Stribeck曲线与测量到的稳态数据吻合良好，并可靠地捕获了系统的主要静摩擦特性。然而，需要注意的是，在线缆驱动执行结构中，测量到的控制力不仅反映摩擦，还反映线缆引起的耦合效应和其他未建模扰动，这在高精度运动系统中普遍存在[26]。相应地，本文中的Stribeck拟合旨在提供主要摩擦行为的鲁棒估计，而不是吸收所有残余变化。剩余的不一致由增强馈前结构的其他组件进行补偿，这避免了摩擦模型过拟合，同时保持整体扰动补偿能力。下载：下载高分辨率图像（145KB）下载：下载全尺寸图像图6. Stribeck摩擦曲线识别。低速恒速实验从反馈控制器输出中提供稳态摩擦估计。收集的数据点拟合到(16)以获得用于馈前补偿的摩擦参数。3.2.3. 线缆板扰动力建模线缆板等物理连接可以将非线性扰动力引入精密运动平台[27]。文献表明，这些相互作用表现出由柔性线缆内部摩擦和弹塑性变形引起的显著迟滞行为[9]。这种非线性显著影响低频范围内的有效闭环动力学，而这正是大多数参考轨迹包含其主要能量的区域。因此，迟滞成为限制可实现跟踪精度的关键因素。机械迟滞是速率无关的，在位置-力关系中表现出幅值相关的回环[28]。这种行为无法用标准线性模型表示，传统的基于逆模型的馈前方法不能完全抑制线缆引起的扰动。忽略迟滞会导致系统性的馈前失配和退化的跟踪性能[9]。受这些观察结果的启发，我们采用基于迟滞的扰动表示来捕获线缆力的主导非线性特征并实现有效补偿。在本文中，我们选择弹塑性Jenkins模型来表示线缆引起扰动的迟滞分量。Jenkins元件由线性弹簧与库仑摩擦元件串联组成，提供了对柔性线缆中观察到的结合弹性变形和粘滑行为的紧凑且物理可解释的描述[29]。虽然该领域越来越多地探索复杂的迟滞公式，甚至现代的基于数据驱动的方法，如神经网络建模[12]和无模型控制[30]，但Jenkins元件模型由于其简单性及其复现支配扰动力的特征回环和粘滑之间幅值相关过渡的能力而仍然非常有效。与Preisach型或Bouc–Wen型模型[31]相比，Jenkins表示仅需少量参数，且易于从实验数据中识别。这种在物理保真度和实现简单性之间的平衡使其特别适合于实时馈前补偿。Jenkins元件由线性弹簧与库仑摩擦元件串联组成[29]。设???(??)表示线缆连接点的位移，???(??)表示产生的迟滞扰动力，?????(??)表示存储塑性变形的滑移参考。弹性弹簧力为?????(???(??)??????(??))，刚度为????，滑移阈值为????。迟滞力可描述为(17)：???(??)={?????(???(??)??????(??))，如果?|?????(???(??)??????(??))|
由于轴承摩擦和线缆动力学引入的非线性特性，在图2所示中，根据激励幅值的不同，舞台动态模型的频率响应测量呈现出变化趋势。基于3.1节中建立的逆建模解释，接下来的讨论集中于收敛条件、鲁棒性考量以及与实验平台相关的滤波器设计选择。

图8展示了ILC算法的框图。考虑一个具有被控对象??和控制器??的反馈控制运动系统。闭环灵敏度函数定义为（19）??=11+?????。由此得到的前馈输入????到系统输出的映射为?????。其有限时域提升表示即为3.1节分析中所使用的算子??。

设参考轨迹??在各迭代中保持不变。第??次迭代的跟踪误差可表示为（20）????=???????????????。带有鲁棒性滤波器的ILC更新律给出为（21）????+1=???(????+???????)，其中??表示学习滤波器，用于近似?????的逆，而??则是用于抑制高频不确定性的因果鲁棒性滤波器。

为了保证ILC算法的收敛性，跟踪误差必须随迭代单调递减，即‖????+1‖2<‖????‖2，如文献[32]中所讨论的。将（21）代入（20）可得（22）????+1=???????????????+1=??????????????(????+???????)=???(1?????????)?????，其中假设线性时不变算子在频域内满足交换律。因此，当且仅当（23）‖???(1?????????)‖2,2<1时，ILC迭代在?2-范数下单调收敛。由于线性时不变系统的诱导?2-范数等于其频率响应的??∞-范数，条件（23）等价于以下不等式（24）|???(?????)?(1????(?????)????(?????)????(?????))|<1，???。

对于所考虑的包含轴承摩擦和线缆板动力学特性的运动系统，如2.1节所述，闭环动态特性呈现出依赖于幅值的波动。这种波动在低频范围内最为显著，而低频范围正是学习式前馈补偿的关键所在。因此，用于学习滤波器设计的名义频率响应?????仅能近似真实的闭环行为，收敛条件（24）必须在这些偏差下依然得到满足。

为降低系统中的硬性非线性，从而促进ILC迭代的收敛，最显著的非线性——即轴承摩擦——已如3.2.2节所述进行了预补偿。接下来，学习滤波器??采用ZPETC方法设计为名义闭环动态特性?????的稳定逆，该方法在避免对高频模型不确定性和鲁棒性产生过度放大的同时，提供了准确的低频幅值和相位匹配。

**注2** 构建基于ZPETC的稳定逆时，模型阶次的选取至关重要。过高的阶次虽然可以提高名义逆的精度，但会显著降低鲁棒性；而过低的阶次则可能导致学习性能不足。适当选取的模型阶次可以获得适定性良好的逆，并在ILC更新中保持足够的稳定性裕度。作为替代方案，也可采用?∞-基于的逆方法，该方法为在跟踪性能与鲁棒性之间进行权衡提供了显式的机制。

**3.4. 通过ILC信号拟合进行参数辨识**

在ILC迭代收敛至???后，该信号提供了有价值的数据，确保可重复的误差被前馈控制所消除。接下来，我们将使用ILC导出的前馈信号来辨识所选前馈控制器中的关键参数。

所提出的前馈模型包含了名义Stribeck摩擦、刚体线性动力学以及Jenkins型线缆迟滞，并附加了一个紧凑的Stribeck精化项，即（25）??ff?(??)=??friction?(???(??))+ (??1????(??)+??2????(??)+??3????(??)+??4)+??5????(???(??);??6)+??7?exp?(?∣???(??)??8∣??9)?sgn?(???(??))，其中??friction?(??)是用于预补偿的已辨识名义Stribeck分量，???(?)表示Jenkins型迟滞算子，参数??1???9则通过残差信号????(??)???friction?(???(??))进行拟合。（25）中的各项系数具有明确的物理含义：??1???项代表该轴的主导集总惯性；??2???项补偿了名义Stribeck模型未能消除的残余速度相关摩擦力；??3???项捕捉了主要的准静态位置相关线缆力；常数??4补偿了剩余的静摩擦失配及其他微小偏置力。非线性线缆效应由??5????(??,??6)描述，其中??5缩放迟滞幅度，??6对应于底层Jenkins型模型中的阈值水平。由??7???9参数化的附加项提供了紧凑的Stribeck型精化，以补偿动态速度瞬态下所揭示的摩擦失配。综合起来，这些项构成了前馈信号的紧凑且具物理可解释性的描述。

求解参数的非线性优化问题可表述为（26）min??‖??ff?(??,??)????‖22s.t.??∈??，其中??∈?????表示所选前馈配置下的参数向量，??表示参数上的盒约束集，??ff?(??,??)表示模型针对参考轨迹??生成的前馈信号。

**注3** 如3.1节所述，收敛后的ILC输入???在模型摄动下提供了逆模型解的数据驱动近似。这使得完全数据驱动的前馈辨识流程成为可能：无需解析地构建逆动力学???1，残差效应可直接从实测的ILC输入中学习，随后使用紧凑的参数化结构进行拟合。这种方式将原本高复杂度的逆建模任务转化为低复杂度的信号拟合问题，同时保留了前馈项的清晰物理可解释性。

需要注意的是，参数辨识的有效性取决于训练数据???中所含信息的丰富程度，而这又由训练轨迹??的激励特性决定。对于一组给定的训练数据，在决策变量??中选择（25）中的哪些参数，应以其可辨识性为指导，这可通过非线性最小二乘优化问题（26）的Gauss-Newton Hessian矩阵进行量化。对于包含??个采样时刻??1,…,????的训练轨迹，时刻????处的参数灵敏度向量定义为（27）???(????)=????ff?(????;??)????∈?1×????，其中??∈?????表示使用ILC训练信号进行辨识的前馈参数向量，????是??中元素的个数。通过在整个轨迹上堆叠灵敏度向量，可得到雅可比矩阵（28）??=?? ? ? ?????(??1)???(??2)????(????)?? ? ? ? ?∈???×????。对于（26）中的最小二乘拟合问题，局部Gauss-Newton Hessian矩阵可由（29）??GN=??????=??∑??=1????(????)????(????)计算得到。适定性良好的??GN，加上在解处的非微小最小特征值，表明所选参数化在局部未接近奇异，这进而说明参数得到了充分激励，并且可以由数据辨识出来。

图9. 基于Aerotech PRO165LM线性电舞台的精密运动系统实验装置，包括伺服驱动单元、实时控制器和电源。线性导轨以及安装在移动小车上的线缆拖链构成了本研究所考虑的主要摩擦和线缆引起扰动源。

**4. 实验评估**

**4.1. 实验装置**

对所提出的前馈设计进行的实验评估是在行程为150毫米的Aerotech PRO165LM精密线性运动舞台上完成的，如图9所示。该舞台由无铁芯、无齿的线性电机驱动，并由双线性导轨支撑。由于导轨内的机械接触以及安装在移动小车上的线缆拖链的走线，系统同时表现出摩擦力以及显著的线缆引起的扰动。所有实验仅聚焦于底部平移自由度，在这些扰动机制中该自由度最为突出。

位置反馈由分辨率为0.1μm的光学编码器提供。反馈回路采用超前-滞后形式的PID控制器，如（30）???(??)=?????(1+1???????)?(????????+1?????+1)，其中??是拉普拉斯算子，????是比例增益，????是积分时间常数，??是超前常数，其典型值为10，??是超前滤波器时间常数。所有参数均根据实测被控对象频率响应通过环路整形确定。图10显示了实测的环路增益频率响应。环路增益是通过扫频正弦激励作为扰动注入被控对象输入，并在环路闭合的情况下测量求和点前后信号的幅值和相位而获得的。在单一切激励幅值下测量的结果显示，穿越频率为61 Hz，相位裕度为46.83°。值得注意的是，环路增益的穿越频率远高于被控对象动态特性表现出幅值依赖性的低频区域，这使得反馈控制器可以使用固定参数，在不同激励幅值下实现一致的带宽和稳定性裕度。所有实时控制与数据采集均在National Instruments cRIO平台上实现，采样频率为2 kHz，其中LabVIEW FPGA确保确定性时序，主机PC则用于部署所提出的ILC和前馈算法。

图10. 反馈控制系统的实验测量环路增益频率响应，显示穿越频率为61 Hz，相位裕度为46.83°。

**4.2. 实验结果与讨论**

**4.2.1. 前馈参数辨识**

为了说明前馈信号中各项的作用，本研究评估了五种前馈配置：

1. M1（摩擦）：仅包含实验辨识的Stribeck摩擦模型??friction?(??)。
2. M2（摩擦+加速度）：包含预辨识的Stribeck摩擦模型??friction?(??)和惯性项??1???。
3. M3（摩擦+线性）：包含预辨识的Stribeck摩擦模型??friction?(??)和线性前馈项??1–??4。
4. M4（摩擦+线性+Jenkins）：包含M3中的所有项，并进一步包含迟滞映射??5????(??,??6)。
5. M5（线性+Jenkins+Stribeck残差）：完整模型（25），包含由??7???9参数化的附加Stribeck型校正项。

五种前馈设计的参数通过求解给定前馈控制器形式下的优化问题（26）获得。在我们的实现中，该非线性最小二乘优化问题使用MATLAB的fmincon函数配合内点算法进行求解。需要注意的是，当包含非线性前馈控制项时，问题（26）是非凸的，因此求解器在原理上是局部的。为解决这一问题，我们使用具有物理动机值的初始点来初始化问题，例如，线性项来自初始线性最小二乘拟合，非线性参数则来自预辨识的Stribeck特性和粗略的迟滞估计。这种处理方式将初始点置于接近物理意义解的位置，避免了虚假的局部极小值。

表2. 通过Gauss-Newton Hessian矩阵在解处的条件数和最小特征值分析前馈参数可辨识性的数值适定性分析。??选择[??1,…,??6]?[??1,…,??7]?[??1,…,??8]?[??1,…,??9]????(??????)1.07×1?061.28×1?065.23×1?0124.37×1?015min????(??????)10.198.492.09×1?0?62.86×1?0?9

图11. 辨识的前馈模型拟合结果。ILC训练信号???与M3–M5的输出进行比较。M3是线性基线，M4添加迟滞映射，M5进一步包含用于低速摩擦的Stribeck型精化。

表3. 辨识的前馈模型相对于收敛的ILC训练信号???的定量拟合精度。模型RMSE (N)NRMSE (%)??2M33.8007.750.8836M43.0876.300.9232M52.2874.670.9579

图12. 不同前馈策略下训练轨迹的跟踪性能比较。上方面板显示M0–M5的时间域跟踪误差及ILC基准，下方面板显示整个轨迹的均方根跟踪误差。阴影区域表示扫描轨迹的不同运动阶段，包括加速/减速、恒速和驻留段。

为了进一步评估逐步扩展的参数化是否仍可辨识，表2总结了数值适定性结果。辨识出直至??7的参数化仍保持合理良好的适定性，而非线性残差Stribeck摩擦中的两个参数??8和??9，无法通过所选训练数据在最小二乘辨识问题中得到充分辨识。这一观察并不令人意外，因为（25）中的??8和??9的分析灵敏度较低，使其在辨识问题中接近奇异。为解决这一问题，我们在辨识问题中将??8和??9固定为其预辨识值，仅在优化问题的决策变量中包含[??1,…,??7]?，并使用ILC训练的数据。所得解与将预辨识的Stribeck参数作为初始值并包含[??1,…,??9]?进行求解的结果没有差异，因为近奇异的优化无法在最小二乘优化问题中移动??8和??9的解。各种参数化的拟合精度报告于表3中，其中低残差证实内点解为ILC导出的信号提供了准确且可靠的拟合。

图11展示了ILC训练的前馈信号???以及参数由（26）辨识得到的前馈信号M3至M5，同时还绘制了经过缩放的轨迹加速度以供说明。

请注意，???信号在轨迹起始和结束阶段（即定位保持阶段）具有非零值，这表明存在显著的静摩擦力，此时非零的电机力被用于补偿静摩擦力。如图11所示，M3捕捉了ILC训练力曲线的主导趋势，而M4在方向反转附近和低速区域的逼近效果得到了改善。这种改善归因于迟滞映射的引入。比较M4和M5可以观察到，由于引入了残余非线性Stribeck曲线，M5在黏滑转变附近的极低速度范围内进一步改善了拟合精度。为了进一步量化重构精度，以ILC训练信号???作为参考，计算了RMSE、归一化RMSE和??2，结果汇总在表3中。结果表明，M5实现了最低的RMSE和NRMSE以及最高的??2，证实了增强型非线性前馈结构提供了对收敛ILC补偿信号最精确的逼近。

在确定了各种前馈输入后，使用训练轨迹对台的闭环跟踪进行了实验测试，其跟踪性能如图12所示。各前馈方法对应的RMS跟踪误差也绘制在图12中。其中，M0表示仅使用反馈控制器时的跟踪误差，ILC表示使用收敛的ILC训练前馈信号作为基准时的跟踪误差。随着前馈模型从M1到M5的不断丰富，跟踪误差相应减小。注意，所有前馈机制的结果，甚至收敛的ILC结果，其误差信号中都呈现近周期信号。据我们所理解，这种周期性误差是由于直线轴承中不可重复的误差所致，ILC无法减轻这种异步误差。通过比较通过辨识的参数化前馈模型获得的误差信号，可以观察到前馈中引入非线性项能够增强跟踪性能。这些结果表明，迟滞和低速摩擦效应对于描述该系统中由线缆引起的扰动均具有相关性。

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图13. 用于评估控制性能的训练和测试轨迹。训练曲线具有90 mm行程，而测试1和测试2分别使用60 mm和110 mm行程，并对应较低的加速等级和较高的加速等级。
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图14. 不同前馈配置下的跟踪性能比较。左列和右列分别对应测试轨迹1和2。上方六行显示了M0–M5的时间域跟踪误差，其中阴影区域表示扫描轨迹的不同运动阶段，包括加速/减速段、匀速段和停留段。底部两行分别报告了在整个轨迹上评估的RMS误差（Overall）和在匀速扫描段上评估的RMS误差（Scanning）。M0表示仅反馈基准，M1–M5表示本研究中考虑的五种前馈配置。

4.2.2. 广义轨迹上的跟踪测试

在获得参数化前馈控制器后，通过两条不同的未见轨迹进行跟踪实验，评估所提方法的泛化能力，如图13所示。所有前馈参数仅从训练轨迹中辨识得出，该训练轨迹具有90 mm行程，并且是唯一用于获得收敛ILC输入???以进行后续前馈参数辨识的轨迹。两条测试轨迹引入了运动幅值和动态需求的显著变化：测试1使用较短的60 mm行程和较低的加速度，而测试2使用较长的110 mm行程和较高的加速度。测试期间没有进行进一步学习或参数重新调整。

图14总结了在两条测试轨迹上的闭环跟踪性能。对于每条轨迹，均报告了M0–M5的时间域跟踪误差、在整个轨迹上评估的RMS误差（Overall）以及在匀速扫描段上评估的RMS误差（Scanning）。对于两条测试轨迹，前馈补偿均一致地改善了相对于仅反馈基准的跟踪精度。较简单的模型M1和M2已经降低了整体RMS误差，表明低阶摩擦项和惯性项捕捉了不可忽略的重复性扰动部分。通过进一步纳入线性速度依赖和位置依赖效应，M3在两种运动条件下均实现了额外的误差降低。

M4和M5获得了进一步的改善。与较简单的配置相比，这两个模型在两条测试轨迹上均产生了较小的时间域误差和更低的RMS值。该优势在方向反转附近和低速区域尤为明显，在这些区域，轴承和线缆引起的扰动表现出更强的非线性和记忆依赖特性。在所有参数化前馈模型中，M5提供了最佳的总体性能。考虑到编码器分辨率为0.1 μm且存在不可重复的轴承扰动，使用反馈和前馈控制器的组合实现低于5 μm的RMS跟踪误差是令人满意的。

由于匀速扫描段在精密运动应用中的实际重要性，对其进行了单独检查。如图14所示，M1和M2无法完全抑制匀速运动期间的残余误差，而M3–M5实现了显著更低的扫描RMS误差。该结果表明，线性项、迟滞项和低速摩擦项对于补偿匀速扫描期间持续存在的重复性扰动均具有相关性。总体而言，结果表明增加前馈模型的表达能力不仅能改善训练轨迹上的跟踪精度，还能改善对未见运动轮廓的泛化能力。

4.2.3. 与迭代前馈调优的比较

为了在所提方法与工业中常用的线性前馈技术之间提供直接比较，将所提方法的性能与IFT方法的前馈性能进行了比较。IFT是一种数据驱动方法，可直接从闭环实验数据中优化前馈输入，而无需显式的被控对象逆模型，其实现方法在此简要介绍以使本文自包含。对于参数线性化的前馈参数化，令??∈?????×1表示参数向量，令??∈???×????表示基矩阵。前馈输入由式(31)给出：
??(??)=????。
一次试验的跟踪误差可写为式(32)：
??(??)=??0?????????，
其中??(??),??0∈???，??0收集与??无关的分量。性能指标选择为式(33)：
??(??)=1/(2??)·???(??)·??(??)，
参数更新通过高斯-牛顿步骤计算，如式(34)：
????=?(?????·????)?1·?????·??，
其中????∈???×????由式(35)给出：
????=???????。

为了将所提方法与已建立的数据驱动基准进行对比，对允许线性参数化的前馈配置M2和M3实施了IFT。相比之下，更丰富的配置M4和M5包含非线性和记忆依赖项，因此与传统的仿射IFT公式不直接兼容。

图15表明，所提的基于ILC的前馈辨识在两条测试轨迹上针对M2和M3均实现了与IFT相当的跟踪性能。这表明对于线性参数化的前馈配置，所提方法在抑制重复性扰动方面与IFT同样有效。更重要的是，所提框架还能容纳超出传统IFT范围的更丰富前馈配置。因此，M4和M5实现了进一步的跟踪误差降低，其中M5在所有比较配置中提供了最佳的总体性能，验证了所提方法的有效性以及相较于使用IFT的线性前馈设计的性能提升。

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图15. 不同前馈配置下RMS跟踪误差的比较。(a) 测试轨迹1的结果。(b) 测试轨迹2的结果。图中呈现了整个轨迹上的RMS误差，对比了所提的基于ILC的前馈辨识方法和迭代前馈调优（IFT）。M2-2和M3-2分别表示配置M2和M3对应的IFT结果。对于M2和M3，所提方法产生了与IFT相当的跟踪性能，同时还能支持更丰富的非线性前馈配置M4和M5。

5. 结论与未来工作

本文提出了一种针对精密台的基于数据驱动的前馈设计方法，该方法利用收敛的ILC前馈输入作为闭环逆动力学的信息丰富的代理。通过将收敛的学习输入???视为针对给定任务和反馈控制器的可重复前馈解决方案，所提方法实现了系统化的前馈模型辨识，而无需显式的高保真被控对象模型。重要的是，该框架不限于线性参数化，通过信号拟合自然容纳非线性前馈结构，使其非常适合具有复杂扰动和记忆效应的机电系统。实验验证表明，迟滞增强模型提供了最准确的收敛ILC信号复现，并实现了最佳的闭环跟踪性能。与纯线性前馈补偿相比，所提非线性结构产生了可观察的误差降低，在低速运行范围内尤为明显。所提前馈方法还使用未见的运动轮廓进行了测试，跟踪误差的成功降低证明了其有效性。需要注意的是，所提方法并非旨在直接补偿完全不可重复的扰动，因为离线ILC阶段依赖于训练轨迹的重复执行。然而，最终的前馈控制器是基于物理非线性而非轨迹重放进行参数化的，这使其能够泛化到具有相似动态特性的准周期轨迹。另外需要注意，所提方法假设系统模型在训练和运行条件期间不发生变化。对于适度的系统动态变化（例如负载的微小变化），反馈控制器能够补偿未建模的扰动。在存在显著的被控对象动态变化时，建议重新辨识前馈参数以维持最佳跟踪精度。

未来工作将在以下几个方向进行拓展：首先，本研究使用单个Jenkins单元来描述线缆动力学，这可能无法扩展到更复杂的线缆板动力学。未来工作应考虑多单元迟滞模型，如Bouc–Wen模型或Prandtl–Ishlinskii模型，以更好地捕捉更复杂的线缆动力学。此外，应研究具有改善激发丰富性的训练轨迹设计，例如包含额外的低速蠕变区域和速度反转序列，以增强非线性前馈模型的可辨识性。其次，不可重复的轴承摩擦是跟踪误差的最大误差来源，扰动观测器（DOB）已被证明是减少误差的有效基于反馈的控制技术。此外，所提前馈控制主要关注滑动状态下的轴承摩擦补偿，并未捕捉预滑动状态下的轴承行为。未来工作应考虑将所提前馈设计与预滑动状态轴承摩擦和DOB相结合，以获得更优越的跟踪性能，并应研究用于实际运动系统的系统联合前馈和DOB设计。最后，未来工作还应进行线缆和摩擦力的实验测量，为前馈控制器的精度提供定量评估。

CRediT作者贡献声明
Shaowei Zhan：撰写-初稿，验证，方法论，形式分析，概念化。
Lei Zhou：撰写-审阅与编辑，监督，方法论，概念化。
Shaowei Zhan | Lei Zhou